长沙理工大学高等数学 练习册 第五章 定积分答案.pdf

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1、习题略习题（A）一 计算下列定积分12sin xcos3xdx0解：原式 a0202114cos xd cosx cos x44032x2a2 x2dx解：令x asint，则dx acostdt当x 0时t 0，当x a时t 2原式2a2sin2t acost acostdt0a444a42sin 2tdt 0821cos4tdt202aa1sin4ta48 28 4160433dxx211 x2解：令x tg，则dx sec2d当x 1，3时分别为，43sec2原式2dtgsec433sind sin242 411233xdx5 4x解：令5 4x u，则x 1512u，dx udu442

2、当x 1，1 时，u 3,1原式54115u2du 3861dxx 11解：令x t，dx 2tdt当x 1时，t 1；当x 4时，t 2原式212dt 2tdt2 2dt 111t1t 2t1ln1t1 2 2ln22236341dx1 x 1解：令1 x u，则x 1u2，dx 2udu当x 31,1时u,042012uu 11原式1du 22du 12ln20u 12u 17e2dxx 1 ln xe21111 ln xe21e21解：原式d ln x 11 ln xd1 ln x 2 1lnx8dx2x2 2x 20 2 3 2解：原式02dx1x 12 arctgx 120 arct

3、g1 arctg1904421 cos2xdx0解：原式2cos xdx 2cosxdx0222cosxdx2cosxdx022sin x2sin x0 2 2210 x4sin xdx解：x4sin x为奇函数x4sin xdx 01124cos4xdx2420解：原式 42cos xdx 2202cos xdx22 2201 cos2x2020dx 221 2cos2x cos22x dx202 2 2x0cos2xdx 1 cos4xdx 2sin2x0212cos4xd4x2402313sin4x2420 x3sin2xdx1245x 2x215x3sin2x解：4为奇函数x 2x21

4、x3sin2xdx 045x 2x215133xdx2sin x4解：原式 3xdctgx43 xctgx3ctgxdx44133 lnsin x4941332 lnln49221313ln2249144ln xx1dx4解：原式 2lnxdx144 2x ln xxd ln x1141 24ln2xdx1x 8ln2 2xdx1412 8ln2415xarctgxdx01解：原式112arctgxdx2021x11 2dxx arctgx20021 x1111dxdx 820201 x211xarctgx8202011142162e2xcosxdx0解：原式2e2xd sin x0 esin

5、 x2x202sin x2e2xdx0 e 22e2xd cosx0 e 2ecosx02x2022cosx2e2xdx0 e 242e2xcosxdx故2e2xcosxdx 01e 25172xsin xdx0解：原式xsin x02dx x201cos2xdx21212x dx x cos2xdx00221x36012x dsin2x0412x sin2xsin2x2xdx00643361xd cos2x0413xcos2x0cos2xdx 06464318sinln xdx1e1e解：原式 xsinln x1xcosln xdx1xe esin1coslnxdx1e1e esin1 xc

6、os ln xxsin ln x dx11xe esin1ecos11sinlnxdx1e故sinln xdx 1eesin1cos112192cosx cos3xdx4解：原式2cosx1cos2xdx404cosxsin xdx 2cosx sin xdx032032222cosxcosx3304442332040sin xdx1sin x解：原式40sin x1sin xdx21sin x sin x2tg xdx420cos x 40d cosx4sec2x 1dx20cos x1cosx40tgx x042 4 2210 xsin xdx1 cos2x解：令x 2t，则t sint2

7、2dt原式 221cos2t2costtcost2dt 2221sin t1sin t22costdt arctgsint02201sin2t412022xln1 xdx1 x120解：原式1 x x2lnd1 x2121x1 xx21 x 1 x 1 x12lndx2021 x021 x1 x221xdxln32ln208x 111dxln32dx 2200 x 1811111x 1ln3ln822x 101213ln328(B)一 解答1求由e dt costdt 0所决定的隐函数y对x的导数00ytxdy。dx解：将两边对x求导得dy cosx 0dxdycosx ydxeey2当x为何

8、值时，函数Ixtetdt有极值2x0解：Ix xex，令Ix 0得x 02当x 0时，Ix 0当x 0时，Ix 0当x 0时，函数Ix有极小值。dcos x3cost2dt。dxsin xcostda22解：原式costdt costdtasin xdxcos xdsin xcost2dt cost2dtaadx cossin2xsin xcos cos2xcosx cossincos x coscos xsin x22 cossin2xcos x sin xcossin2xsin x cos xcossin2xx 1,x 124设fx12，求fxdx。0 x,x 12解：fxdx x 1dx

