2012届高考数学第一轮复习强化训练 10.2《排列组合》新人教版选修2-3.pdf

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1、 10.2 10.2 排列组合排列组合【考纲要求】【考纲要求】1 1、理解排列、组合的概念、理解排列、组合的概念.2 2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3 3、能解决简单的实际问题、能解决简单的实际问题.【基础知识】【基础知识】一、排列一、排列1 1、排列的定义：从、排列的定义：从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(m n)个元素（这里的被取元素各不相个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列。个元素的一个排列。2 2、不同的排列

2、的定义：元素和顺序至少有一个不同、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同.3 3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列.4 4、排列数的定义：从、排列数的定义：从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(m n)个元素的所有排列的个数叫做从个元素的所有排列的个数叫做从mn个元素中取出个元素中取出m元素的排列数，用符号元素的排列数，用符号An表示表示.m5 5、排列数公式、排列数公式：An=n(n1)(nm1)=n！(n，mN，且，且m n)(nm)！nAn n(n1)(n2)321 n!(叫做叫做n的阶乘的阶乘)规定规定0!1二、组合二、组合1

3、 1、组合的定义：从、组合的定义：从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m(m n)个元素，并成一组，叫做从个元素，并成一组，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合.m2 2、组合数：组合数：从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，个元素的所有组合的个数，用符号用符号Cn表示表示.3 3、组合数公式：、组合数公式：Cmn=mAnn！n(n1)(nm1)=(nN，mN，且，且m n)mAm12mm！(nm)！0规定规定Cn1，0!1这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算，注这里两个公式前

4、者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算，注意公式的逆用，即由意公式的逆用，即由n！m=Cnm！(nm)！mnmmm1m4 4、组合数性质：、组合数性质：(1)(1)Cn=Cn;(2);(2)Cn+Cn=Cn15 5、要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合。、要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合。三、排列组合的综合问题三、排列组合的综合问题1 1、排列组合问题的解题步骤、排列组合问题的解题步骤仔细审题仔细审题编程编程列式列式计算计算2 2、编程的一般方法、编程的一般方法一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问一般问题直接

5、法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法。题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法。3 3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序(分类加法，分步分类加法，分步乘法乘法)【例题精讲】【例题精讲】例例 1 1从从 5 5 名男生、名男生、3 3 名女生中选名女生中选 5 5 人担任人担任 5 5 门不同学科的课代表，分别求符合下列条件门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数；的方法数；(1)(1)女生甲担任语文课代表；

6、女生甲担任语文课代表；(2)(2)男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表；男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表；(3)3(3)3 名男课代表，名男课代表，2 2 名女课代表，男生乙不任英语课代表名女课代表，男生乙不任英语课代表分析：本题是先组合后排列问题，特殊情况可优先考虑分析：本题是先组合后排列问题，特殊情况可优先考虑4 4解析：解析：(1)(1)女生甲担任语文课代表，再选四人分别担任其他四门学科课代表，方法数有女生甲担任语文课代表，再选四人分别担任其他四门学科课代表，方法数有C C7 74 4A A4 4840840 种种4 4(2)(2)先选出先选出 4 4 人，有人，有 C C7 7

7、种方法，连同乙在内，种方法，连同乙在内，5 5 人担任人担任 5 5 门不同学科的课代表，乙不担任门不同学科的课代表，乙不担任1 14 44 41 14 4英语课代表，有英语课代表，有 A A4 4AA4 4种方法，所以方法数为种方法，所以方法数为 C C7 7AA4 4AA4 433603360 种种(3)(3)分两类，乙担任课代表，乙不担代课任表分两类，乙担任课代表，乙不担代课任表2 22 2第一类：乙担任课代表，先选出第一类：乙担任课代表，先选出2 2 名男生名男生 2 2 名女生，有名女生，有C C4 4C C3 3种方法，连同乙在内，种方法，连同乙在内，5 5 人担人担1 14 42

8、 22 21 14 4任任 5 5 门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，有 A A4 4A A4 4种方法，方法数为种方法，方法数为 C C4 4C C3 3AA4 4A A4 4种；种；3 32 25 5第二类：乙不担任课代表，有第二类：乙不担任课代表，有 C C4 4C C3 3A A5 5种方法种方法2 22 21 14 43 32 25 5根据分类计数原理，共有根据分类计数原理，共有 C C4 4C C3 3A A4 4A A4 4C C4 4C C3 3A A5 531683168 种不同方法种不同方法例例 2 2在在 1111 名工人中

