高考数学试题分类汇编——函数与导数.pdf

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1、*函数与导数函数与导数安徽理安徽理（3）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x 时，f(x)x x，则f()（A）(B)（）（）(3)A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.【解析】f(1)f(1)2(1)(1)3.故选 A.(10)函数f(x)axm2(x)n在区间y0,1是上的图像如图所示，则 m，n 的值可能（A）m 1,n 1(B)m 1,n 2(C)m 2,n 1(D)m 3,n 1(10)B【命题意图】本题考查导数在研究调性中的应用，考查函数图像，考查思合能力.难度大.O0.51x0.5函数单维的综【解析】代入验证，当m 1,n 2，f(x)ax(x)n(x

2、x x)，则f(x)a(x x)，由1111f(x)a(xx)可知，x1,x21，结合图像可知函数应在0,递增，在,1递减，即在x 3333取得最大值，由f()a（16）(本小题满分 12 分)()，知 a 存在.故选 B.ex设f(x)，其中a为正实数1ax（）当a4时，求f(x)的极值点；3（）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。（16）（本小题满分 12 分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.1 ax2ax解：对f(x)求导得f(x)e.(1 ax2)2x（I）当a 4312，若f(

3、x)0,则4x 8x 3 0,解得x1,x2.322/筱综合,可知*x1(,)2+120极大值1 3(,)2 2320极小值3(,)2+是所以,x1极小32值f(x)f(x)点,x2值点.1是极大2（II）若f(x)为 R 上的单调函数，则f(x)在 R 上不变号，结合与条件 a0，知ax 2ax 1 0在 R 上恒成立，因此 4a 4a 4a(a 1)0,由此并结合a 0，知0 a 1.22安徽文（5）若点(a,b)在y lgx图像上，a,则下列点也在此图像上的是（A）（，b）(B)(10a,1b)(C)(,b+1)(D)(a2,2b)aa（5）D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查

4、对数函数的图像与对应点的关系.【解析】由题意b lga，b lga lga，即a2,2b也在函数y lgx图像上.(10)函 数f(x)ax(x)在 区 间0,1上的图像如图所示，则n 可能是（A）1(B)2(C)3(D)4(10)A【命题意图】本题考查导数在研究函调性中的应用，考查函数图像，考查思维合能力.难度大.【解 析】代 入 验 证，当n 1时，0.5数单的综nyf(x)ax(x)a(xx x)，则f(x)a(xx)，由f(x)a(x x)可 知，xO0.511x1,x21，结 合 图 像 可 知 函 数 应 在3f()a()，知 a 存在.故选 A.（13）函数y 10,递 增，在3

5、11,1x 递 减，即 在取 得 最 大 值，由3316 x x22的定义域是.(13)（3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.【解析】由6 x x 0可得x x6 0，即x+3x2 0，所以3 x 2.2/筱*北京理北京理 6.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)A.75，25B.75，16C.60，25D.60，16c,x Ax（A，c为常数）。c,x AA已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第A件产品时用时 15 分钟，那么c和A的值分别是【解析】由条件可知，x A时所用时间为常数，所以组装第4 件产品用时必然满足

6、第一个分段函数，即f(4)c60 30 c 60，f(A)15 A 16，选 D。A42x 2,13.已知函数f(x)x，若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.(x1)3,x 22(x 2)单调递减且值域为(0,1，f(x)(x1)3(x 2)单调递增且值域为(,1)，f(x)k有x两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。【解析】f(x)18.已知函数f(x)(x k)e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对x(0，)，都有f(x)/2xk1，求k的取值范围。ex12/2解：(1)f(x)(x k)ek，令f(x)0得x kk当k 0时，f(x)在(,k)

