一元二次方程知识点及其应用.pdf

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1、一元二次方程知识点及其应用Last revision on 21 December 2020一、相关知识点一、相关知识点1理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为 1，未知数的最高次数为 2，整式方程，可化为一般形式；2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数a 0时，整式方程ax2bx c 0才是一元二次方程。（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).（3）熟练整理方程的过程3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4列出实际问题的一元二次方程二解法1明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转

2、化为一元一次方程求解；2根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3体会不同解法的相互的联系；4值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如x2 n或(ax b)2 n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如x2 n的方程的解法：当n 0时，x n;当n 0时，x1 x2 0;当n 0时，方程无实数根。（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x m)2 n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到

3、方程的右边；“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x m)2 n的形式；求解：若n 0时，方程的解为x m n，若n 0时，方程无实数解。bb24ac（3）公式法：一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根x 2a2当b2 4ac 0时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当b2 4ac 0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为x1 x2 当b2 4ac 0时，方程无实数根.公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定a,b,c的值；代入b2 4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；若b2 4ac 0

4、代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式至少有一个为 0，即：若ab 0，则a 0或b 0；因式分解法的一般步骤：b；2a若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。（5）选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次

5、根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。三、根的判别式三、根的判别式1了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=b2 4ac（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2bx c 0（a 0）a 0当方程有实数根；0时a 0a 0（当方程有两个不相

6、等的实数根；当方程有两个相等的实数 0时 0时根；）a 0当方程无实数根；0时从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况先计算出判别式（关键步骤）；用配方法将判别式恒等变形；判断判别式的符号；总结出结论.（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为 0，一元二次方程可能会有

7、两个实数根或无实数根。（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题四、一元二次方程的应用四、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b）,这

8、四者之间的关系可以用公式a(1 x)n b表示。4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。五实际应用五实际应用（1）有 100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于 600 平方米，在场地的北面有一堵 50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长 40米、宽 10米的仓库，但面积只有400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜（36岁）(3)已知：a,b,c分别

9、是ABC的三边长，当m 0时，关于x的一元二次方程c(x2 m)b(x2 m)2 max 0有两个相等的实数根，求证：ABC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分别是ABC的三边长，求证：方程b2x2(b2 c2 a2)x c2 0没有实数根。（5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2 4x 4 0与x2 4mx 4m2 4m 5 0的根都是整数（m 1）m21 0，其中m为实数，（1）当m为何值时，（6）已知关于x的方程x 2x 2x 2x 2m2方程没有实数根（2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根求出这三个实数根。答案：（1）m 2（2）x 1,12.（二）一元二次方程的

10、解法1开平方法解下列方程：（1）5x2125 0（x1 5,x2 5）（3）y2361 0（原方程无实根）2配方法解方程：（1）x2 2x 5 0（x 16）3公式法解下列方程：（1）3x2 6x 2（x 333）4因式分解法解下列方程：（1）14x29 0（x 6）（2）169(x 3)2 289（x56113,x 22213）（4）(13)m2 0（m1 m2 0）2）y2 5y 1 0（x 5212）（2）p2 3 2 3p（p1 p23）2）y2 4y 45 0（y1 9,y2 5）（3）8x210 x 3 0（x15解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：（1）2(2x 7)2128

11、（x 6 6解含有字母系数的方程（解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程）：（1）x2 2mx m2 n2 0 (x1 m n,x2 m n)（2）x23a2 4ax 2a 1（x1 3a 1,x2 a 1）（三）一元二次方程的根的判别式1不解方程判别方程根的情况：（1）4x2 x 3 7x（有两个不等的实数根）（2）3(x2 2)4x（无实数根）2k为何值时，关于 x 的二次方程kx26x 9 0（1）有两个不等的实数根（k 1且k 0）（2）有两个相等的实数根（k 1）267）2）（2）2m m21 2(m2 2m)2（m 2213,x2）（4）7x221x 0（x1 0,x23）42（

12、3）无实数根（k 1）3已知关于的方程4x2(m 2)x 1 m有两个相等的实数根求的值和这个方程的根 (m 2,x1 x24若方程x2 2(a 1)x a2 4a 5 0有实数根，求：正整数 a.（a 1,a 2,a 3）5对任意实数 m，求证：关于 x 的方程(m21)x2 2mx m2 4 0无实数根.6k为何值时，方程(k 1)x2(2k 3)x (k 3)0有实数根.7设m为整数，且4 m 40时，方程x2 2(2m 3)x 4m214m 8 0有两个相异整数根，求m的值及方程的根。（当m=12时，方程的根为x116,x2 26；当m=24时，方程的根为x1 38,x2 52）13或

13、m 10,x1 x2)223某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1元，商场每天可多售 出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元（20元）4已知甲乙两人分别从正方形广场 ABCD的顶点 B、C 同时出发，甲由 C 向 D运动，乙由B向 C 运动，甲的速度为每分钟 1千米，乙的速度每分钟 2 千米，若正方形广场周长为 40千米，问几分钟后，两人相距2 10千米 (2分钟后)7某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款 200 万元资金，用于生产

14、这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的 8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余 72 万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数.(20%)北北B B8如图，东西和南北向两条街道交于 O点，甲沿东西道由西向东走，A AO OA AB B东东速度是每秒 4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒 3 米，当乙通过 O点又继续前进 50米时，甲刚好通过 O点，求这两人在相距 85 米时，每个人的位置。（甲离 O84米，乙离 O13 米）9已知关于 x 的方程(n 1)x2 mx 1 0有两个相等的实数根.(1)求证：关于 y的方程m2y2 2my m2 2n23 0必有两个相等的实数根。(2)若方程的一根的相反数恰好是方程的一个根，求代数式m2n 12n的值。（14）