高中数学三角函数知识点及试题总结.pdf

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1、高中数学三角函数知识点及试题总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13,2020高考三角函数高考三角函数1.1.特殊角的三角函数值：特殊角的三角函数值：sin00=0cos00=1tan00=01sin30=23cos300=23tan300=302sin45=22cos450=2tan450=103sin60=21cos600=2tan600=30sin900=1cos900=0tan900无意义2 2角度制与弧度制的互化：角度制与弧度制的互化：36002,1800,00300450600

2、900120013501500180027003600064322334563223.3.弧长及扇形面积公式弧长及扇形面积公式弧长公式：l.r扇形面积公式:S=l.r-是圆心角且为弧度制。r-是扇形半径124.4.任意角的三角函数任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点 p（x,y）,r=x2y2(1)正弦 sin=余弦 cos=正切 tan=(2)各象限的符号：y+O+xy +O+xy +Oyrxryxsinsincoscostantan5.5.同角三角函数的基本关系：同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2+cos2=1。（2）商数关系：（2sin=tancos2 k,k z

3、）6.6.诱导公式：诱导公式：记忆口诀：把k的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。1sin2ksin，cos2k cos，tan2k tank2sin sin，cos cos，tan tan3sin sin，cos cos，tan tan4sinsin，cos cos，tan tan口诀：函数名称不变，符号看象限5sin cos，cos sin226 sin coscos，sin22口诀：正弦与余弦互换，符号看象限7 7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质8 8、三角函数公式：、三角函数公式：两角和与差的三角函数关系两角和与差的

4、三角函数关系coscossinsin()=sincossinsincos()=costan()tan tan1 tantan倍角公式倍角公式s sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2tan22tan21 tan降幂公式：降幂公式：升幂公式升幂公式：1+cos1+cos=2cos21-cos1-cos=2sin22 cos cos2 221cos221cos2 sin sin2 229 9正弦定理正弦定理：abc 2R.sin Asin BsinC余弦定理：余弦定理：a2 b2c22bccos A;b2 c2a22cacosB;c2 a2b22abc

5、osC.111三角形面积定理三角形面积定理.S absinC bcsin A casin B.2221直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC 中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）abasinAcosB，cosAsinB，tanA。ccb2斜三角形中各元素间的关系：在ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c分别表示 A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等abc 2R。sin Asin BsinC（R

6、为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面积公式：111（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c上的高）；222111（2）absinCbcsinAacsinB；222a2sinBsinCb2sinCsin Ac2sin AsinB（3）；2sin(B C)2sin(C A)2sin(A B)（4）2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）abc（5）；4R1（6）s(s a)(s b)(s c)；s(a

7、b c)；2（7）rs。4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=；（2）边与边关系：a+b c，b+c a，c+a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理abc 2R（R为外

8、接圆半径）；sin Asin BsinC余弦定理 c2=a2+b22bccosC，b2=a2+c22accosB，a2=b2+c22bccosA；b2 c2 a2sin Aa它们的变形形式有：a=2R sinA，。，cos A2bcsin Bb5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在 ABC中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；A BCA BCtan(A+B)=tanC。sin cos,cos sin；2222（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三

9、角形内切圆半径，p 为周长之半。（3）在ABC中，熟记并会证明：A，B，C 成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a，b，c成等比数列。四【典例解析】题型 1：正、余弦定理（2009 岳阳一中第四次月考）.已知ABC中，AB a，AC b，ab 0，SABC15，a 3,b 5，则BAC 4（）A.30 B 150 C1500 D30或1500答案 C例 1（1）在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形；（2）在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精确到 1cm）。例

10、2（1）在ABC 中，已知a2 3，c 6 2，B600，求 b 及 A；（2）在ABC 中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形解析：（1）b2a2c22accosB=(2 3)2(62)222 3(6 2)cos450=12(6 2)24 3(31)=8b2 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：b2c2a2(2 2)2(6 2)2(2 3)21,解法一：cosAA600.2bc222 2(6 2)（2）由余弦定理的推论得：b2c2a287.82161.72134.62cosA0.5543,2bc287.8161.7A56020；c2a2b2134.62