9、，有名工人中，有 5 5 人只能当钳工，人只能当钳工，4 4 人只能当车工，另外人只能当车工，另外2 2 人能当钳人能当钳工也能当车工。现从工也能当车工。现从1111 人中选出人中选出 4 4 人当钳工，人当钳工，4 4 人当车工，问共有多少种不同的选法人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。后统一。解：以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类解：以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。标准。

10、第一类：这两个人都去当钳工，有第一类：这两个人都去当钳工，有3535 种；种；第二类：这两人有一个去当钳工，有第二类：这两人有一个去当钳工，有7575 种；种；第三类：这两人都不去当钳工，有第三类：这两人都不去当钳工，有7575 种。种。因而共有因而共有 185185 种。种。10.2 10.2 排列组合强化训练排列组合强化训练【基础精练】【基础精练】x xx x2 21 1不等式不等式 A A8 86A6A8 8的解集为的解集为 ()A A2,8 B2,8 B2,6 C2,6 C(7,12)D(7,12)D882 2从从3 3，2 2，1,0,1,2,3,41,0,1,2,3,4 这这 8

11、8 个数中任选个数中任选 3 3 个不同的数组成二次函数个不同的数组成二次函数y yaxaxbxbxc c的系数的系数a a，b b，c c，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有 ()A A7272 条条 B B9696 条条 C C128128 条条 D D144144 条条3 3将将A A、B B、C C、D D、E E排成一列，要求排成一列，要求A A、B B、C C在排列中顺序为“在排列中顺序为“A A、B B、C C”或“”或“C C、B B、A A”(可”(可以不相邻以不相邻)，这样的排列数有，这样的排列数有 ()A A1212 种种 B

12、B2020 种种 C C4040 种种 D D6060 种种2 24 4某班班会准备从甲、乙等某班班会准备从甲、乙等 7 7 名学生中选派名学生中选派 4 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为加当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻那么不同的发言顺序的种数为()A A 360 B 360 B520 C520 C600 D600 D7207204 45 5已知函数已知函数f f(x x)1 1 的定义域为的定义域为 a a，b b，其中，其中a a、b bZ，且Z，且a ab b.若

13、函数若函数f f(x x)的值的值|x x|2 2域为域为0,10,1，则满足条件的整数对，则满足条件的整数对(a a，b b)共有共有()A A2 2 个个 B B5 5 个个 C C6 6 个个 D D8 8 个个6 6有有 4 4 个标号为个标号为 1,2,3,41,2,3,4 的红球和的红球和 4 4 个标号为个标号为 1,2,3,41,2,3,4 的白球，从这的白球，从这 8 8 个球中任取个球中任取 4 4 个球个球排成一排若取出的排成一排若取出的 4 4 个球的数字之和为个球的数字之和为 1010，则不同的排法种数是，则不同的排法种数是()A A384 B384 B396 C39

14、6 C432 D432 D4804807 7将将 4 4 名大学生分配到名大学生分配到 3 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种种(用数字作答用数字作答)8 8某班一天上午有某班一天上午有 4 4 节课，每节都需要安排一名教师去上节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从课，现从A A，B B，C C，D D，E E，F F 6 6 名教师中安排名教师中安排 4 4 人分别上一节课，第一节课只能从人分别上一节课，第一节课只能从A A、B B两人中安排一人，两人中安排一人，第四节课只能从第四节课只能从A A、C C两人中安

15、排一人，两人中安排一人，则不同的安排方案共有则不同的安排方案共有_种种9 9在在AOBAOB的边的边OAOA上有上有 5 5 个点，边个点，边OBOB上有上有 6 6 个点，加上个点，加上O O点共点共 1212 个点，以这个点，以这 1212 个点为个点为顶点的三角形有顶点的三角形有_个个1010有编号分别为有编号分别为 1 1、2 2、3 3、4 4 的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子问：的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子问：(1)(1)共有多少种放法？共有多少种放法？(2)(2)恰有一个空盒，有多少种放法？恰有一个空盒，有多少种放法？(3)(3)恰有恰有 2 2 个盒子内不放

16、球，有多少种放法？个盒子内不放球，有多少种放法？1111按下列要求分配按下列要求分配 6 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)(1)分成三份，分成三份，1 1 份份 1 1 本，本，1 1 份份 2 2 本，本，1 1 份份 3 3 本；本；(2)(2)甲、乙、丙三人中，一人得甲、乙、丙三人中，一人得 1 1 本，一人得本，一人得 2 2 本，一人得本，一人得 3 3 本；本；(3)(3)平均分成三份，每份平均分成三份，每份 2 2 本本【拓展提高】【拓展提高】1 1(1)(1)以以ABAB为直径的半圆上，除为直径的半圆上，除A A、B B两点

