高考数列求和解题方法大全.pdf

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1、高考数列求和解题方法大全高考数列求和解题方法大全数列求和问题是数列的基本内容之一，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。也是高考的热点和重点。由于数由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求以提高同学们数列求和的能力。和的能力。一、利用常用求和公式求和一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本

2、最重要的方法.1 1、等差数列求和公式：等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d22(q 1)na1n2 2、等比数列求和公式：、等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq(q 1)1q1q3 3、n11Snk n(n1)4 4、Snk2n(n1)(2n1)26k1k1n例例 1 1 已知已知log3x 解解：由由log3x 1，求，求x x2 x3 xn的前的前 n n 项和项和.log2311 log3x log32 x，由由等等比比数数列列求求和和公公式式得得log232n11(1n)x(1 x)21 11Sn x x2 x3 xn=211 x2n12二、错位相减法求和二

3、、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前这种方法是在推导等比数列的前 n n 项和公式时所用的方法，项和公式时所用的方法，这种方法主这种方法主要用于求数列要用于求数列aan nb bn n 的前的前 n n 项和，其中项和，其中 a an n 、b bn n 分别是等差数列和分别是等差数列和等比数列等比数列.例例 2 2 求和：求和：Sn1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn1解：解：由题可知，由题可知，(2n 1)xn1 的通项是等差数列的通项是等差数列2n2n11的通项与等比数列的通项与等比数列 xn1 的通项之积的通项之积当当x 1时，Sn135 7 2n 1当当x 1时设设xSn

4、1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn（设制错（设制错位）位）得得(1 x)Sn1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn1(2n 1)xn（错位相减）（错位相减）1 xn1(2n 1)xn再利用等比数列的求和公式得：再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn1 2x1 x(2n1)xn1(2n1)xn(1 x)Sn2(1 x)12n 1n n22例例 3.3.已知已知a 0,a 1，数列，数列an是首项为是首项为 a a，公比也为，公比也为 a a 的等比数列，令的等比数列，令bn anlgan(n N)，求数列，求数列bn的前的前n项和项和Sn。解析：解析：-得：得：(1 a)Sn(a

5、 a2 an nan1)lgaSnalga1(1 n na)an。2(1 a)点评：设数列点评：设数列an的等比数列，数列的等比数列，数列bn是等差数列，则数列是等差数列，则数列anbn的前的前n项和项和Sn求解，均可用错位相减法。求解，均可用错位相减法。三、反序相加法求和三、反序相加法求和这是推导等差数列的前这是推导等差数列的前 n n 项和公式时所用的方法，项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过就是将一个数列倒过来排列（反序）来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到，再把它与原数列相加，就可以得到 n n 个个(a1 an).例例 4 4函函数数f(x)对对任任意意xR，都都有有f

6、(x)f(1 x)11。（1 1）求求f()和和221n 1f()f()nn的值；的值；（2 2）数列数列an满足：满足：an f(0)f()f()f(等差数列吗请给与证明。等差数列吗请给与证明。（3 3）bn比较比较Tn与与Sn的大小。的大小。44an11n2nn 1数列数列an是是)f(1)，n，Sn 3216，Tn b12b22bn2试试n111n 1111)f()f(1)24nnnn212n 1（2 2）an f(0)f()f()f()f(1)nnnn 1n 221an f(1)f()f()f()f()f(0)nnnn1n 112an f(0)f(1)f()f()f(1)f(0)(n

7、1)nn2n 1an4解：解：（1 1）令）令x,可得可得f()，f()f(12（3 3）bn，Tn16(14n111111)16(1)1223(n 1)n2232n2四、分组法求和四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，开，可分为几个等差、可分为几个等差、等比或常见的数列，等比或常见的数列，然后分别求和，然后分别求和，再将其合并即可再将其合并即可.例例 5 5求数列的前求数列的前 n n 项和：项和：11,4,111 7,3n 2，aa2an1111解：设解：设Sn(11)(4)(2 7)(

8、n13n 2)aaa将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得Sn(11112n1)(1 4 7 3n 2)（分组）（分组）aaa(3n 1)n(3n 1)n当当 a a1 1 时，时，Sn n（分组求和）（分组求和）2211naa1n(3n1)n(3n1)na当当a 1时，时，Sn1a1221a例例 6 6 求数列求数列n(n+1)(2n+1)n(n+1)(2n+1)的前的前 n n 项和项和.解：设解：设ak k(k 1)(2k 1)2k3 3k2 kSnk(k 1)(2k 1)(2k33k2k)k1k1nn将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得S Sn n2k 3

9、k k（分组）（分组）32k1k1k1nnn2(1323n3)3(1222n2)(12n)n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)2(n2)2222五、裂项法求和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的和的目的.通项分解（裂项）如：通项分解（裂项）如：sin1 tan(n1)tann（1 1）an f(n 1)f(n)（2 2）cosn cos(n1)

10、(2n)21111111()（3 3）an（4 4）an(2n1)(2n1)2 2n12n1n(n 1)nn 1（5 5）an(6)(6)an1111n(n1)(n2)2 n(n1)(n1)(n2)n 212(n 1)n1111nn,则S 1nn1nnn(n 1)2n(n 1)2n2(n 1)2(n 1)2例例 7 7求数列求数列解：设解：设an则则Sn1121121,12 3,1n n 1,的前的前 n n 项和项和.n n 112 3n 1n（裂项）（裂项）1n n 1（裂项求和）（裂项求和）(2 1)(3 2)(n 1 n)n11例例 8 8在数列在数列aan n 中，中，an212n，又，又bn，求数列，求数列bbn n a an1n1n1nn1的前的前 n n 项的和项的和.12nn211bn8()n n1n 1n 1n 12nn1221111111数列数列bbn n 的前的前 n n 项和项和Sn 8(1)()()()22334nn 118n8(1)n1n1解：解：an