7、和(k,)上递增，在(k,k)上递减；当k 0时，f(x)在(,k)和(k,)上递减，在(k,k)上递增k1k(2)当k 0时，f(k 1)e11；所以不可能对x(0，)都有f(x)；ee4k21当k 0时有（1）知f(x)在(0,)上的最大值为f(k)，所以对x(0，)都有f(x)ee4k21111 k 0，故对x(0，)都有f(x)时，k的取值范围为,0)。即ee2e2北京文北京文（8）已知点A0,2,B2,0,若点C在函数y x的图象上，则使得ABC的面积为 2 的点C的个数为2AA.A.4 B.B.3C.C.2D.D.1（18）（本小题共 13 分）/筱*已知函数（II）求（I）求fx

8、的单调区间；fxxkex，fx在区间0,1上的最小值。/x/解：（I）f(x)(xk 1)e，令f(x)0 x k 1；所以（II）当k 1 0,即k 1时，函数fx在(,k 1)上递减，在(k 1,)上递增；fx在区间0,1上递增，所以f(x)min f(0)k；fx在区间0,k1上递减，(k 1,1上递增，所以当0 k 11即1 k 2时，由（I）知，函数f(x)min f(k 1)ek1；当k 11,即k 2时，函数fx在区间0,1上递减，所以f(x)min f(1)(1k)e。福建理福建理 5 5A11x0(e 2x)dx等于CBe1CeDe19 9对于函数f(x)asin xbxc(

9、其中，a,bR,cZ)，选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是DA4 和 6B3 和 1C2 和 4D1 和 2x1010已知函数f(x)e x，对于曲线y f(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：BABC 一定是钝角三角形ABC 可能是直角三角形ABC 可能是等腰三角形ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是ABCD1818(本小题满分 13 分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y a10(x6)2，其中3 x 6，a为常数，已知销售价格为5 元/千克时，每日可

10、x3售出该商品 11 千克()求a的值；()若该商品的成品为3 元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大a10 11 a 2；2210(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润：()由()知该商品每日的销售量y x32f(x)(x3)10(x6)2 210(x3)(x6)2,3 x 6；x3解：解：()因为x 5时y 11，所以f/(x)10(x6)2 2(x3)(x6)30(x4)(x6)，令，令f/(x)0得得x 4/筱*函数f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x 4时函数f(x)取得最大值f(4)42答：当销售价格x 4时,商场每日销售该

11、商品所获得的利润最大，最大值为42.福建文福建文 6若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A（1，1）B（2，2）C（，2）（2，）D（，1）（1，）C2x，x08已知函数 f(x)，若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值等于x1，x0AA3B1C1D310若 a0，b0，且函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于A222（本小题满分 14 分）已知 a、b 为常数，且 a0，函数 f(x)axbaxlnx，f(e)2，（e2.71828是自然对数的底数）。（）求实数 b 的值；（）求函数 f(x)的单调区间；（）

12、当 a1 时，是否同时存在实数 m 和 M（mM），使得对每一个tm，M，直线 yt 与曲线 yf(x)1（xe，e）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数 M；若不存在，说明理由。22、（）b2；（）a0 时单调递增区间是（1，），单调递减区间是（0，1），a0 时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，）；（）存在 m，M；m 的最小值为 1，M 的最大值为 2。广东理广东理 4设函数f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Af(x)+|g(x)|是偶函数 Bf(x)-|g(x)|是奇函数C|f(x)|+g(x)是偶函数 D|f(x)|-g

13、(x)是奇函数解析:因为 g(x)是 R 上的奇函数,所以|g(x)|是 R 上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数,故选 A.3212.函数f(x)x 3x 1在x 处取得极小值.B3C6D9D2（2）设M(a,b)是定点，其中a,b满足a 4b0，a0.过M(a,b)作L的两条切线l1,l2，切点分别为E(p1,121p1),E(P2,P22)，l1,l2与y分别交于F,F.线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：4415(3)设D(x,y)y x1,y(x1)2,当点（p,q）取遍D时，求44（p,q）的最小值(记为min)和最大值(记为max).M(a,b)X P1 P2(a,