17、外，另有两点外，另有6 6 个点，又因为个点，又因为ABAB上另有上另有 4 4 个点，个点，共共 1212 个点，以这个点，以这 1212 个点为顶点共能组成多少个四边形？个点为顶点共能组成多少个四边形？(2)(2)在角在角A A的一边上有五个点的一边上有五个点(不含不含A A)，另一边上有四个点另一边上有四个点(不含不含A A)，由这十个点由这十个点(含含A A)可构成多少个三角形？可构成多少个三角形？(3)(3)设有等距离的设有等距离的 3 3 条平行线和另外等距离的条平行线和另外等距离的 4 4 条平行线相交，试问以这些交点为条平行线相交，试问以这些交点为顶点的三角形的个数是多少？顶点

18、的三角形的个数是多少？【基础精练参考答案】【基础精练参考答案】8 8！8 8！1.D1.D【解析】：【解析】：66，(8(8x x)！(10(10 x x)！x x1919x x84840 0，77x x1212，又，又x x8，8，x x20，720，7x x88 即即x x8.8.2.D2.D【解析】：当【解析】：当a a0 0 时，坐标原点在抛物线内部时，坐标原点在抛物线内部f f(0)(0)c c0 0；当当a a0 0 时，坐标原点在抛物线内部时，坐标原点在抛物线内部f f(0)(0)c c0 0，所以坐标原点在抛物线内部所以坐标原点在抛物线内部acac0 0故满足条件的抛物线共有故

19、满足条件的抛物线共有 346A346A2 2144144 条条3.C3.C【解析】：五个字母排成一列，先从中选三个位置给【解析】：五个字母排成一列，先从中选三个位置给A A、B B、C C且且A A、B B、C C有两种站有两种站法即法即 C C5 52，然后让2，然后让D D、E E排在剩余两个位置上有排在剩余两个位置上有 A A2 2种排法；由分步乘法原理所求排种排法；由分步乘法原理所求排列数为列数为 C C5 52A2A2 240.40.4.C4.C【解析】：若甲乙同时参加，可以先从剩余的【解析】：若甲乙同时参加，可以先从剩余的 5 5 人中选出人中选出 2 2 人，先排此两人，再人，先

20、排此两人，再将甲乙两人插入其中即可，则共有将甲乙两人插入其中即可，则共有 C C5 5A A2 2A A3 3种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参种不同的发言顺序；若甲乙两人只有一人参加，则共有加，则共有 C C2 2C C5 5A A4 4种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为种不同的发言顺序，综上可得不同的发言顺序为 C C5 5A A2 2A A3 3C C2 2C C5 5A A4 4600600种种1 13 34 42 22 22 21 13 34 42 22 22 23 32 23 32 22 22 2 4 4 x x 2 25.B5.B【解析】：函数【解析】：函数f f(x

21、 x)4 4 x x 2 2共有共有 5 5 个个 1,1,x x 0 0,是是 R R 上的偶函数，当上的偶函数，当x x0,2时，0,2时，1,1,x x 0,0,f f(x x)0,1，则定义域区间可以取)0,1，则定义域区间可以取 2,22,2，2 2，00，2,12,1，1,21,2，0,20,2，6.C6.C【解析】：若取出的球的标号为【解析】：若取出的球的标号为 1,2,3,41,2,3,4，则共有，则共有 C C2 2C C2 2C C2 2C C2 2A A4 4384384 种不同的排法；种不同的排法；若取出的球的标号为若取出的球的标号为 1,1,4,41,1,4,4，则共

22、有，则共有 A A4 42424 种不同的排法；若取出的球的标号为种不同的排法；若取出的球的标号为2,2,3,32,2,3,3 则共有则共有 A A4 42424 种不同的排法；种不同的排法；由此可得取出的由此可得取出的 4 4 个球数字之和为个球数字之和为 1010 的不同排法的不同排法种数是种数是 38438424242424432.432.7.367.36【解析】：选出两人看成整体，再排列，共有【解析】：选出两人看成整体，再排列，共有 C C4 4A A3 336.36.8.368.36【解析】：由于教师【解析】：由于教师A A在第一节与第四节课中都涉及，为此应分开处理较好，第在第一节与

