上海市徐汇区2018年高三数学二模试卷.pdf

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1、上海市徐汇区上海市徐汇区二模试卷二模试卷20182018 年高三数学年高三数学2017-20182017-2018 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学高三数学2018.42018.4一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1-6题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1 1已知全集已知全集U R，集合，集合A x xCUA 22x 3 0，则，则 .1 xx62 2 在在的的 二二 项项 展展 开开 式式 中中，常常 数数 项项xx是是 .3 3函数函数f(x)lg(3 2)的定义域为的定义域为_4 4

2、 已已 知知 抛抛 物物 线线x ay的的 准准 线线 方方 程程 是是y 1，则则425 5若一个球的体积为若一个球的体积为32，则该球的表面积为，则该球的表面积为3若对任意的若对任意的(x,y)(x,y)|xa yb|1,xy 0，都有都有|x y|1成立，成立，则则ab的最小值为的最小值为 .二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑1313在四边形在四边形ABCD中，中，AB DC，且，且ACBD0 0，则四边，则四边形形ABCD是是-（）（A A）菱形）菱形（B B）矩形）矩形（C C）直角）

3、直角梯形梯形（D D）等腰梯形）等腰梯形14.14.若无穷等比数列若无穷等比数列a的前的前n项和为项和为S，首项为首项为1，公公nn比为比为1，且，且limS2n*n a，(nN N)，则复数，则复数z a1（i为虚数单位）在复平面为虚数单位）在复平面i上对应的点位于上对应的点位于-（）（A A）第一象限）第一象限（B B）第二象限）第二象限（C C）第）第三象限三象限（D D）第四象限）第四象限1515在在ABC中，中，“cosAsin AcosBsinB”是“”是“C 90”的”的0-（）（A A）充充 分分 非非 必必 要要 条条 件件（B B）必要非充分条件）必要非充分条件（C C）充

4、要条件充要条件（D D）既不）既不充分也不必要条件充分也不必要条件1616如图，圆如图，圆C分别与分别与x轴正半轴，轴正半轴，y轴正半轴相切于轴正半轴相切于点点A,B，过劣弧过劣弧AB上一点上一点T作圆作圆C的切线，的切线，分别交分别交x轴正轴正半轴，半轴，y轴正半轴于点轴正半轴于点M,N，若点，若点Q(2,1)是切线上一点，是切线上一点，则则)（A A）1010（B B）8 8（C C）4 5（D D）1212三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17(本题满分 14 分，第1 小题满分 6 分，第2 小题满分 8 分)如图在长方体

5、如图在长方体ABCD A B C D中，中，AB2，1111MON周周长长的的最最小小值值为为-(-(D1C1AD4，AC121，点，点M为为AB的中点，的中点，A1B1DNC点点N为为BC的中点的中点（1 1）求长方体）求长方体ABCD A B C D的体积；的体积；1111AMB（2 2）求异面直线求异面直线A M与与B N所成角的所成角的11大小（用反三角函数表示）大小（用反三角函数表示）18(本题满分 14 分，第1 小题满分 6 分，第2 小题满分 8 分)如图：某快递小哥从如图：某快递小哥从A地出发，沿小路地出发，沿小路AB BC以以平均时速平均时速 2020 公里公里/小时，送快

6、小时，送快件到件到C处，已知处，已知BD10（公里）（公里），DCB 450,CDB 3000CB，ABD是等腰三是等腰三A角形，角形，ABD 120（1 1）试问，快递小哥能否在试问，快递小哥能否在5050分钟内将快件送到分钟内将快件送到C处？处？D（2 2）快递小哥出发快递小哥出发 1515 分钟后，分钟后，快递公司发现快件有快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路ADDC追赶，若汽车平均时速追赶，若汽车平均时速 6060 公里公里/小时，问，汽小时，问，汽车能否先到达车能否先到达C处？处？19(本题满分 14 分，第1 小题满

7、分 6 分，第2 小题满分 8 分)已知函数已知函数f(x)x23tx 1，其定义域为，其定义域为0,312,15，(1)(1)当当t 2时，求函数时，求函数y f(x)的反函数；的反函数；(2)(2)如果函数如果函数y f(x)在其定义域内有反函数，在其定义域内有反函数，求实求实数数t的取值范围的取值范围20(本题满分 16 分，第1 小题满分 4 分，第2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)如图，如图，A,B是椭圆是椭圆x2C:y212长轴的长轴的两个端点，两个端点，M,N是椭圆上与是椭圆上与A,B均均不不重重合合的的相相异异两两点点，设设直直线线AM,BN,AN的斜率分别是的斜

8、率分别是k,k,k.123(1)(1)求求k2k3的值；的值；2,02(2)(2)若直线若直线MN过点过点k1k3 16，求证：，求证：；(3)(3)设直线设直线MN与与x轴的交点为轴的交点为(t,0)(t为常数且为常数且t 0)，试探，试探究直线究直线AM与直线与直线BN的交点的交点Q是否落在某条定直线是否落在某条定直线上？若是，上？若是，请求出该定直线的方程；请求出该定直线的方程；若不是，若不是，请说明请说明理由理由21(本题满分 18 分，第1 小题满分 4 分，第2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)AA已知数列已知数列a的前的前n项和项和A满足满足n1nn1nnn1(nN*