14、b)|P1|；2/筱*21解：（）kAB y|xp0(x)|xp0直线 AB 的方程为y 121p0，212111p0p0(x p0)，即y p0 x p02，4224q 11p0p p02，方程x2 px q 0的判别式 p2 4q (p p0)2，24p|p0 p|p0p或p 0，222p0p|p|0|，又0|p|p0|，22两根x1,2p p0 0，|p|p0ppppp|p|0|0|，得|p 0|p|0|0|，222222p0|2(p,q)|2（）由a 4b 0知点M(a,b)在抛物线 L 的下方，当a 0,b 0时，作图可知，若M(a,b)X，则p1 p2 0，得|p1|p2|；若|p

15、1|p2|，显然有点M(a,b)X；M(a,b)X|p1|p2|当a 0,b 0时，点M(a,b)在第二象限，作图可知，若M(a,b)X，则p1 0 p2，且|p1|p2|；若|p1|p2|，显然有点M(a,b)X；M(a,b)X|p1|p2|根据曲线的对称性可知，当a 0时，M(a,b)X|p1|p2|，综上所述，M(a,b)X|p1|p2|（*）；由（）知点 M 在直线 EF 上，方程x ax b 0的两根x1,2同理点 M 在直线EF 上，方程x ax b 0的两根x1,2若(a,b)|22p1p或a 1，22p2p或a 2，22p1pppp|，则|1|不比|a 1|、|2|、|a 2|

16、小，22222p1p|M(a,b)X；又由（）知，M(a,b)X(a,b)|1|；22p1|M(a,b)X，综合（*）式，得证2|p1|p2|，又|p1|p2|M(a,b)X，(a,b)|(a,b)|（）联立y x 1，y 15(x 1)2得交点(0,1),(2,1)，可知0 p 2，44/筱*12x0 q112x0，过点(p,q)作抛物线 L 的切线，设切点为(x0,x0)，则4x0 p242得x0 2px0 4q 0，解得x0 p p2 4q，又q 15(p 1)2，即p2 4q 4 2p，44115x0 p 42p，设42p t，x0 t2t 2 (t 1)2，222max|x055|m

17、ax，又x0，max；224q p 1，x0 p p24p 4 p|p 2|2，min|x0|min121lg(x1)的定义域是（）C1 x(1,)D(,)广东文 4 函数f(x)A(,1)B(1,)C(1,1)10设f(x),g(x),h(x)是 R 上的任意实值函数如下定义两个函数f gx和f gx；对任意xR,f gx fg(x)；f gx fxg(x)则下列等式恒成立的是（）Af ghxf hg h(x)Bf ghxf hg h(x)Cf ghxf hg h(x)Df ghxf hg h(x)B12设函数f(x)x3cos x 1.若f(a)11，则f(a)-919（本小题满分 14

18、分）设a 0,讨论函数f(x)ln xa(1a)x22(1a)x的单调性解：函数 f(x)的定义域为（0，+）/筱*2a(1a)x2 2(1a)x1f(x),x1当a 1时，方程2a(1a)x2 2(1a)x1 0的判别式 12(a 1)(a )31当00,g(x)=0的两根都小于 0，在(0,)上，f(x)0，故f(x)在(0,)上单调递增aa24aa24,x2(3)当a 2时,0,g(x)=0的两根为x1，22当0 x x1时，f(x)0；当x1 x x2时，f(x)0；当x x2时，f(x)0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减（II）由（I）

19、知，a 2因为f(x1)f(x2)(x1 x2)x1 x2a(ln x1ln x2)，所以x1x2ln x1ln x2x1 x2又由(I)知，x1x21于是k 2a若存在a，使得k 2a.则ln x1ln x211即ln x1ln x2 x1 x2亦即x22ln x2 0(x21)(*)x1 x2x2112ln x212ln1 0.x21再由（I）知，函数h(t)t 2ln t在(0,)上单调递增，而x21，所以x2这与(*)式矛盾故不存在a，使得k 2a.湖南理 6.由直线x 1t3,x 3,y 0与曲线y cosx所围成的封闭图形的面积为（）/筱*A31B1CD3223答案：D解析：由定积

