2010-2011学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 本章复习同步精品学案 新人教A版选修2-1.pdf

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1、本章复习本章复习1在以下命题中，不正确的个数为()|a a|b b|a ab b|是a a，b b共线的充要条件；若a ab b，则存在惟一的实数，使a ab b；若a ab b0，b bc c0，则a ac c；若a a，b b，c c为空间的一个基底，则a ab b，b bc c，c ca a构成空间的另一基底；|(a ab b)c c|a a|b b|c c|.A2 B3 C4 D5答案C解析不正确，由|a a|b b|a ab b|知a a与b b反向，a a与b b共线，但a a与b b共线不一定有|a a|b b|a ab b|；不正确，应加上条件b b0；不正确，当b b0 时，

2、a a与c c不一定相等；正确；不正确，应为|(a ab b)c c|a a|b b|c c|.2已知向量a a，b b，且ABa a2b b，BC5a a6b b，CD7a a2b b，则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D答案A解析BDBCCD2a a4b b2(a a2b b)2AB，所以AB、BD共线，所以A、B、D共线，故选 A.3已知a a与b b是非零向量且满足(a a2b b)a a，(b b2a a)b b，则a a与b b的夹角是()25A.B.C.D.6336答案B解析由已知(a a2b b)aa0，(b b2a a)bb02 22 2

3、a a2ababb babababab1cosa a，b b|a|b|a|b|a|a|2 22a a，b b，选 B34若a ae e1e e2e e3，b be e1e e2e e3，c ce e1e e2，d de e12e e23e e3(e e1，e e2，e e3为空间的一个基底)，且d dxa ayb bzc c，则x，y，z分别为()5151A.，1 B.，122225151C，1 D.，12222答案A解析d dxa ayb bzc c(xyz)e e1(xyz)e e2(xy)e e3e e12e e23e e3，空间任一xyz1，向量都可以用一个空间基底惟一表示，从而得到x

4、yz2，xy3.1.51解得x，y，z2285若向量a a(1，x,2)，b b(2，1,2)，且a a，b b夹角的余弦值为，则x等于()9A2 B222C2 或 D2 或5555答案Ca ab b6x8解析cosa a，b b，|a a|b b|3 5x292解得x2 或x.556已知a a(2，1,2)，b b(2,2,1)，则以a a，b b为邻边的平行四边形的面积为_答案65解析因为|a a|b b|，所以平行四边形为菱形，又a ab b(4,1,3)，a ab b(0，3,1)，|a ab b|26，|a ab b|10，11S|a ab b|a ab b|26 10 65.221

5、17如图所示，已知正四面体ABCD中，AEAB，CFCD，则直线DE和BF所成角的余44弦值为_答案4,13解析,因四面体 ABCD 是正四面体，顶点 A 在底面 BCD 内的射影为BCD 的垂心，所以有BCDA，ABCD.设正四面体的棱长为4，则BFDE=（BC+CF）（DA+AE）=0+BCAE+CFDA+0=41cos120+14cos120=4,BFDE 4212241cos60 13，所以异面直线DE与BF的夹角的余弦值为：cosBF DEBF DE4.138如图，四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC平面ABCD，E为PC的中点

6、(1)求异面直线PA与DE所成的角的余弦值(2)求点D到平面PAB的距离解如图取 DC 的中点 O，连结 PO，PDC 为正三角形，PODC又面 PDC面 ABCDPO面 ABCD以 O 为坐标原点 OC、OP 所在直线为 y 轴，z 轴建立如图所示直角坐标系，则 P(0,0，D(0，3aaaa)，A(a，,0)，B(a，,0)，C(0，,0)，2222a,0)2(1)E 为 PC 的中点，E(0，3aa，)4433a3DE(0，a，a)，PA(a，a)，4422PADEa()234a333a(a)a2，4243|PA|2a，|DE|a，2cosPA，DEPADE6,4|PA|?|DE|6.4