9、)2，且，且a11，数列数列b满足满足bnn*2bb 0(nN)n2n1n，b3 2，其前其前 9 9 项和为项和为 3636(1)(1)求数列求数列a和和b的通项公式；的通项公式；n(2)(2)当当n为奇数时，为奇数时，将将a放在放在b的前面一项的位置上；的前面一项的位置上；当当nnn为偶数时，为偶数时，将将b放在放在a前面一项的位置上，前面一项的位置上，可以得到可以得到nn1122334455a,b,b,a,a,b,b,a,a,b,，一个新的数列：一个新的数列：求该数列的前求该数列的前n项项和和S；n(3)(3)设设cn1anbn，对于任意给定的正整数，对于任意给定的正整数kk 2，是否存

10、，是否存klm在正整数在正整数l,m(k l m)，使得，使得c,c,c成等差数列？若存在，成等差数列？若存在，求出求出l,m(用用k表示表示)；若不存在，请说明理由；若不存在，请说明理由20172017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准数学学科参考答案及评分标准202018.418.4一一填空题：（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分1,32 22020 3 3(0,)4 4161 5 56 617 7 8 8 9 911010 x61811111212，14152 y22x y

11、 0二选择题：（本大题共有 4 题，满分20 分，每题分）1313A A1414D D1515B B1616A A三解答题：（本大题共 5 题，满分 74 分）17(本题满分 14 分，第1 小题满分 6 分，第2 小题满分 8 分)【解解】（1 1）连连AC、ACABC是是直直角角三三角角形形，1AC 2242 2 5ABCD A1B1C1D1C1C 11C C CD，C C BC，是长方体，是长方体，又又DCBC C，1平面平面ABCD，C C AC1又在又在RtACC中，中，AC 121，AC 2 5，A1Dz1C1VABCDA1B1C1D18CC11DB1N-6-6 分分xA（2 2）

12、解法一：如图建立空间直）解法一：如图建立空间直角坐标系角坐标系MBCy则则A4,0,1、M4,1,0、B4,2,1、N2,2,0，所以，所以AM 0,1,1、111B1N 2,0,1，1010 分分则向量则向量AM与与B N11所成角所成角满足满足cos11A1M B1NA1M B1N101010异面直线异面直线A M与与B N所成的角等于所成的角等于arccos101414 分分解法二：取解法二：取AD的中点的中点E，连，连A E、EM1D1 EN/AB/A1B1，四边形四边形A B NE为平行四为平行四11C1边形，边形，A E/B N，EA M等于异面等于异面111A1B1DENBC直直

13、线线A1M与与B N所所成成的的角角或或其其补补1AM角角-9-9分分AM 1，AE 2，AA11，得，得AM 2，AE 5，EM 5，111cosEA1M 255102 2 51010，EAM arccos10异异 面面 直直 线线1010A1M与与B1N所所 成成 的的 角角 等等 于于arccos-14-14 分分18(本题满分 14 分，第1 小题满分 6 分，第2 小题满分 8 分)【解】【解】（1 1）AB10（公里）（公里），BCDBD中，中，由由sin450BCsin3002，得得BC 5（公里）（公里）-2-2分分5于是，由于是，由1020260 51.21 50知，知，C快

14、快 递递 小小 哥哥 不不 能能 在在5050分分 钟钟 内内 将将 快快 件件 送送 到到分分（2 2）在）在ABD中，由中，由AD得得AD 10 32处处 -6-61 10210221010 3002，），（公公5 2sin300里里，里里-8-8 分分CD在在BCD中，中，CBD 105，由，由sin10500得得CD 5 13（公公），-10-10 分分由由知知分分10 3 5 13606015 2015汽汽车车3 45.98 51.21（分钟）（分钟）到到达达C，能能先先处处-14-1419(本题满分 14 分，第1 小题满分 6 分，第2 小题满分 8 分)【解解】(1)(1)3x

15、8,x8,1y 3x8,x73,136；-6-6 分分t(2)(2)1若若3 0，即，即t 0，则，则y fx在定义域上单调递增，在定义域上单调递增，20所以具有反函数；所以具有反函数；-8-8 分分20若若32t15，即，即t 10，则，则y fx在定义域上单调递减，所在定义域上单调递减，所t3t当当33即即由于区间由于区间2t 8时，时，12，0,3关于对称轴关于对称轴 的的22以具有反函数；以具有反函数；-10-10 分分30对称区间是对称区间是3t 3,3t，于是当，于是当3t 123t3 2或或3t 3153t12 2，即，即t2,4或或t6,8时，时，函数函数y fx在定义域上满足

