2019年高考数学一轮复习： 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第7节 离散型随机变量及其.pdf

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1、第七节离散型随机变量及其分布列考纲传真(教师用书独具)1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用(对应学生用书第183 页)基础知识填充1随机变量的有关概念(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量2离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式

2、表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列有时也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)分布列的性质pi0，i1,2,3，n；npi1.i13超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(MN)件次品从中任取n(nN)件产品，用XCN(表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(Xk)CkMnCM其中k为非负整数)NknM如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，n的超几何分布.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于 1.()(

3、2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布(X25P0.30.7(4)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数X服从超几何分布()答案(1)(2)(3)(4)2袋中有3 个白球，5 个黑球，从中任取2 个，可以作为随机变量的是()A至少取到1 个白球B至多取到1 个白球C取到白球的个数D取到的球的个数C选项A、B 是随机事件，选项D 是确定的值，为2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2.3(教材改编)设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是()X1234P12141B218p4A11C

4、41D81111D由分布列的性质，得 p41，所以p4.24884设随机变量X等可能取值1,2,3，n，如果P(X4)0.3，那么n_.110由于随机变量X等可能取1,2,3，n，取到每个数的概率均为，P(Xn34)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10.n5在含有3 件次品的10 件产品中任取4 件，则取到次品数X的分布列为_Ck3C74kP(Xk)，k0,1,2,3由题意知，X服从超几何分布，其中N10，MC4104k3C73，n4，所以分布列为P(Xk)Ck，k0,1,2,3.4C10(对应学生用书第184 页)离散型随机变量分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X01234P0

5、.20.10.10.3m求：(1)2X1 的分布列；(2)|X1|的分布列解由分布列的性质知：0.20.10.10.3m1，所以m0.3.首先列表为X012342X113579|X1|10123从而由上表得两个分布列为(1)2X1 的分布列2X110.230.150.170.390.3P(2)|X1|的分布列|X1|00.110.320.330.3P规律方法离散型随机变量分布列性质的应用利用分布列中各事件概率之和为1 可求参数的值及检查分布列的正确性.随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.若X是随机变量，则 2X1、|X1|仍然是随机变量，求

6、它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列.跟踪训练随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_.22bac，由题意知3abc1，12所以2bb1，则b，因此ac.332所以P(|X|1)P(X1)P(X1)ac.3离散型随机变量分布列的求法(2017山东高考节选)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用现有6 名男志愿者A1，A

7、2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5 人接受甲种心理暗示，另5 人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，C485.则P(M)C51810(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则P(X0)C5561，C104241C C564P(X1)，C5211032C C1064P(X2)，C521102C35，P(X3)C465C102114C C164P(X4).C54210因此X的分布

8、列为XP012341510514221212142规律方法求离散型随机变量X的分布列的步骤：找出随机变量X的所有可能取值xii1，2，3，n；求出各个取值的概率PXxipi；列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.易错警示：1.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意计数原理、古典概型等知识的应用.2.离散型随机变量 要找全找对，并理解 取每一个值的含义.3.在求离散型随机变量 对应概率时，先求简单易求的复杂的最后用间接法.跟踪训练(2018青岛质检节选)某科技博览会展出的智能机器人有A，B，C，D四种型号，每种型号至少有4 台要求

9、每位购买者只能购买1 台某种型号的机器人，且购买其中任意一种型号的机器人是等可能的现在有 4 个人要购买机器人(1)在会场展览台上，展出方已放好了A，B，C，D四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求A型与B型相邻且C型与D型不相邻的概率；(2)设这4 个人购买的机器人的型号种数为，求 的分布列解(1)4 台机器人排成一排的情况有A4种，A型与B型相邻且C型与D型不相邻的情况有A22A2，的概率为P2 22A2A故所求16.A44(2)由题意知 的所有可能取值为1,2,3,4，C114P(1)，4641C C C C2C1C1244321，P(2)4464311443C C A92

10、443P(3)，1 42416A434P(4)，432所以 的分布列为112643943P64211632超几何分布为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3 名，其中种子选手2 名；乙协会的运动员5 名，其中种子选手3 名从这 8 名运动员中随机选择4 人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4 人中恰有2 名种 子选 手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4 人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.【导学号：79140367】2由已知，有P(A)C2C2C2C26333解(1)C358.6所以，事件A发生

11、的概率为.35(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.C5C3k4kP(Xk)(k1,2,3,4)4C81C3C513C2C2335则P(X1)4，P(XC814C872)，3C C31153C5C3，P(XP(X3)4 40C87C8144).所以随机变量X的分布列为X1123374114P1437规律方法1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，超几何分布的特征：考察对象分两类；已知各类对象中个体的个数；从中抽取若干个个体，考察抽取到的某类个体个数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.跟踪训练(2018天津十二区县联考节选(一)某厂

12、生产的产品在出厂前都要做质量检1测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为.现有10 件产品，其中62件是一等品，4 件是二等品(1)随机选取3 件产品，设至少有一件通过检测为事件A，求事件A的概率；(2)随机选取3 件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列.【导学号：79140368】31C2394 解(1)P(A)13，C2240310239所以随机选取3 件产品，至少有一件通过检测的概率为.240(2)由题可知X可能取值为0,1,2,3.4C C46P(X0)1)2030C31016C C33，P(X，1C31010461 21C C 1，.3C610C4C6P(X2)P(X3)03C3210则随机变量X的分布列为X0123P1311301026