7、异面直线PA与DE所成角的余弦值为a3(2)由(1)知PA(a，a)，22AB(0，a,0)，DA(0，a,0)，设平面PAB的一个法向量为n n(x，y，z)，则n nPA，n nAB(0，a,0)，a3n nPAxayaz022n nABya0由得y0，代入得xa3az02令x 3，则z2，n n(3，0,2)则 D 到平面 PAB 的距离 d 等于DA在n n上射影的绝对值.d DAnn|3a|21a，7721a.79在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，1AD.求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值2即点D到平面PAB的距离等于解建立如图所

8、示的空间直角坐标系Axyz，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)C(1,1,0)，D(0，1,0)，S(0,0,1)，212SA(0,0，1)，SB(1,0，1)，SC(1,1，1)，SD(0，1)设平面SAB的法向量为n n1(x1，y1，z1)平面SCD的法向量为n n2(x2，y2，z2)平面SAB与平面SCD所成的角为由n n1SA0 与n n1SB0可得n n1(0,1,0)由n n2SC0 与n n2SD0可得n n2(1,2,1)n n1n n226cosn n1，n n2|n n1|n n2|1 63costan63，sin33222.2即面SCD平面SAB所成的二面角的正切

9、值为知识点一知识点一证明平行、垂直关系证明平行、垂直关系已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在DB、D1C上，且DED1F中a为正方体棱长求证：EF平面BB1C1C.证明2a，其3如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则E a aa 2a,0，F0,，3 3332aa故EF，0，33又AB(0，a,0)显然为平面BB1C1C的一个法向量，2aa而ABEF(0，a,0)，0，0，33AEEF.又E平面BB1C1C，因此EF平面BB1C1C.正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点，求证：平面 AED平面 A1FD1.证明如图，建立空间直角坐标系Dxy

10、z.设正方体棱长为 1，则 E(1,1，F(0，1)、D1(0,0,1)、21,0)、A(1,0,0)21DA(1,0,0)D1A1，DE(1,1，)，211D1F0，2，1，A1D1(0，2，1)设m m(x1，y1，z1)，n n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量，mmDA 0,x10DE 0,由mm1xyz10112令y11，得m m(0,1，2).nD1A1 0,又由nD1F 0,令z21，得n n(0,2,1)m mn n(0,1，2)(0,2,1)0，m mn n，故平面AED平面A1FD1.知识点二知识点二求空间角求空间角已知直四棱柱ABCDA1B1C1

11、D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A为直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值解以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)DC(0,1,0)，222 2 3 2 17cosDC，BC1=33 17.1717DC BC1DC BC1异面直线DC与BC1所成的角为锐角，3 17异面直线DC与BC1所成的角的余弦值为.17如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M 为 B1C1上一点且 B1M

12、=2，点N 在线段 A1D 上，A1DAN.（1）求 cosA1D,AM;(2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值；(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值解(1)建立空间直角坐标系(如图所示)AM(5,2,4)，A1D(0,8，4)AMA1D016160，AMA1DcosAM，A1D0.(2)A1DAM，A1DAN，A1D平面AMN，A1D(0,8，4)是平面ANM的一个法向量又AD(0,8,0)，|A1D|4 5，A1DAD64，6422 5cosA1D，AD.54 585AD与平面AMN所成角2sin5.52A1D，AD，(3)平面ANM的法向量是A1D(0,8，4)平面ABCD

13、的法向量是a a(0,0,1)，45cosA1D，a a.54 5平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值是5.5知识点三知识点三求空间距离求空间距离如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为 2 2，侧棱长为 4，点E、F分别为棱AB、BC的中点，EFBDG，求点D1到平面B1EF的距离d.解如图建立空间直角坐标系D-xyz，易得 D1(0,0,4)，B1(2 2，2 2,4)，E(2 2，2,0)，F(2,2 2,0)，故EF(2，2，0)，EB1(2 2，2 2，0)设n n(x，y，z)是平面B1EF的一个法向量，则EF 0,2x 2y0n n2y4z0EB1 0n n令x1，