9、 001212112x dx22181 x2 xx3206135lim2arctgtdt0 xxxx 12arctgtdt0型2。解：limxx 12xlimarctgx2112x 122x2 limxx21arctgx limxx2x 112arctgxx2x limx12212arctgx4x1xsin x,0 x 6设fx2，求xftdt。0其它0,解：当x 0时，xftdt 0dt 000 xx当0 x 时，x11cosxsintdt 022xxxx当x 时，xftdt ftdt ftdt 1sintdt 0dt 10002当 0时0,1故x1cosx,当0 x 时。2当x 时1,1,

10、当x 0时1 x7设fx1,当x 0时1 ex1,当x 1时x解：fx 11,当x 1时1 ex1，求fx 1dx。0220fx 1dx 12dx111x 1dx01 ex112dx1 ex1ex1dx 101x1 ex11ln1 ex10 ln21 ln1 e8lim1nn2n 2n n2。12n1解：原式 lim nnnnn limni1nn1i12xdx 0nn39求limnk1ekn2kn。n nen解：原式 limnk1ekn2kn1 e1nexx1dx arctane arctane001e2x4110设fx是连续函数，且fx x 2ftdt，求fx。01解：令ftdt A，则fx

11、 x 2A，01从而fxdx x 2Adx 00111 2A2即A 11 2A，A 22fx x 111若2ln 2xdte 1t6，求x。解：令et1 u，则t ln1u2，dt 当t 2ln2时，u 3当t x时，u ex12ln 2x2udu21udte 1t3ex12udu 2arctgu21 uu3ex1 2 arctg ex1 36从而x ln212证明：2e121212exdx 2。211 x2证：考虑上的函数，则,y e22y 2xex，令y 0得x 021当x,0时，y 021 当x0,时，y 02 y ex在x 0处取最大值y 1，且y ex在x 1121212x21221

12、2处取最小值e12故212edx 121edx 2121dx即2e212exdx 2。x2 x a13已知lim4x2e2xdx，求常数a。axx a2a 解：左端 lim1 e2axx a右端ax2x ed2x22xaa2x2de2x22x 2x ea2xe2xdx 2a e22a2axde2xa2x 2a2e2a2xeae2xdx2a2 2a 1e2a2a2 2a 1e2a e2a解之a 0或a 1。21 x,14设fxxe,x 0 x 0，求fx 2dx。13解：令x 2 t，则31fx 2dx ftdt 1t2dt etdt 110101713e15设fx有一个原函数为1sin x，求

13、2xf 2xdx。20解：令2x t，且fx 1sin2x sin2x20 xf 2xdx 0t11f tdt tf tdt224011tdf t tf tftdt004041tsin2t0 1sin2t 00416设fx ax b ln x，在1,3上fx 0，求出常数a，b使fxdx最13小。解：当fxdx最小，即axblnxdx最小，由fx ax b ln x 0知，1133其间所夹面积最小，则y ax b是y ln x的切线，y ax b在y ln x的上方，而y 111，设切点为x0,ln x0，则切线y x x0 ln x0，故a，x0 x0 xb ln x01。于是I 313a2

14、ax b ln xdx x bx1ln xdx213 4a 21lnaln xdx13 4令Ia21 0得a a2从而x0 2，b ln21 又Ia32 0，此时fxdx最小。1a2217已知fx ex，求f xf xdx。01解：f x 2xex2f xf xdx 011012f xdf xf x2011221x 2xe2 2e2018设fx x2 xfxdx 2fxdx，求fx。0021解：设fxdx A，fxdx B，则fx x2 Bx 2A0012A fxdx x2 Bx 2A dx 11B 2A0032228B fxdx x2 Bx 2A dx 2B 4A00314解得：A，B，于是

15、3342fx x2x 3311190fcosxcosx f cosxsin xdx。2解：原式fcosxcosxdxsin xf cosxd cosx00fcosxcosxdxsin xfcosx0fcosxcosxdx00 020设x 0时，Fxx2t2f tdt的导数与x2是等价无穷小，试求0 xf 0。x解：limx0 x02t2f tdtx332f tdt0 x limx0 x02xf tdtx2 limx0 x lim2xf 0,xx0 x 2 f 01故f 012x cos t2dyd2y2t21设，求，212cosududxdxy tcos t12 udyytdxxtcos t2

16、tsin t22t 2 。t2 解：2 tsin t2t 12cos t22t t1 212 d2ydx2tt2xtt21 2tsin t2 t22 习题一 略1 x2dx二 11 x4解：原式01 xdx 201 x4211x2dx12 xx2 2011x 2x21dx x1x 2xarctg222022lnsin xdx0 xx解：原式2ln2sincosdx令x2t24ln2 lnsint lncostdt0022ln2 24lnsintdt 4lncostdt002t2u2ln2 24lnsintdt 20lnsinudu42ln2 220lnsintdt故2lnsin xdx 02l