11、161.7287.82cosB0.8398,2ca2134.6161.7B32053；90047.C1800(AB)1800(5602032053)例 3在ABC中，sin A cos A ABC的面积。2，AC 2，AB 3，求tan A的值和22sin A cos A 2cos(A 45),21cos(A 45).2又0 A 180,A45 60,A 105.tan A tan(45 60)13 23,132 6.4sinAsin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60SABC112 63AC ABsin A 2 3(2 6)。2244AC的值等cos A例 4（2

12、009 湖南卷文）在锐角ABC中，BC 1,B 2A,则于，AC的取值范围为.答案 2(2,3)解析 设A,B 2.由正弦定理得ACBCACAC,1 2.sin2sin2coscos由锐角ABC得0 2 90 0 45，又0 180 3 90 30 60，故30 45 AC 2cos(2,3).23 cos，22例 5（2009 浙江理）（本题满分 14分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA2 5，AB AC 325（I）求ABC的面积；（II）若bc 6，求a的值解（1）因为cosAB AC 3A2 5A34，cos A 2cos21,sin A，又由25255

13、1得bccos A 3,bc 5，SABCbcsin A 22（2）对于bc 5，又bc 6，b 5,c 1或b 1,c 5，由余弦定理得a2 b2c22bccos A 20，a 2 5例 6（2009 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2c2 2b，且sin AcosC 3cos AsinC,求 b解法一：在ABC中sin AcosC 3cos AsinC,则由正弦定理及余弦定理a2b2c2b2c2a2 3c,化简并整理得：2(a2c2)b2.又由已知有:a2ab2bca2c2 2b4b b2.解得b 4或b 0(舍）.例 7ABC的三个内角为A、B、C

14、，求当 A 为何值时，cos A2cos取得最大值，并求出这个最大值。B+CAB+CA解析：由 A+B+C=，得=，所以有 cos=sin。22222BC2B+CAAAA13cosA+2cos2=cosA+2sin2=12sin22+2sin2=2(sin22)2+2；A1B+C3当 sin2=2，即 A=3时,cosA+2cos2取得最大值为2。例 8（2009 浙江文）（本题满分 14分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA2 5，AB AC 325（I）求ABC的面积；（II）若c 1，求a的值解（）cos A 2cos2A2 5231 2()1255又A(0

15、,)，sin A 1cos2A 43，而AB.AC AB.AC.cos A bc 3，55114所以bc 5，所以ABC的面积为：bcsin A 5 2225（）由（）知bc 5，而c 1，所以b 5所以a b2c22bccosA 25123 2 5例 9在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且 a2c2=acbc，求A的大小及bsin B的值。ca、b、c 成等比数列，b2=ac。又 a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。b2 c2 a2bc1在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60。2bc2bc2在ABC中，由正弦定理得 sinB=bsin

16、 A，b2=ac，A=60，a3bsin Bb2sin60=sin60=。2cac例 10在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，求tanACAC tan3tantan的值。2222解析：因为 A、B、C 成等差数列，又 ABC180，所以 AC120，从而ACAC60，故 tan3.由两角和的正切公式，22AC tan223。得AC1tantan22tan所以tanACAC tan3 3tantan,2222tanACAC tan3tantan3。2222例 11在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形C.等腰三角形答案：C解析：2sin

17、AcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB例 12（2009 四川卷文）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin A（I）求A B的值；510,sin B 510B.直角三角形D.等边三角形（II）若ab 2 1，求a、b、c的值。解（I）A、B为锐角，sin A 510,sin B 510cos A 1sin2A 2 53 10,cos B 1sin2B 5102 53 105102.5105102cos(A B)cos AcosBsin Asin B 0 A B A B 423，sinC 24（II）由（I）知

18、C 由abc得sin Asin BsinC5a 10b 2c，即a 2b,c 5b又ab 2 12bb 2 1b 1a 2,c 521.（2009 四川卷文）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin A（I）求A B的值；510,sin B 510（II）若ab 2 1，求a、b、c的值。解（I）A、B为锐角，sin A 510,sin B 510cos A 1sin2A 2 53 10,cos B 1sin2B 510cos(A B)cos AcosBsin Asin B 2 53 105102.51051020 A B A B 423，sinC 24（II）

19、由（I）知C 由abc得sin Asin BsinC5a 10b 2c，即a 2b,c 5b又ab 2 12bb 2 1b 1a 2,c 5五【思维总结】五【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、B、C），由 A+B+C=求 C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如 a、b、c），应用余弦定理求 c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C=，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A），应用正弦定理求 B，由A+B+C=求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边 a、b、c，应余弦定理求

