2010高三数学高考《平面向量》专题学案：平面向量的数量积.pdf

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1、第第 3 3 课时课时平面向量的数量积平面向量的数量积基础过关基础过关1 1两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b，过 O 点作OAa，OBb，则AOB(0180)叫做向量a与b的当 0时，a与b；当 180时，a与，我们说a与b垂直，记作b；如果a与b的夹角是 902 2 两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab规定零向量与任一向量的数量积为 0若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab3 3向量的数量积的几何意义：|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影(是向量a与b的夹角)ab的几何意义是，数量ab等于4 4向量

2、数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角eaaeab 当a与b同向时，ab；当a与b反向时，ab cos|ab|5 5向量数量积的运算律：ab；(a)ba(b)(ab)c典型例题典型例题例例 1.1.已知|a|4，|b|5，且a与b的夹角为 60，求：(2a3b)(3a2b)解解:(2a3b)(3a2b)4变式训练变式训练 1.1.已知|a|3，|b|4，|ab|5，求|2a3b|的值解解:6 5例例 2.2.已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，(1)若 ab，求；(2)求|ab|的最大值解：解：(1)若a b，则sincos 0即tan 1而(,)，所以 22

3、2244)(2)a b 当43 2(sincos)3 2 2sin(时，a b的最大值为2 1变式训练变式训练 2 2：已知a (cos,sin)，b (cos,sin)，其中0(1)求证：a b与a b互相垂直；(2)若ka b与akb的长度相等，求的值(k为非零的常数)证明：证明：(a b)(a b)a2b2(cos2sin2)(cos2sin2)0a b与a b互相垂直（2）kab (kcoscos,ksinsin),akb (coskcos,sinksin),k ab k 12k cos(),akb k212k cos(),2而k 12kcos()2k212kcos()cos()0，2

4、例例 3.3.已知 O 是ABC 所在平面内一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)0，判断ABC是哪类三角形解解:设 BC 的中点为 D，则(OB OC)(OB OC 2OA)02BCAD0BCADABC 是等腰三角形.变式训练变式训练 3 3：若A(1,2),B(2,3),C(2,5)，则ABC 的形状是.解解:直角三角形.提示：AB (1,1),AC (3,3),AB AC 0,AB AC例例 4.4.已知向量m(cos,sin)和n(2sin,cos)(,2)且|m n|cos(28 2，求58)的值.12825解解:mn(cossin2,cossin)由已知(cossin2)2(c

5、ossin)2化简：cos()4725又 cos2()281cos(2)416251cos(,2)cos()02821 cos()1644cos()522825)41625变式训练变式训练 4.4.平面向量a (3,1),b (,13)，若存在不同时为0的实数k和t，使22x a(t23)b,y ka tb,且x y，试求函数关系式k f(t).解：解：由a (3,1),b (,213)得ab 0,|a|2,|b|1222222a(t 3)b(ka tb)0,ka ta bk(t 3)abt(t 3)b 0114k t33t 0,k(t33t),f(t)(t33t)44小结归纳小结归纳1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法2注意ab与 ab 的区别ab0a0，或b03应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合