(完整版)三角函数及解三角形知识点.pdf

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1、(完整版)三角函数及解三角形知识点三角函数知识点三角函数知识点正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第二象限角的集合为k360 90 k360 180,k第三象限角的集合为k360 180 k360 270,k第四象限角的集合为k360 270 k360 360,k终边在x轴上的角的集合为 k180,k终边在y轴上的角的集合为 k180 90,k终边在坐标轴上的角的集合为 k90,k3、与角终边相同的角的集合为 k360,k第一象限角的集合为k360

2、 k360 90,k4、已知是第几象限角，确定n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的n*正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则原来是第几象限对应的标号即为边所落在的区域5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是7、弧度制与角度制的换算公式：2 360，1 180lr终n，1180 57.38、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l r,C 2r l，11S lr r2229、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是-1-(完整版)三角函数及解三角

3、形知识点r r x2 y2 0，则sinyxy，cos，tanx 0rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正11、三角函数线:sin，cos，tan 12、同角三角函数的基本关系：1sin2cos21yPTOMAxsin21cos2,cos21sin2；2sinsin tancos,costansin tancos13、三角函数的诱导公式：1sin2ksin,cos2k cos，tan2k tank2sin sin,cos cos，tan tan3sin sin，cos cos，tan tan4sinsin，cos cos，tan

4、 tan口诀：函数名称不变，符号看象限5sin cos，cos sin22 cos，cos sin226sin口诀：奇变偶不变,符号看象限14、函数y sin x的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sinx的图象;再将函数y sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变)，得到函数y sinx的图象;再将函数y sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍(横坐标不变），得到函数y sinx的图象函数y sin x的图象上所有点的横坐标伸长(缩短）到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数-2-(完整版)三角函数及解三角形知识点y sinx的图象；再将函

5、数y sinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度,得到函数再将函数y sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的y sinx的图象；倍（横坐标不变)，得到函数y sinx的图象函数y sinx 0,0的性质：振幅：；周期：2；频率：f 1；相位：x；初相：2函数y sinx,当x x1时，取得最小值为ymin；当x x2时，取得最大值为ymax，则 11ymax ymin，ymax ymin，x2 x1x1 x222215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性质函数y sin xy cosxy tan x图象定义域值域当x 2k最时,2RRx x k,k21,11,1k当x

6、 2kk时,ymax1；当x 2kRymax1;当既无最大值也无最小值值x 2k2k时,ymin 1k时,ymin 1-3-(完整版)三角函数及解三角形知识点周期性奇偶性22奇函数偶函数奇函数在2k,2k22在单k上是增函数;2k,2kk22k,k在上 是 增 函 数；在调在性2k,2k3222k,2kk上是减函数k上是增函数k上是减函数对对称对性x k称中心对称中心对称中心k,0k称2轴k,0k 2 k,0k 2k 对称轴x kk无对称轴半角公式sin(A/2）=（(1cosA)/2)sin（A/2）=（1-cosA)/2）cos(A/2)=(1+cosA）/2）cos（A/2)=（(1+c

7、osA）/2)tan（A/2）=（(1-cosA)/(1+cosA）)tan(A/2)=(（1cosA）/(（1+cosA）ctg(A/2）=(（1+cosA）/(1cosA)ctg（A/2）=（(1+cosA）/(1-cosA)）和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin（A-B)2cosAsinB=sin（A+B）-sin(AB）-4-(完整版)三角函数及解三角形知识点2cosAcosB=cos(A+B）-sin（A-B)-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B)sinA+sinB=2sin（A+B)/2）cos（A-B）/2 cosA+cosB=2cos（A+B)

8、/2）sin（(AB）/2）tanA+tanB=sin（A+B)/cosAcosB tanAtanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B）/sinAsinB ctgA+ctgBsin（A+B)/sinAsinB辅助角公式sincos22sin，其中tan降幂公式（sin2）x=1-cos2x/2（cos2）x=i=cos2x/2万能公式令 tan(a/2)=tsina=2t/(1+t2）cosa=（1-t2）/（1+t2）tana=2t/(1-t2)公式一：设 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sin cos（2k）costan(2k）

9、tancot(2k)cot公式二：设 为任意角，+的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin(）sin cos（)cos tan（）tan cot（）cot公式三：任意角 与 的三角函数值之间的关系:sin（）sin cos（）cos-5-(完整版)三角函数及解三角形知识点 tan()tan cot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到 与 的三角函数值之间的关系:sin（）sin cos（)cos tan（）tan cot（）cot公式五：利用公式一和公式三可以得到 2 与 的三角函数值之间的关系:sin(2）sincos(2）cos tan（2)tan cot（2)cot公式六：

