高一数学常考立体几何证明题及答案.pdf

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1、高 一 数 学 常 考 立 体 几 何 证 明 题 及答 案(共 9 页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC AC,AD BD，E是AB的中点。A求证：（1）AB 平面 CDE;（2）平面CDE 平面ABC。2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点，BDE。求证：AC1/平面3、已知ABC中ACB 90EBCDAB1CD1EA,SA 面ABC,AD SC,DCBS求证：AD 面SBCDACD1A1DOABB1C1BO是底ABCD对角线的交4、已知正方体ABCD A1BC11D1，点.求证：()C1O面AB1D1；(2)A

2、C 面AB1D115、正方体ABCD ABCD中，求证：（1）AC 平面BDDB；（2）BD 平面ACB.6、正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1D1C；CD1A1E2C1B1FGB(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBDDCA7、四面体ABCD中，AC BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF 求证：BD 平面ACD2AC，BDC 90，28、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF平面BDG.9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点.BDE

3、；（1）求证：AC1/平面（2）求证：平面A1AC 平面BDE.10、已知ABCD是矩形，PA 平面ABCD，AB 2，PA AD 4，E为BC的中点（1）求证：DE 平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角11、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是DAB 600且边长为菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD（1）若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD；（2）求证：AD PB12、如图 1,在正方体ABCD A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：AO 平面1a的MBD13、如图，在三棱锥BCD 中，BCAC，ADBD，作 BECD

4、，为垂足，作AHBE 于求证：AH平面 BCD314(12 分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形已知：如图，三棱锥SABC，SC截面EFGH，AB截面EFGH.求证：截面EFGH是平行四边形2a，如图315(12 分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN(1)求证：MN面BB1C1C；(2)求MN的长16(12 分)(2009浙江高考)如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值17(12 分)

5、如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中点求证：(1)直线EF面ACD.4（2）平面EFC平面BCD .1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC AC,AD BD，E是AB的中点。求证：（1）AB 平面 CDE;（2）平面CDE 平面ABC。AEBC AC证明：（1）CE ABAE BEAD BD同理，DE ABAE BE又CE DE EAB 平面CDE（2）由（1）有AB 平面CDE又AB 平面ABC，平面CDE 平面ABCBCD2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点，BDE。求证：AC1/平面AB1CD1证明：连接AC交BD于O，

6、连接EO，E为AA1的中点，O为AC的中点EO为三角形A1AC的中位线 EO/AC1EADCBDE外ACBDE。又EO在平面BDE内，AC1在平面1/平面B3、已知ABC中ACB 90,SA 面ABC,AD SC,S求证：AD 面SBC证明：ACB 90BC AC又SA 面ABCSA BCBC 面SACBC ADDBA5C又SC AD,SC BC C AD面SBCO是底ABCD对角线的交点.4、已知正方体ABCD A1BC11D1，D1A1B1C1求证：()C1O面AB1D1；(2)AC 面AB1D11AC11B1D1O1，连结AO证明：（1）连结ACD111，设CABCD A1BCO1ACC

7、1是平行四边形11D1是正方体AABA1C1AC且AC11 AC又O1,O分别是AC11,AC的中点，O1C1AO且O1C1 AOAOC1O1是平行四边形C1OAO1,AO1面AB D，CO 面AB DC O面AB D11111111（2）CC1面A1B1C1D1CC1 B1D!11 B1D1，B D 面AC C即AC B D又AC1111111AC ADD B AD D1，又1111同理可证1面AB1D1AC15、正方体ABCD ABCD中，求证：（1）AC 平面BDDB；（2）BD 平面ACB.6、正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1D1C；(2)若E、F分别是

8、AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD证明：(1)由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，D1A1EAB1C1FBD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CDDGBC(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFDF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD7、四面体ABCD中，AC BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF BDC 90，求证：BD 平面ACD2AC，2/1AC证明：取CD的中点G，连 结E

