高二数学推理与证明知识点与习题.pdf

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1、选修 2-2:推理与证明一、推理1.推理：前提、结论2.合情推理：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：1归纳推理：由某类事物的局部对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事 实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由局部到整体、由个别到一般的推理2类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。重难点：利用合情推理的原理提出猜测，利用演绎推理的形式进行证明

2、题型 1 用归纳推理发现规律1、观察：,715 211；55,T6?5 2J1；_.33.193 211;.对于任意正实数a,b，试写出22,故a b 22使ja jb 2jrr成立的一个条件可以是【点拨】：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按此规律，以|f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.那么f(4)=_;f(n)=_.【解题思路】找出f(n)f(n 1)的关系式解析f(1)1,f(2)16,f(3)1 612,

3、f(4)1 6 121837f(n)116 12 186(n 1)3n2 3n 1【点评】处理“递推型问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 题型 2 用类比推理猜测新的命题1例正三角形内切圆的半径是高的【解题思路】从方法的类比入手，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是3r h，类比问题的解法应为等体积法,3解析原问题的解法为等面积法，即Sah 3 ar2 2V Sh 4】Sr rh即正四面体的内切球的半径是高334【点评】1不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比丄42类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集 的性质类比；圆锥曲

4、线间的类比等、直接证明与间接证明三种证明方法：综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方 法分析问题或证明数学命题考点 1 综合法在锐角三角形ABC中,求证:si nA si nB sinC cosA cosB cosC解析ABC为锐角三角形,用这种方法证明一个命题的一般步骤：y si nx在(0三三)上是增函数，同理可得sinB cosC，sinC cosAsi

5、nA sin(y B)cosBsi nA si nB si nC cosA cosB cosC考点 2 分析法a b 0,求证.a,.b a b解析要证、a b a b，只需证(、.a.b)2(.a b)2即a b 2、.ab a b，只需证b.ab，即证ba显然b a成立，因此-a.b.a b成立【点评】注意分析法的“格式是“要证-只需证-，而不是“因为-所以-考点 3 反证法f(x)ax-?(a 1)，证明方程f(x)0没有负数根x 1【解题思路】“正难那么反，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾x0解析假设X。是f(x)0的负数根，贝y X。0且X。1且ax02X10 ax0

6、 1故方程f(x)0 x-1，解得x02，这与x 0矛盾，x120没有负数根【点评】否认性命题从正面突破往往比拟困难，故用反证法比拟多三、数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数N 的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 n=nO 时命题成立；假设当 n=k(kN，且kn。)时命题成立，证明 n=k+1 时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于nO 的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.考点 1 数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识例 1 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，假设已假设n=kk 2且为偶数时命题为真，那么还需

7、证明A.n=k+1 时命题成立B.n=k+2时命题成立C.n=2k+2 时命题成立D.n=2 k+2时命题成立解析因 n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是 k+2，应选 B【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：1n 的范围以及递推的起点2观察首末两项的次数其它，确定 n=k 时命题的形式f(k)3从f(k 1)和f(k)的差异，寻找由 k 到 k+1 递推中，左边要加乘上的 式子考点 2 数学归纳法的应用题型 1:用数学归纳法证明数学命题用数学归纳法证明不等式J 20,ab+bc+ca0,abc0.求证：a0,b0,c0.9、a,b,c(0,1).求证：(1 a)b,(1 b)c,(1 c)a不能冋时大于14.10、1用数学归纳法证明：n3 5n能被 6 整除；2求证 n3(n 1)3(n 2)3(n N*)能被 9 整除11、假设 a,b,c 均为实数，且，一 一.，一.一.-,求证：a，b，c 中至少有一个大于 0。111 112、用数学归纳法证明：11 1 1一n；2342n 113、用数学归纳法证明下述不等式:3n 10丄(n N,且n 2).