20、分知识可得S 32cosxdx sin x|3333()3，故选 D。228.设直线x t与函数f(x)x,g(x)ln x的图像分别交于点M,N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A1B答案：D521CD222解析：由题|MN|x ln x，(x 0)不妨令h(x)x ln x，则h(x)2x2221，令h(x)0解得x，因2xx(0,2222)时，h(x)0，当x(,)时，h(x)0，所以当x 时，|MN|达到最小。即t。222220.如图 6，长方形物体 E 在雨中沿面 P（面积为 S）的垂直方向作匀速移动，速度为v(v 0)，雨速沿 E 移动方向的分速度为c(cR)。E 移动时单位时间

21、内的淋雨量包括两部分：（1）P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与vcS 成正比，比例系数为11；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为 E 移动过程中的102总淋雨量，当移动距离 d=100，面积 S=（）写出y的表达式3时。2（）设 0v10,0c5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。解析：（I）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31|vc|，202故y 100315(|vc|)(3|vc|10).v202v55(3c10)(3c3v10)15；vv/筱（II）由(I)知，当0 v c时，y*当c v 10时，y 55(103c)(3

22、v3c10)15.vv5(3c10)15,0 v cv故y。5(103c)15,c v 10v(1)当0 c 103c时，y是关于v的减函数.故当v 10时，ymin 20。32(2)当1050 c 5时，在(0,c上，y是关于v的减函数；在(c,10上，y是关于v的增函数；故当v c时，ymin。c322.（本小题满分 13 分）已知函数f(x)=x3，g(x)=x+x。（）求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数，并说明理由；*（）设数列an(n N)满足a1 a(a 0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数 M,使得对于任意的nN，都有anM.3解析：（I）由h(x)x xx知

23、，x0,)，而h(0)0，且h(1)1 0,h(2)62 0，则x 0为h(x)的一个零点，且h(x)在内有零点，因此h(x)至少有两个零点（，12）3111112解法 1：h(x)3x 1x2，记(x)3x 1x2，则(x)6xx2。4222当x(0,)时，(x)0，因此(x)在(0,)上单调递增，则(x)在(0,)内至多只有一个零点。又因为(1)0,(33)0，则(x)在(,1)内有零点，所以(x)在(0,)内有且只有一个零点。记此零点为x1，则33当x(0,x1)时，(x)(x1)0；当x(x1,)时，(x)(x1)0；所以，当x(0,x1)时，h(x)单调递减，而h(0)0，则h(x)

24、在(0,x1内无零点；当x(x1,)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1,)内至多只有一个零点；从而h(x)在(0,)内至多只有一个零点。综上所述，h(x)有且只有两个零点。/筱*13解法 2：h(x)x(x 1 x)，记(x)x 1 x，则(x)2xx2。2221212当x(0,)时，(x)0，因此(x)在(0,)上单调递增，则(x)在(0,)内至多只有一个零点。因此h(x)在(0,)内也至多只有一个零点，综上所述，h(x)有且只有两个零点。（II）记h(x)的正零点为x0，即x03 x0 x0。（1）当a x0时，由a1 a，即a1 x0.而a23 a1a1 x0 x0 x03，因此a

25、2 x0，由此猜测：an x0。下面用数学归纳法证明：当n 1时，a1 x0显然成立；假设当n k(k 1)时，有ak x0成立，则当n k 1时，由ak13 akak x0 x0 x03知，ak1 x0，因此，当n k 1时，ak1 x0成立。*故对任意的nN，an x0成立。（2）当a x0时，由（1）知，h(x)在(x0,)上单调递增。则h(a)h(x0)0，即a3 a a。从而a23 a1a1 aa a3，即a2 a，由此猜测：an a。下面用数学归纳法证明：当n 1时，a1 a显然成立；假设当n k(k 1)时，有ak a成立，则当n k 1时，由ak13 akak aa a3知，a

