2010年高三数学高考复习查漏补缺：立体几何2.pdf

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1、20102010 年高考数学复习查漏补缺：立体几何年高考数学复习查漏补缺：立体几何十、你会解决图形折叠问题吗？十、你会解决图形折叠问题吗？训练训练 1717如图 4,在直角梯形ABCD中,ABC DAB 90,CAB 30,BC 1,AD CD,把DAC沿对角线AC折起后如图 5 所示(点D记为点P),点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上,连接PB.(1)求直线PC与平面PAB所成的角的大小;(2)求二面角P AC B的大小的余弦值.(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)方法一方法一:(1)解解:

2、在图 4 中,ABC DAB 90,CAB 30,BC 1,AB BC1BC13AC 2,DAC 60.,1tan30sin30323AD CD,DAC为等边三角形AD CD AC 2.在图 5 中,点E为点P在平面ABC上的正投影,PE 平面ABC.BC 平面ABC,PE BC.CBA 90,BC AB.PEAB E,PE 平面PAB,AB 平面PAB,BC 平面PAB.CPB为直线PC与平面PAB所成的角.在 RtCBP中,BC 1,PC DC 2,sinCPB BC1.PC20 CPB 90,CPB 30.直线PC与平面PAB所成的角为30.(2)解:取AC的中点F,连接PF,EF.PA

3、 PC,PF AC.PE 平面ABC,AC 平面ABC,PE AC.PFPE P,PF 平面PEF,PE 平面PEF,AC 平面PEF.EF 平面PEF,EF AC.PFE为二面角P AC B的平面角.在 RtEFA中,AF 1AC 1,FAE 30,22 3322,AE EF AF.EF AFtan3033在 RtPFA中,PF PA2 AF222123.3在 RtPEF中，cosPFE EFPF3313.二面角P AC B的大小的余弦值为13.方法二方法二:解解:在图 4 中,ABC DAB 90,CAB 30,BC 1,AB BCtan30133,AC BCsin3011 2,32AD

4、CD,DAC为等边三角形.AD CD AC 2.在图 5 中,DAC 60.点E为点P在平面ABC上的射影,PE 平面ABC.BC 平面ABC,PE BC.CBA 90,BC AB.PEAB E,PE 平面PAB,AB 平面PAB,BC 平面PAB.连接EC,在 RtPEA和 RtPEC中,PA PC 2,PE PE,RtPEARtPEC.EA EC.ECA EAC 30.CEB 60.在 RtCBE中，EB BC13.tan6033AE AB EB 2 3.3PA2 AE2在 RtPEA中，PE 2 6.3以点E为原点,EB所在直线为x轴,与BC平行的直线为y轴,EP所在直线为z轴,建立空3

5、2 33,0,0间直角坐标系E xyz,则E0,0,0,A3,1,0,B3,0,0,C32 6P0,0,3.BC 0,1,0,EP 0,0,2 6,AC 31,232 63,1,0,PC,1,.33(1)cos BC,PC BC PCBC PCBC,PC 30.直线PC与平面PAB所成的角为30.(2)设平面PAC的法向量为n nx,y,z,3x y 0,n n ACAC 0,由得32 6x y z 0.n n PCPC 0.3 3令x 1,得y 3,z 2.2n n1,3,2为平面PAC的一个法向量.22 6EP 0,0,为平面ABC的一个法向量,3cosn n,EPEP 1.3n n EP

6、EPn n EPEP二面角P AC B的平面角为锐角,二面角P AC B的平面角的余弦值为1.3十一、立体几何解答题你能快速正确求解吗？十一、立体几何解答题你能快速正确求解吗？训训 练练1818如 图，三 棱 柱ABC A1B1C1中，侧 面AA1C1C底 面ABC，AA1 AC AC 2,AB BC,且AB BC,O为AC中点.1（）证明：A1O 平面ABC；（）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（）在BC1上是否存在一点E，使得OE/平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置.解：（）证明：因为A1A AC，且O为AC的中点，1所以AO AC.1又由题意可知，平面AA

7、C1O 平面AA11C 平面ABC，交线为AC，且A1C1C，所以A1O 平面ABC.（）如图，以O为原点，OB,OC,OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意可知，A1A AC AC 2,又AB BC,AB BC,OB 11AC 1,2所以得:O(0,0,0),A(0,1,0),A1(0,0,3),C(0,1,0),C1(0,2,3),B(1,0,0)则有：A1C (0,1,3),AA1(0,1,3),AB (1,1,0).设平面AA1B的一个法向量为n n (x,y,z)，则有3n n AA1 0y 3z 0，令y 1，得x 1,z 3n n AB 0 x y 0所以n

8、n (1,1,cos n n,A1C n n A1C|n n|A1C|3).321.721.7因为直线A1C与平面A1AB所成角和向量n n与A1C所成锐角互余，所以sin（）设E (x0,y0,z0),BE BC1,x01即(x01,y0,z0)(1,2,3)，得y0 2z03所以E (1,2,3),得OE (1,2,3),令OE/平面A1AB，得OE n n=0，1即1 2 0,得,即存在这样的点E，E为BC1的中点.2训练训练 1919 在四棱锥P ABCD中，侧面PCD底面ABCD，PD CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB/CD，ADC 90，AB AD PD 1，CD