16、在定义域上满足 1-11-1 对应关系，具有反对应关系，具有反函数函数综综t(,02,4)(6,810,)上上，-14-14 分分20(本题满分 16 分，第1 小题满分 4 分，第2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)【解】【解】(1)(1)设设N(x,y)，由于，由于A(002,0),B(2,0)，所以所以2y0k2k32x02 x02x02y0y0，2x02 y012因为因为N(x,y)在椭圆在椭圆C上，于是上，于是00，即，即x2022 2y0，以以所所2y01k2k32 x022.-.-4-4 分分(2)(2)设直线设直线MN:x my得得(m于于222，M(x,y),N(

17、x,y)，由，由11222x my2x22y2 22)y22my 3 02，y1 y2 2m3,y y 12m222m22是是，-6-6 分分k1k3y1y2x12 x22y1y23 29m2y1y2my1 y222m232m2233 22m9m222m 222m 239m23m2m222232 1610 分(3)(3)由于直线由于直线MN与与x轴的交点为轴的交点为(t,0)，于是，于是MN:x myt，联立直线联立直线MN:x myt与椭圆与椭圆(m22)y22mty t22 0 x2C:y212的方程，可得的方程，可得，是是.-.-于于2mtt22y1 y2 2,y1 y22m 2m 2-

18、12-12 分分y因为直线因为直线AM:y x 112(x2)，直线，直线BN:y xy2(x2)22，两式相除，可知两式相除，可知x2x12y2my1t 2y2my1y2(t 2)y2yx2x221my2t 2y1my1y2(t 2)y1t222mtm2(t 2)(2 y1)22m(t 2)(t 2)(m 2)y1m 2m 2t22m(t22)(t 2)(m22)y1m2(t 2)y1m 2t 2 m(t 2)(m22)y1t 22t 2m(t 2)(m 2)y12 t，于是于是xt 2，所以所以x 2，即直线即直线AM与直线与直线BN的交点的交点Q落在落在t定直线定直线x 2上上1616

19、分分t21(本题满分 18 分，第1 小题满分 4 分，第2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)AA【解】答案：【解】答案：(1)(1)因为因为n1nn1n1(nN*)2A，于是数列，于是数列是是nn首项为首项为 1 1，公差为，公差为1的等差数列，的等差数列，2所以所以An当当n11n22，即，即Ann(n1)(nN*)2，a11n 2时时，an An An1 n，又又 因因 为为，所所 以以an n(nN*).-2.-2 分分2bn1bn 0(nN*)n又因为又因为bnn2，于是数列，于是数列b是等差数列，是等差数列，n9设设b的前的前n项和为项和为B，由于由于B所所bn n1(

20、nN*)9b5 36，则则b5 4，由于由于b3 2，以以-4-4 分分(2)(2)数列数列a的前的前 n n 项和项和Annn(n1)2，数列，数列b的前的前n项和项和nBn(n1)n2-5-5 分分n当当n 2k(kN*)时，时，S分分 S2k Ak Bkk(k 1)(k 1)k k222；-6-6当当n 4k 3(kN*)时，时，Sn S4k3 A2k1 B2k2 k(2k 1)(2k 3)(k 1)4k26k 3；-7-7 分分当当n 4k 1(kN*)时，时，Sn S4k1 A2k1 B2k(2k 1)k(2k 1)k 4k22k；-8-8分分所所以以124n,n 2k2n 3Sn,

21、n 4k 34 n21,n 4k 14，其其中中kN*-10-10 分分(3)(3)由由(1)(1)可知，可知，cn12n1.若若对对于于任任意意给给定定的的正正整整数数kk 2，存存在在正正整整数数l,m(k l m)，使使得得c,c,c成成等等差差数数列列，则则2cklml ckcm，即即2112l 12k 12m1，-11-11分分k 2l 1于是于是2m112l212k11(2l4，1)(2k 1)所以所以2kl k 2l(k 1)(2l 14k)(2k 1)2m 4k 2l 14k 2l 1(2k 1)2 mk 14k 2l 1(2k 1)21k 4k 2l 1，即即，-13-13

22、分分则对任意的则对任意的kk 2,k N，且且4k 2l 10.4k 2l 1能整除能整除(2k 1)，2由于当由于当k 2时，时，2k 1中存在多个质数，中存在多个质数，所所以以4k 2l 1只只能能取取1 1或或2k 1或或2k 12-14-14 分分2若若4k 2l 11，则，则l 2k 1，m 4kml 4k27k 3(4k 3)(k 1)05k 2，于是，于是合合k l m，k l符符；-15-15 分分若若若若4k 2l 1 2k 1，则则，则则，矛矛 盾盾，舍舍 去去；，于于 是是2-16-16 分分4k 2l 1(2k 1)2mk 2m0，矛矛，满足，满足差差数数盾盾-17-17 分分综上，当综上，当k 2时，存在正整数时，存在正整数l 2k 1,m 4kk l m5k 2，且且使使得得ck,cl,cm成成等等列列-18-18 分分