23、第四节课中都涉及，为此应分开处理较好，第一节课教师一节课教师A A上，上，则第四节课必由教师则第四节课必由教师C C上，上，此时有此时有 A A4 41212 种，种，如果第一节由教师如果第一节由教师B B上，上，则第四节应由教师则第四节应由教师A A、C C中一人上，此时有中一人上，此时有 A A2 2A A4 42424，故共有，故共有 3636 种不同的排法种不同的排法1 12 22 22 23 34 44 41 11 11 11 14 49.1659.165【解析】：【解析】：C C1212C C6 6C C7 7165.165.10.10.【解析】：【解析】：(1)1(1)1 号小球

24、可放入任意一个盒子内，有号小球可放入任意一个盒子内，有 4 4 种放法同理，种放法同理，2 2、3 3、4 4 号号小球也各有小球也各有 4 4 种放法，故共有种放法，故共有 4 4 256256 种放法种放法(2)(2)恰有一个空盒，则这恰有一个空盒，则这 4 4 个盒子中只有个盒子中只有 3 3 个盒子内有小球，且小球数只能是个盒子内有小球，且小球数只能是 1 1、1 1、2.2.先从先从 4 4 个小球中任选个小球中任选 2 2 个放在一起，有个放在一起，有 C C4 4种方法，然后与其余种方法，然后与其余 2 2 个小球看成三组，分个小球看成三组，分别放入别放入 4 4 个盒子中的个盒

25、子中的 3 3 个盒子中，有个盒子中，有A A4 4种放法由分步计数原理，知共有种放法由分步计数原理，知共有C C4 4A A4 4144144 种不种不同的放法同的放法(3)(3)恰有恰有 2 2 个盒子内不放球，也就是把个盒子内不放球，也就是把 4 4 个小球只放入个小球只放入 2 2 个盒子内，有两类放法：个盒子内，有两类放法：一个盒子内放一个盒子内放 1 1 个球，个球，另一个盒子内放另一个盒子内放 3 3 个球个球先把小球分为两组，一组先把小球分为两组，一组1 1 个，另个，另一组一组 3 3 个，有个，有 C C4 4种分法，再放到种分法，再放到 2 2 个盒子内，有个盒子内，有

26、A A4 4种放法，共有种放法，共有 C C4 4A A4 4种方法；种方法；22 个盒子内各放个盒子内各放 2 2 个小球先从个小球先从 4 4 个盒子中选出个盒子中选出 2 2 个盒子，有个盒子，有 C C4 4种选法，然后把种选法，然后把 4 4个小球平均分成个小球平均分成 2 2 组，每组组，每组2 2 个，放入个，放入2 2 个盒子内，也有个盒子内，也有C C4 4种选法，共有种选法，共有C C4 4C C4 4种方法由种方法由分类计数原理知共有分类计数原理知共有 C C4 4A A4 4C C4 4C C4 48484 种不同的放法种不同的放法11.11.【解析】：【解析】：(1)

27、(1)无序不均匀分组问题先选无序不均匀分组问题先选1 1 本有本有 C C6 6种选法；再从余下的种选法；再从余下的5 5 本中选本中选2 2 本有本有 C C5 5种选法；最后余下种选法；最后余下 3 3 本全选有本全选有 C C3 3种方法，故共有种方法，故共有 C C6 6C C5 5C C3 36060 种种(2)(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在第有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)(1)题基础上，还应考题基础上，还应考虑再分配，共有虑再分配，共有 C C6 6C C5 5C C3 3A A3 3360360 种种(3)(3)无序均匀分组问题先

28、分三步，则应是无序均匀分组问题先分三步，则应是 C C6 6C C4 4C C2 2种方法，但是这里出现了重复不种方法，但是这里出现了重复不妨记妨记 6 6 本书为本书为A A、B B、C C、D D、E E、F F，若第一步取了，若第一步取了ABAB，第二步取了，第二步取了CDCD，第三步取了，第三步取了EFEF，记该种分法为记该种分法为(ABAB，CDCD，EFEF)，则，则C C6 6C C4 4C C2 2种分法中还有种分法中还有(ABAB，EFEF，CDCD)、(CDCD，AB AB，EFEF)、(CDCD，3 3EFEF，ABAB)、(EFEF，CDCD，ABAB)、(EFEF，A

29、BAB，CDCD)，共，共 A A3 33 3种情况，而这种情况，而这 A A3 3种情况仅是种情况仅是ABAB、CDCD、EFEF2 22 22 22 22 22 21 12 23 33 32 23 31 12 23 31 11 12 22 22 22 22 22 22 21 12 21 12 23 32 23 32 24 43 33 33 3C C6 6C C4 4C C2 2的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有3 31515 种种A A3 3【拓展提高参考答案】【拓展提高参考答案】2 22 22 2所以共有所以共有 C C1212(C(C4 433C C3 3444)4)200200 个个3 33 33 3