14、得n n(1,1，则|D1B1n|=4 2,d=2)4.D1B1nn点 D1到平面 B1EF 的距离为16 17点D1到平面B1EF的距离为.17已知斜三棱柱ABCA1B1C1，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1.(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求点C1到平面A1AB的距离；(3)求二面角AA1BC的余弦值(1)证明如图，取AB的中点E，则DEBC，因为 BCAC，所以 DEAC，又 A1D平面 ABC，以 DE，DC，D A1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，

15、C1(0,2，t)，AC1(0,3，t)，BA1(2，1，t)，CB(2,0,0)，由A1CCB0，知A1CCB，又BA1AC1，从而AC1平面A1BC；(2)解由A1CBA13t0，得t 3.2设平面A1AB的法向量为n n(x，y，z)，AA1(0,1，3)，AB(2,2,0)，AA1 0,n n所以，AB 0,n n设z1，则n n(3，3，1)所以点C1到平面A1AB的距离dAC1nn=2 21,7(3)解再设平面A1BC的法向量为m m(x，y，z)，CA1(0，1，3)，CB(2,0,0)，所以CA1 0,mmCB 0,mm设z1，则m m(0，3，1)，m mn n7故 cosm

16、 m，n n，根据法向量的方向，|m m|n n|7可知二面角AA1BC的余弦值7.7考题赏析考题赏析1(北京高考)如图所示，在三棱锥 PABC 中，AC=BC=2，ACB=90，AP=BP=AB，PCAC.(1)求证：PCAB；(2)求二面角 BAPC 的余弦值；(3)求点 C 到平面 APB 的距离(1)证明AC=BC，AP=BP，CP=CP，APCBPC.又 PCAC，PCBC.ACBC=C，PC平面 ABC.AB平面 ABC，PCAB.(2)解如图所示，以 C 为原点建立空间直角坐标系Cxyz.则 C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)，设 P(0,0，t)|PB|=|A

17、B|=2 2，t=2，P(0,0,2)取 AP 中点 E，连结 BE，CE.|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，CEAP，BEAP.BEC 是二面角 BAPC 的平面角 E(0，1，1)，EC(0，1，1)，EB(2，1，1)，cosBFC=ECEBEC EB22 63.3二面角BAPC的余弦值为3.3(3)解ACBCPC，C在平面APB内的射影为正APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离如(2)建立空间直角坐标系Cxyz.222BH2HE，点H的坐标为，3332 3|CH|，32 3点C到平面APB的距离为.32(山东高考)如图所示，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱

18、形，PA平面 ABCD，ABC=60，E，F 分别是 BC，PC 的中点(1)证明：AEPD；(2)若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为，求二面角 EAFC 的余弦值(1)证明由四边形 ABCD 为菱形，ABC=60，可得ABC 为正三角形因为 E 为 BC 的中点，所以 AEBC.又 BCAD，因此 AEAD.因为 PA平面 ABCD，AE平面 ABCD，所以 PAAE.而 PA平面 PAD，AD平面 PAD 且 PAAD=A，所以 AE平面 PAD.又 PD平面 PAD，所以 AEPD.(2)解由(1)知 AE，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建

19、立如图所示的空间直角坐标系，又 E、F 分别为 BC、PC 的中点，所以A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，31，,1)，2231所以AE(3，0,0)，AF=(，,1)22E(3,0,0)，F(设平面 AEF 的一法向量为 m=（x1，y1，z1），AE 0,mm则AF 0,mm3x 0,因此31x1y1 z1 0,22取 z1=1，则 m=（0，2，1），因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面 AFC，BD为平面 AFC 的一法向量.又BD=（3，3，0），mBD2315所以cosm,BD=55 12m BD故因此,二面角 EAFC 为锐角,所以所求二面角的余弦值为15,5