17、n23dx01 x21 x 0解：令x 1t，则dx 1t2dt1原式0t2dttdt1t21t01t21tt2t2dxdxx01 x21 xdx01 x21 x01 x21 x101 x2dx arctgx02故0dx1 x21 x4自测题1设fx是任意的二次多项式，gx是某个二次多项式，10fxdx 1 6f0 4f12 f1，求bagxdx。解：设x b at a，则I bgxdx 1a0gbat abadtba10gbat adt知已令gb at a ft1b a于是f0 ga，f g，f1 gb22由已知得I ba b a g a 4g g b622设函数fx在闭区间a,b上具有连续

18、的二阶导数，则在a,b内存在，b a b13b af。使得fxdx b af a224证：由泰勒公式fx fx0 f x0 x x0f x x022!其中x0,xa,b，位于x0与x之间。两边积分得：bafxdx fx0dx abbaf x0 x x0dx bafx0令x0f x0b x02a x022f 2x x0dxa2!f 3b6b x03a x0a b，则2ba22a ba b a b a b 1fxdx b af f b a 2222233f a ba b a b 622 a b1b a3f，a,b。b af 2243 fx在a,b上 二 次 可 微，且f x 0，f x 0。试 证

19、b afaafxdx b afb fa。b2证明：当xa,b时，由f x 0，f x 0知fx是严格增及严格凹的，从而fx fa及fx fafb fax ab a故fxdx fadx bafaaabbbabfb fafxdx fax adxab afb fa1b a2b a2fb fab a2b afa4 设函数fx在a,b上连续，f x在a,b上存在且可积，fa fb 0，试证fx1bf xdx (a x b)。a2证明：因为在a,b上f x可积，故有baf xdx f tdt f tdtaxxbaxxb而fxf tdt，fxf tdtb1x于是fxf tdt f tdtxa2b1x1bfx

20、ftdt ftdt f tdtxa2a25设fx在0,1上连续，fxdx 0，xfxdx 1，求证存在一点x，00110 x 1，使fx 4。证：假设fx 4，x0,1由已知fxdx 0，xfxdx 1，得0011111xfxdx fxdx x fxdx002021111fxdx 4x dx02211x 0111112 4 xdx 1x dx102221111fxdx 4x dx022故x 0从而x 011fx 4dx 02fx4 0因为fx在0,1连续，则fx 4或fx 4。从而fxdx 4或4，01这与fxdx 0矛盾。故fx 4。016设fx可微，f0 0，f 01，Fxtf x2t2d

21、t，求lim0 xx0Fx。4x1x2解：令x t u，则Fxfudu，显然Fx xfx22022FxFxf x2f x2 f011于是lim4 lim。lim limf 0 2x0 xx04x3x04x2x0444 x 0 7 设fx在a,b上 连 续 可 微，若fa fb 0，则fxdx max f x。b a2aaxb4ba ba b,b上均满足拉证：因fx在a,b上连续可微，则fx在a,和22格朗日定理条件，设M max f x，则有axbfxdx abab2afxdx abfxdx2bbab2afa f 1x adx abfb f 2x bdx2ab2af 1x adx abf 2x

22、 bdx2ab2ab M故4x adx Mabx bdx 2bMba24fxdx M。b a2ab8设fx在A,B上连续，A a b B，求证limk0bafx k fxdxk fb fa。证：bafx k fx1b1bdx fx kdx fxdxkkakabbkaka令x k u，则fx kdx 于是bfudufx k fk1bk1bdx fxdx fxdxakkakka1bk1akfxdx fxdxkbkabfx k fx1bk1ak故lim dx limf x dx limfxdxbak0ak0k0kkk fb fa9 设fx为奇函数，在,内连续且单调增加，Fxx 3tftdt，0 x证

23、明：(1)Fx为奇函数；(2)Fx在0,上单调减少。证：(1)F xfx为奇函数0 x0 x 3tftdttu0 x 3ufudux0 x x 3ufudu x 3ufudu FxxFx为奇函数。xx (2)Fx xftdt 3tftdt00ftdt xfx3xfx0 xftdt 2xfx0 xft fxdt xfx0 x由 于fx是 奇 函 数 且 单 调 增 加，当x 0时，fx 0，ft fxdt 00 x0 t x，故Fx 0，x0,，即Fx在0,上单调减少。10设fx可微且积分fx xfxtdt的结果与x无关，试求fx。01解：记fx xfxtdt C，则010fx xfxtdt fx0fudu C1x由fx可微，于是f x fx 0解之fx kex（k为任意常数）11若f x在0,连续，f0 2，f1，证明：fx f xsin xdx 3。0解：因f xsin xdx sin xdf x00 sin xf x0f xcosxdx0 f xcosxdx0 cosxdfx fxcosx0fxsin xdx00 f f0fxsin xdx01 2fxsin xdx 3fxsin xdx00所以0fx f xsin xdx 3。