20、 A、B，再由 A+B+C=，求角 C。2三角形内切圆的半径：r abc斜2S，特别地，r直；2abc3三角学中的射影定理：在ABC 中，b acosC ccosA，4两内角与其正弦值：在ABC 中，A B sin A sinB，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”1 如果函数（）的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A）（B）（C）(D)2、右图所示的是函数图象的一部分，则其函数解析式是AB C D3、已知函数的最小正周期为，则该函数图象A关于直线对称B关于点(，0)对称C关于点(，0)对称D关于直线对称4、由函数的图象A向左

21、平移个单位 B向左平移个单位C向右平移个单位 D向右平移个单位5、若是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时A在单调递增 B在单调递减 C在单调递减 D在单调递增6、函数（）的最小正周期是的值为（），若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则ABCD7、（2012 年高考（新课标理）已知则的取值范围,函数在上单调递减.是（）A B C D8、（2012 年高考（福建文）函数是（）的图像的一条对称轴A B C D9、下列命题中的真命题是A函数周期为 2内单调递增 B函数的最小正C函数的图象是关于点（，0）成中心对称的图形D函数的图象是关于直线 x=成轴对称的图形10、已知，则等于 AB C5D

22、2511、已知正六边形 ABCDEF 的边长为 1，则的值为 AB C D12、已知平面向量，与垂直，则是（）A.1 B.2 C.2 D.113、设，O 为坐标原点，若 A、B、C 三点共线，则的最小值是A2 B4C6 D814、设POQ=60在 OP、OQ 上分别有动点 A，B，若=6，OAB 的重心是 G，则|的最小值是()B2 C3 D415、若是夹角为的单位向量，且，则 B.4 C.D.16、已知圆O的半径为，圆周上两点A、B与原点O恰构成三角形，则向量的数量积是AB C D17、如图，已知点 O 是边长为 1 的等边ABC 的中心，则（）（）等于（）AB C D18、（2012 年高

23、考（大纲文）若函数是偶函数,则（）A B C D19、若0，且0，则有在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D 第四象限20、函数 y=cosx(ox，且 x)的图象为21、在中，内角 A、B、C 的对边长分别为、，已知求 b.，且22、已知函数（）求函数的单调递增区间；（）已知求的面积中，角所对的边长分别为，若，23、已知向量（I）若,求的值;（II）记，在，求函数中，角的对边分别是，且满足的取值范围。24、设=3，计算：（1）；（2）。25、已知向量，（1）当域.时，求的值；（2）求在上的值26、已知函数 f(x)=（）求函数 f(x)的最小正周期及单调增区间；（）若函数 f(x)的图

24、像向右平移 m(m0)个单位后，得到的图像关于原点对称，求实数 m 的最小值.27、已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若对，不等式恒成立，求实数 m 的取值范围.28、函数()的最大值为 3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为,(1)求函数的解析式;(2)设,则,求的值.29、已知函数时，函数的最小值为 0。的最小正周期为，且当（I）求函数的表达式；（II）在ABC，若的值。30、设函数（I）求函数的最小正周期；（II）设函数对任意，有，且当析式。时，；求函数在上的解31、已知函数（）求函数的最小正周期和值域；（）若为第二象限角，且，求的值32、已知两个不共线的向量a,b夹角为，且为正实数

25、。（1）若垂直，求；（2）若，求的最小值及对应的x值，并指出向量a与xab的位置关系；（3）若为锐角，对于正实数 m，关于 x 的方程的取值范围。有两个不同的正实数解，且33、设的内角所对边的长分别为。，且有（）求角 A 的大小；（)若，为的中点，求的长。34、已知函数，。(1)求函数的最小正周期，并求函数在上的最大值、最小值；(2)函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图像35、已知向量，函数，（）求函数的单调递增区间；（）如果ABC 的三边a、b、c满足的范围及函数的值域，且边 b 所对的角为，试求36、的值为。37、设向量,则|=_.38、已知平面向量，则与的夹角余弦值等于39、已知A、B、C的坐标分别为A(3，0)、B(0，3)、C()，(1)若，求角的值；(2)若，求的值1、故选 A 2、A 3、B 4、B5、A 6、C 7、15、C 16、C17、D 18、C 19、D20、C21、8、C 9、C10、C 11、D 12、D 13、D14、B。m 的取值范围为33、（）（II）