26、k1 a，因此，当n k 1时，ak1 a成立。*故对任意的nN，an a成立。*综上所述，存在常数M maxx0,a，使得对于任意的nN，都有an M.江苏江苏2.函数f(x)log5(2x 1)的单调增区间是_（-，+）答案：解析：y log5u在(0,)121.u 2x1在x(,),大于零,且增.22的图象交于 P、Q 两点，则线段 PQ 长的最小x本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题8.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)值是_./筱*答案：4.解析：设经过原点的直线与函数的交点为(x,)，(x,)，则PQ 2x2x4(2x)

27、2()2 4.x本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式，中档题.11.已知实数a 0，函数f(x)答案：a 解析：2x a,x 1，若f(1 a)f(1 a)，则 a 的值为_ x 2a,x 134a 0.33a 0,2 2aa 1a2a,a ，不符合；a 0,1a2a 22aa,a .24本题主要考查函数概念，函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论，中档题.12.在平面直角坐标系xOy中，已知点P 是函数f(x)e(x 0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l交 y 轴于点 M，过点 P 作l的垂线交 y 轴于点 N，设线段 M

28、N 的中点的纵坐标为 t，则 t 的最大值是_答案：x11(e)2exx0解析：设P(x0,e0),则l:y e ex0(x x0),M(0,(1 x0)ex0)，过点 P 作l的垂线y ex0 ex0(x x0),N(0,ex0 x0ex0)，111t(ex0ex0)(1 x0)，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)单调减，x01,tmax(e).22e本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题.17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABC

29、D 是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问 x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.答案：（1）根据题意有S 60 4x(602x)240 x8x 8(x15)1800（0 x30）,所以 x=15cm 时包装盒侧面积 S 最大.（2）根据题意有V (2x)2222

30、22232(602x)2 2x2(30 x)(0 x 30)，2/筱*所以，V 6 2x(20 x),当0 x 20,时，V 0,V递增;当20 x 30时，V0,V递减，所以，当 x=20 时，V 取极大值也是最大值.2（602x）12.此时，包装盒的高与底面边长的比值为22x即 x=20 包装盒容积 V（cm3）最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为12解析：本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用，中档题.19.（本小题满分 16 分）已知 a，b 是实数，函数f(x)x ax,g(x)x bx,f(x)和g

31、(x)是f(x),g(x)的导函数，若f(x)g(x)0在区间 I 上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间 I 上单调性一致.（1）设a 0，若函数f(x)和g(x)在区间1,)上单调性一致,求实数 b 的取值范围；（2）设a 0,且a b，若函数f(x)和g(x)在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值.答案：32f(x)x3ax,g(x)x2bx,f(x)3x2a,g(x)2x b.（1）因为函数f(x)和g(x)在区间1,)上单调性一致，所以，x1,),f(x)g(x)0,（3x+a）(2x+b)0,即x1,),2a 0,3x2a 0 x1,),2x+b 0,即x1

32、,),b 2x,b 2;实数 b 的取值范围是2,)（2）由f(x)0,x a3若b 0,则由a 0,0(a,b),f(0)g(0)ab 0,f(x)和g(x)在区间(a,b)上不是单调性一致,所以b 0.aax(,0),g(x)0;又x(,),f(x)0;x(,0),f(x)0.33所以要使f(x)g(x)0,只有a aa111,b ,a 0,b 0,|ab|333332取a ,b 0,f(x)g(x)6x(x ),当x(,0)时,f(x)g(x)0,因此|ab|max13191313当b a时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（b,a）上单调性一致，所以，x(b,a),f(x)g(x)0