10、/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tansin(/2）cos cos（/2）sin tan（/2)cot cot（/2)tan (以上 kZ)注意：在做题时，将 a 看成锐角来做会比较好做.诱导公式记忆口诀奇变偶不变,符号看象限。同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系:tan cot1-6-(完整版)三角函数及解三角形知识点sin csc1cos sec1商的关系：sin/costansec/csccos/sincotcsc/sec两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（A+B)=si

11、nAcosB+cosAsinB sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B）=cosAcosBsinAsinB cos(A-B）=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B）=（tanA+tanB)/（1tanAtanB）tan（A-B）=(tanA-tanB）/(1+tanAtanB）ctg(A+B)=(ctgActgB1)/（ctgB+ctgA）ctg(A-B）=（ctgActgB+1)/（ctgB-ctgA)二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式)tan2A=2tanA/（1tan2A）sin2a=2sinacosacos2a=cos2asin

12、2a=2cos2a1=12sin2a半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin2（/2)（1cos）2 cos2（/2）（1cos)2 tan2（/2)(1cos）（1cos）另也有 tan（/2）=（1cos）/sin=sin/(1+cos)万能公式sin=2tan（/2）/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2）/1+tan2(/2）-7-(完整版)三角函数及解三角形知识点tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)万能公式推导附推导：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2(）。.。*，（因为 cos2()+sin2（)=1）再把*分式上

13、下同除 cos2()，可得 sin22tan/(1tan2()）然后用/2 代替 即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。和差化积公式三角函数的和差化积公式sinsin2sin（)/2cos（）/2sinsin2cos()/2sin（)/2coscos2cos()/2cos(）/2coscos2sin()/2sin（)/2积化和差公式三角函数的积化和差公式sin cos0。5sin（)sin（)cos sin0.5sin()sin()cos cos0.5cos（）cos(）sin sin0.5cos(）cos(）和差化积公式推导附推导:首先，我们知道 sin(a+b

14、）=sinacosb+cosasinb，sin(ab)=sina*cosbcosa*sinb-8-(完整版)三角函数及解三角形知识点我们把两式相加就得到 sin（a+b)+sin(a-b）=2sina*cosb所以，sinacosb=（sin（a+b）+sin(a-b）/2同理，若把两式相减，就得到 cosa*sinb=(sin(a+b）sin（ab）/2同样的,我们还知道 cos（a+b）=cosacosb-sina*sinb,cos(ab）=cosacosb+sina*sinb所以，把两式相加,我们就可以得到 cos（a+b)+cos(a-b)=2cosacosb所以我们就得到,cosa*

15、cosb=(cos(a+b）+cos（a-b）/2同理,两式相减我们就得到 sinasinb=-（cos（a+b）cos（ab)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=（sin（a+b）+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin（a+b)-sin（a-b)）/2 cosacosb=（cos（a+b）+cos（a-b)/2 sina*sinb=(cos（a+b）cos（ab)）/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式。我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x，ab 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(xy)/2把 a

16、,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sin(x+y)/2）*cos（xy）/2）sinxsiny=2cos(x+y）/2)sin（x-y)/2）cosx+cosy=2cos(（x+y）/2)*cos（(xy)/2)cosx-cosy=2sin(x+y）/2)sin（xy）/2）0 度 sina=0，cosa=1,tana=030 度 sina=1/2，cosa=3/2,tana=3/345 度sina=2/2，cosa=2/2，tana=160 度sina=3/2,cosa=1/2，tana=3-9-(完整版)三角函数及解三角形知识点90 度 sina

17、=1,cosa=0,tana 不存在120 度sina=3/2，cosa=1/2，tana=-3150 度 sina=1/2，cosa=3/2，tana=-3/3180 度 sina=0,cosa=1，tana=0270 度 sina=-1，cosa=0,tana 不存在360 度 sina=0,cosa=1，tana=01、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径,则有abc 2RsinsinsinC2、正弦定理的变形公式：a 2Rsin，b 2Rsin，c 2RsinC；abcsin,sin，sinC;2R2R2Ra:b:c sin:sin:sin C；abcabcsinsinsinCsinsinsinC1113、三角形面积公式：SCbcsin absinC acsin2224、余弦定理：在C中，有a2 b2c22bccos,b2 a2c22accos,c2 a2b22abcosCb2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推论：cos，cos，cosC 2bc2ac2ab6、设a、b、c是C的角、C的对边，则：若a2b2 c2，则C 90;若a2b2 c2,则C 90；若a2b2 c2,则C 90-10-