9、G,FG，E,F分别为AD,BC的中点，EG2/1BD，又AC BD,FG 1AC，在EFG中，EG2 FG21AC2 EF2FG2226EG FG，BD AC，又BDC 90，即BD CD，AC CD CBD 平面ACD8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF平面BDG.证明：E、F分别是AB、AD的中点，EFBD又EF 平面BDG，BD 平面BDGEF平面BDGD1GEB四边形DGBE为平行四边形，D1EGB1又D1E 平面BDG，GB 平面BDGD1E平面BDGEF D1E E，平面D EF平面BDG19、如图，在正方

10、体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点.BDE；（1）求证：AC1/平面（2）求证：平面A1AC 平面BDE.证明：（1）设AC BD O，E、O分别是AA1、AC的中点，AC1EOBDE又AC 平面BDE，EO 平面BDE，AC11平面（2）AA1平面ABCD，BD 平面ABCD，AA1 BD又BD AC，AC AA1 A，BD 平面A1AC，BD 平面BDE，平面BDE 平面A1AC10、已知ABCD是矩形，PA 平面ABCD，AB 2，PA AD 4，BC的中点（1）求证：DE 平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角证明：在ADE中，AD2 AE2 DE2，AE DE

11、PA 平面ABCD，DE 平面ABCD，PA DE又PA AE A，DE 平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角在RtPAD，PD 4 2，在RtDCE中，DE 2 2在RtDEP中，PD 2DE，DPE 30011、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是DAB 600且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD（1）若G为AD的中点，求证：BG 平面PAD；（2）求证：AD PB7E为证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BG AD又平面PAD平面ABCD，BG 平面PAD（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，AD PG且AD BG，

12、PG BG G，AD 平面PBG，PB 平面PBG，AD PB12、如图 1,在正方体ABCD A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：AO 平面1MBD证明：连结MO，A1M，DBA1A，DBAC，A1A AC A，DB平面A1ACC1，而AO 平面A1ACC1DBAO11设正方体棱长为a，则A1O22在 RtAC1M11M中，A323a，MO2a2249222aAO，MO2 AM114AO OM1OMDB=O，AO1平面MBD13、如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面证明：取AB的中点，连结CF，DFAC BC，C

13、F ABAD BD，DF AB又CFDF F，AB 平面CDFBCDCD 平面CDF，CD AB又CD BE，BE AB B，CD 平面ABE，CD AHAH CD，AH BE，CD BE E，AH 平面BCD14(12 分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形已知：如图，三棱锥SABC，SC截面EFGH，AB截面EFGH.求证：截面EFGH是平行四边形证明：SC截面EFGH，SC平面EFGH，SC平面ASC，且平面ASC平面EFGHGH，8SCGH.同理可证SCEF，GHEF.同理可证HEGF.四边形EFGH是平行四边形15(12 分)已知正方体ABCDA1B1C

14、1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN2a，如图3(1)求证：MN面BB1C1C；(2)求MN的长解：(1)证明：作NPAB于P，连接BC，APANA1M，MPAA1BB1，面MPN面BB1C1C.ABACA1BMN面MPN，MN面BB1C1C.NPANBCAC2a3112，NPa，同理MPa.332a3(2)又MPBB1，MP面ABCD，MPPN.在 RtMPN中MN42125aaa.99316(12 分)(2009浙江高考)如图，DC平面ABC，EBDC，ACBCEB2DC2，ACB120，P，Q分别为AE，AB的中点(1)证明：PQ平面ACD；(2)求AD与平面AB

15、E所成角的正弦值解：(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQEB.又DCEB，因此PQDC，又PQ平面ACD，从而PQ平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且ACBC，所以CQAB.因为DC平面ABC，EBDC，所以EB平面ABC，因此CQEB.故CQ平面ABE.91由(1)有PQDC，又PQEBDC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DPCQ，因此DP平面ABE，2DAP为AD和平面ABE所成的角，在 RtDPA中，AD 5，DP1，sinDAP5，517(12 分)如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中点求证：(1)直线EF面ACD.(2)平面EFC平面BCD.证明：(1)在ABD中，E、F分别是AB、BD的中点，EFAD.又AD 平面ACD，EF平面ACD，直线EF面ACD.(2)在ABD中，ADBD，EFAD，EFBD.在BCD中，CDCB，F为BD的中点，CFBD.CFEFF，BD平面EFC，又BD 平面BCD，平面EFC平面BCD.10