33、,/筱*（3x+a）(2x+b)0,即x(b,a),2b a 0,x(b,a),2xb 0，x(b,a),a 3x2,b a 3b2,设z ab，考虑点(b,a)的可行域，函数y 3x2的斜率为 1 的切线的切点设为(x0,y0)则6x01,x0,y0 161111,zmax()；121266当a b 0时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a,b）上单调性一致，所以，x(a,b),f(x)g(x)0,（3x+a）(2x+b)0,即x(a,b),2b 0,x(a,b),2xb 0，x(a,b),a 3x2,当a 0b时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a,b）上单调性一致，所以，x(a,

34、b),f(x)g(x)0,0,即x(a,b),(2x+b)（3x+a）2（3x2+a）(2x+b)=ab0,不符合题意，b 0,而 x=0 时，222 0,x(a,0),3x+a 0,3a a 0,当a 0 b时，由题意：x(a,0),2x（3x+a）综上可知，abmax1。3解析：本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.(1)中档题；（2）难题.江西理 3.若f(x)1log1(2x 1)2，则f(x)定义域为A.(111,0)B.(,0C.(,)D.(

35、0,)222【答案】A12x 1 01x 【解析】由log(2x 1)0解得，故 x 0，选 A212x 024.设f(x)x 2x 4ln x，则f(x)0的解集为A.(0,)B.(1,0)(2,)C.(2,)D.(1,0)【答案】C【解析】f(x)定义域为(0,)，又由f(x)2x 2所以f(x)0的解集(2,)7.观察下列各式：5 3125，5 15625，5 78125，则5A.3125B.5625C.0625D.8125【答案】D【解析】观察可知当指数为奇数时，末三位为125；又2011 5 2(10041)，即5/筱20115672011242(x 2)(x 1)0，解得1 x 0

36、或x 2，xx的末四位数字为为第 1004 个指数为奇数*的项，应该与第二个指数为奇数的项（5 78125）末四位相同，519.（本小题满分 12 分）72011的末四位数字为 81251312x x 2ax.322（1）若f(x)在(,)上存在单调递增区间，求a的取值范围；316（2）当0 a 2时，f(x)在1,4上的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值.322【解析】（1）f(x)在(,)上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m,n)(,)使得f(x)0.由331122f(x)x2 x 2a (x)2 2a，f(x)在区间,)上单调递减，则只需f()0即可。由3324221f()2a

37、0解得a ，93912所以，当a 时，f(x)在(,)上存在单调递增区间.93设f(x)（2）令f(x)0，得两根x11 18a1 18a1 18a，x1，x2.222所以f(x)在(,x1)，(x2,)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增当0 a 2时，有x11 x2 4，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)27 6a 0，即f(4)f(1)24016所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a ，得a 1，x2 2，3310从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).31江西文 3、若f(x)，则f(x)的定义域为()log1(2x1)又f(4)f(1)2A.(,0)B.(,)C.(

38、,0)(0,)D.(,2)12121122log12x1 0,2x1 0,2x112答案：C解析：1x,00,24.曲线y e在点 A（0,1）处的切线斜率为（）A.1 B.2 C.e D.x1ex0答案：A解析：y e,x 0,e 120116.观察下列各式：则7 49,7 343,7 2401，则7的末两位数字为（）234/筱*A.01 B.43 C.07 D.49答案：B解析：fx 7x,f2 49,f3343,f4 2401,f51680720112 2009,f2011*34318.(本小题满分 12 分）如 图，在ABC中，B=2，AB BC 2,P为AB边上一动点，PD/BC交A