9、2.（）求证：BE/平面PAD；（）求证：BC 平面PBD；（）设Q为侧棱PC上一点，PQ PC，试确定的值，使得二面角Q BD P为45.解：解：（）取PD的中点F，连结EF,AF，因为E为PC中点，所以EF/CD，且EF 1CD 1，2在梯形ABCD中，AB/CD，AB 1，所以EF/AB，EF AB，四边形ABEF为平行四边形，所以BE/AF，BE 平面PAD，AF 平面PAD，所以BE/平面PAD.（）平面PCD底面ABCD，PD CD，所以PD 平面ABCD，所以PD AD.如图，以D为原点建立空间直角坐标系D xyz.则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,

10、0,1).DB (1,1,0)，BC (1,1,0)，所以BCDB 0，BC DB，又由PD 平面ABCD，可得PD BC，所以BC 平面PBD.9 分（）平面PBD的法向量为BC (1,1,0)，PC (0,2,1)，PQ PC，(0,1)所以Q(0,2,1)，11 分设平面QBD的法向量为n n=(a,b,c)，DB (1,1,0)，DQ (0,2,1)，由n nDB 0，n nDQ 0，得所以，ab 0，2b(1)c 02)，1所以n n=(1,1,所以cos45 n nBCn n BC22 2(22)12，2注意到(0,1)，得2 1.2的等边三角形，训练训练 2020在三棱锥P AB

11、C中，PAC和PBC是边长为AB 2，O是AB中点（）在棱PA上求一点M，使得OM平面PBC；（）求证：平面PAB平面ABC；（）求二面角PBC A的余弦值解：（）当M为棱PA中点时，OM平面PBC.证明如下：M,O分别为PA,AB中点，OMPB又PB 平面PBC，OM 平面PBCOM平面PBC.（）连结OC，OPAC CB 2，O为AB中点，AB 2,OCAB，OC 1.同理,POAB，PO 1.又PC 2,PC2 OC2 PO2 2,POC 90.POOC.POOC,POAB,ABOC O,PO平面ABC.PO 平面PAB平面PAB平面ABC.（）如图,建立空间直角坐标系O xyz.则B(

12、1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，BC (1,1,0)，PB (1,0,1).由（）知OP (0,0,1)是平面ABC的一个法向量.设平面PBC的法向量为n n (x,y,z)，n nBC 0 x y 0则.x z 0n nPB 0令z 1，则x 1,y 1，平面PBC的一个法向量n n (1,1,1).cos OP,n n OPn n13.3|OP|n n|1 3二面角PBC A的平面角为锐角，33所求二面角PBC A的余弦值为训练训练 2121如图，P-ABCD 是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中 AB2，PA=6(1)求证：PAB1D1；(2)求平面 P

13、AD 与平面 BDD1B1所成的锐二面角的正切值；(3）求 B1到平面 PAD 的距离。解法一：（1）连结 AC，交 BD 于点 O，连结 PO，则 PO面 ABCD又ACBDPABD，BDB1D1PAB1D1（2）AOBD，AOPOAO面 PBD，过点 O 作 OMPD 于点 M，连结 AM，则 AMPD，则AMO 就是二面角 APDO 的平面角。POOD222AB=2，PA=6AO=2，PO=62=2，OM=PD63tanAMO=AO262OM23(3)分别取 AD、BC 的中点 E、F，作平面 PEF，延长 PE、PF 交底面于两点 S、S1，平面 PEF交 B1C1于点 B2，过点 B

14、2作 B2B3PS 于点 B3，则 B2B3平面 PAD，又因为 B1C1AD，所以 B2B3的长就是点 B1到平面 PAD 的距离。PO AA1 2,EF sinPSS1=SS1PO2 2,tanPSS1=tanPEO=22OE1B B6 5223,而 SB2=3，B2B355SB2解法二：以 A1B1为 x 轴，A1D1为 y 轴，A1A 为 z 轴建立空间直角坐标系。（1）设 E 为 BD 的中点，PABCD 是正四棱锥PE平面 ABCDAB 2,PA 6PE 2P(1,1,4)B1D1(2,2,0),AP (1,1,2)B1D1 AP 0即 PAB1D1；（2）设平面 PAD 的法向量是 m=(x,y,z)AD (0,2,0),AP (1,1,2),y 0,x 2z 0,取 z=1,得 m=(-2,0,1)又平面 BDD1B1的法向量是 n=(1,1,0)cos m,n(3)mn106,tan;|m|n|52|B1Am|65|m|5B1A (2,0,2),B1到平面PAD的距离d 训练训练 2222 如图所示，在三棱锥P-ABC 中，PA平面ABC，AB=BC=CA=2,M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心;（3）若球O的表面积为20，求二面角A-PB-C的平面角的余弦值