39、C于点D,现 将PDA沿PD翻折至PDA,使平面PDA 平面PBCD.（1）当棱锥A PBCD的体积最大时，求 PA 的长；（2）若点 P 为 AB 的中点，E 为AC的中点，求证：A B DE.解：（1）设PA x，则VA-PBCD11x2PAS底面PDCBx(2)33x1x22xx3,(x 0)令f(x)x(2)32362x2则f(x)32x(0,2 3)32 33(2 3,)3f(x)单调递增0极大值单调递减f(x)由上表易知：当PA x 2 3时，有VA-PBCD取最大值。3证明：作AB得中点 F，连接 EF、FP，由已知得：EF/1BC/PD ED/FP2APB为等腰直角三角形，AB

40、 PF，所以AB DE.20.(本小题满分 13 分）设fx13x mx2nx.3（1）如果gx f x2x3在x 2处取得最小值5，求fx的解析式；（2）如果mn 10m,nN，fx的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值(注：区间a,b的长度为ba）.解：（1）已知fx13x mx2 nx，fx x2 2mx n3/筱*又gx fx 2x 3 x 2m 2x n 3在x 2处取极值，2则g 2 2 22m 2 0 m 3，又在x 2处取最小值-5.则g 2 2 24 n 3 5 n 2，fx213x 3x2 2x3（2）要使fx13x mx2 nx单调递减，则 fx x2 2mx n

41、032又递减区间长度是正整数，所以fx x 2mx n 0两根设做 a，b。即有：b-a 为区间长度。又b a a b2 4ab 4m2 4n 2 m2 nm,nN又 b-a 为正整数，且 m+n10,所以 m=2，n=3 或，m 3,n 5符合。21x,x 1辽宁理辽宁理 9设函数f(x)，则满足f(x)2的 x 的取值范围是1 log x,x 12A1，2D11函数f(x)的定义域为R R，f(1)2，对任意xR R，f(x)2，则f(x)2x 4的解集为A（1，1）B（1，+）B21（本小题满分 12 分）C（，1）D（，+）B0，2C1，+D0，+已知函数f(x)ln x ax2(2

42、a)x（I）讨论f(x)的单调性；（II）设a 0，证明：当0 x 111时，f(x)f(x)；aaa（III）若函数y f(x)的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0，证明：f（x0）021解：（I）f(x)的定义域为(0,),f(x)1(2x 1)(ax 1)2ax (2 a).xx（i）若a 0,则f(x)0,所以f(x)在(0,)单调增加.111,且当x(0,)时,f(x)0,当x 时,f(x)0.aaa11所以f(x)在(0,)单调增加，在(,)单调减少.4 分aa11（II）设函数g(x)f(x)f(x),则aa1当0 x 时,g(x)0,而g(0)0

43、,所以g(x)0.a111故当0 x 时，f(x)f(x).8 分aaa（ii）若a 0,则由f(x)0得x（III）由（I）可得，当a 0时,函数y f(x)的图像与 x 轴至多有一个交点，/筱*故a 0，从而f(x)的最大值为f(),且f()0.不妨设A(x1,0),B(x2,0),0 x1 x2,则0 x1由（II）得f(1a1a1 x2.ax x212211.x1)f(x1)f(x1)0.从而x2 x1,于是x01a2aaaa由（I）知，f(x0)0.12 分辽宁文辽宁文 6若函数f(x)x为奇函数，则 a=A(2x 1)(x a)A123BCD123416已知函数f(x)ex 2x

44、a有零点，则a的取值范围是_(,2ln 2220（本小题满分 12 分）设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线 y=f(x)过 P（1,0），且在 P 点处的切斜线率为2（I）求 a，b 的值；（II）证明：f(x)2x-220解：（I）f(x)1 2ax b.2 分x由已知条件得 f(1)0,1 a 0,，解得a 1,b 3.5 分即 f(1)2.1 2a b 2.2（II）f(x)的定义域为(0,)，由（I）知f(x)x x 3ln x.设g(x)f(x)(2x 2)2 x x 3ln x,则而g(1)0,故当x 0时,g(x)0,即f(x)2x 2.12 分全国理全国理（2）下列函数

45、中，既是偶函数又在单调递增的函数是 B（0，+）32（A）y x (B)y x 1（C）y x 1 (D)y 2 x2（9）由曲线y（A）x，直线y x2及y轴所围成的图形的面积为 C1016（B）4（C）（D）6331(12)函数y 的图像与函数y 2sinx(2 x 4)的图像所有交点的横坐标之和等于x1（A）2 (B)4 (C)6 (D)8D（21）（本小题满分 12 分）已知函数f(x)aln xb，曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x2y 3 0。x1x/筱（）求a、b的值；*（）如果当x 0，且x 1时，f(x)ln xk，求k的取值范围。x1x(（21）解解：（）f

46、(x)x1ln x)b1x，由于直线的斜率为，且过点(1,1)，x2y 3 022(x1)x2 f(1)1,b 1,故即a11f(1),b ,222解得a 1，b 1。ln x1lnxk1(k 1)(x21)（）由（）知f(x)，所以f(x)()(2ln x)。x1xx1x1 x2x(k 1)(x21)(k 1)(x21)2x考虑函数h(x)2ln x。(x 0)，则h(x)xx2k(x21)(x1)2(i)设k 0，由h(x)知，当x 1时，h(x)0。而h(1)0，故2x1h(x)0；21 x1当 x（1，+）时，h（x）021 xlnxklnxk从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（+

47、）0，即 f（x）+.x 1xx 1x12（ii）设 0k0,故h(x）0,而1k11h（1）=0，故当 x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而 h（1）=0，故当 x（1，+）时，h（x）0，可得设矛盾。综合得，k 的取值范围为（-，0全国文全国文（4）曲线y x 2x1在点（1,0）处的切线方程为A（A）y x1（B）y x1（C）y 2x2（D）y 2x2(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x0），则x fx2 0=B（A）x x 2或x 4（B）x x 0或x 4（C）x x 0或x 6（D）x x 2或x 2（21）本小题满分 12 分）/筱21 h（x）0,与题

48、21 x*设函数fx x ex1 ax2（）若 a=1，求fx的单调区间；来源:学科网2（）若当x0 时fx0，求 a 的取值范围（21）解：（）a 112xxxx时，f(x)x(e 1)x，f(x)e 1 xe x (e 1)(x1)。当x,1时f(x);22当x1,0时，f(x)0;当x0,时，f(x)0。故f(x)在,1，0,单调增加，在（-1，0）单调减少。（）f(x)x(x 1ax)。令g(x)x 1ax，则g(x)e a。若a 1，则当x0,时，g(x)，aaxg(x)为减函数，而g(0)0，从而当 x0 时g(x)0，即f(x)0.若a，则当x0,ln a时，g(x)，g(x)为

49、减函数，而g(0)0，从而当x0,ln a时g(x)0，即f(x)0.综合得a的取值范围为,1全国理（2）函数y2 x（x0）的反函数为xx22(A)y（xR）(B)y（x0）(C)y4x（xR）(D)y4x（x0）44【答案】：B【命题意图】：本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函数的值域。22y2x2【解析】：由y2 x，得x.函数y2 x（x0）的反函数为y.（x0）44（8）曲线y e(A)2x1在点（0,2）处的切线与直线y 0和y x围成的三角形的面积为112 (B)(C)(D)1323【答案】：A【命题意图】：本小题主要考查导数的求法、导数的几何意义及

50、过曲线上一点切线的方程的求法。【解析】：y|x0(2e2x)|x0 2，故曲线y e2x1在点（0,2）处的切线方程为y 2x2，易得切线与直线y 0和y x围成的三角形的面积为1。3（9）设f(x)是周期为 2 的奇函数，当0 x 1时，f(x)2x(1 x)，则f()(A)521111 (B)(C)(D)4224【答案】：A【命题意图】：本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。/筱*【解析】：f()f(525111112)f()f()2(1)。2222222x，证明：当x0 时，f(x)0；x29191)2.e10（22）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数f