高一数学数列部分经典习题及答案.pdf

《高一数学数列部分经典习题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学数列部分经典习题及答案.pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、.数数列列一数列的概念：一数列的概念：（1 1）已知）已知ann1*a(nN)，则在数列，则在数列的最大项为的最大项为_（答：（答：）；n2n 15625an，其中，其中a,b均为正数，则均为正数，则an与与an1的大小关系为的大小关系为_（答：（答：an an1）；bn1（2 2）数列）数列an的通项为的通项为an（3 3）已知数列）已知数列an中，中，an n2n，且，且an是递增数列，求实数是递增数列，求实数的取值范围（答：的取值范围（答：3）；二等差数列的有关概念：二等差数列的有关概念：1 1等差数列的判断方法：定义法等差数列的判断方法：定义法an1an d(d为常数）或或an1an

2、anan1(n 2)。设设an是等差数列，求证：以是等差数列，求证：以 b bn n=a1 a2 annN*为通项公式的数列为通项公式的数列bn为等差数列。为等差数列。n2 2等差数列的通项：等差数列的通项：an a1(n1)d或或an am(nm)d。(1)(1)等差数列等差数列an中，中，a1030，a2050，则通项，则通项an（答：（答：2n10）；）；（2 2）首项为）首项为-24-24 的等差数列，从第的等差数列，从第 1010 项起开始为正数，则公差的取值范围是项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：（答：8 d 3）33 3等差数列的前等差数列的前n和：和：Snn(a1 an

3、)n(n1)d。，Sn na1221315(n 2,nN*)，an，前，前 n n 项和项和Sn，求，求a1，n（答：（答：a1 3，222（1 1）数列）数列an中，中，an an1n 10）；）；2（2 2）已知数列）已知数列an的前的前 n n 项和项和Sn12nn，求数列，求数列|an|的前的前n项和项和Tn（答：（答：2*12nn(n 6,nN)Tn2）.*n 12n72(n 6,nN)三等差数列的性质：三等差数列的性质：1 1当公差当公差d 0时，等差数列的通项公式时，等差数列的通项公式an a1(n1)d dna1d是关于是关于n的一次函数，且率为公差的一次函数，且率为公差d；前

4、；前n和和Sn na1n(n1)ddd n2(a1)n是关于是关于n的二次函数且常数项为的二次函数且常数项为 0.0.2222 2若公差若公差d 0，则为递增等差数列，若公差，则为递增等差数列，若公差d 0，则为递减等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差d 0，则为常数列。，则为常数列。3 3当当mn pq时时,则有则有am an ap aq，特别地，当，特别地，当mn 2p时，则有时，则有am an 2ap.（1 1）等差数列）等差数列an中，中，Sn18,anan1an2 3,S31，则，则n_（答：（答：2727）（2 2）在等差数列）在等差数列an中，中，a10 0,a11 0，且

5、，且a11|a10|，S Sn n是其前是其前n项和，则项和，则A A、S1,S2S10都小于都小于 0 0，S11,S12都大于都大于 0 0B B、S1,S2S19都小于都小于 0 0，S20,S21都大于都大于 0 0C C、S1,S2S5都小于都小于 0 0，S6,S7都大于都大于 0 0D D、S1,S2S20都小于都小于 0 0，S21,S22都大于都大于 0 0（答：（答：B B）*4 4 若若an、bn是是 等等 差差 数数 列列，则则kan、kan pbn(k、p是是 非非 零零 常常 数数)、apnq(p,qN)、Sn,S2n Sn,S3nS2n，也成等差数列，而，也成等差

6、数列，而aan成等比数列；若成等比数列；若an是等比数列，且是等比数列，且an 0，则，则lgan是等差是等差数列数列.等差数列的前等差数列的前n n项和为项和为 2525，前，前 2 2n n项和为项和为 100100，则它的前，则它的前 3 3n n和为和为。（答：（答：225225）S偶S奇 nd；S奇 S偶 a中，S2n1(2n1)a中5 5 在等差数列在等差数列an中，中，当项数为偶数当项数为偶数2n时，时，项数为奇数项数为奇数2n1时，时，（这里（这里a中即即an）；S奇:S偶(k 1):k。如。如（1 1）在等差数列中，）在等差数列中，S S11112222，则，则a6_（答：（

7、答：2 2）；（2 2）项数为奇数的等差数列）项数为奇数的等差数列an中，奇数项和为中，奇数项和为 8080，偶数项和为，偶数项和为 7575，求此数列的中间项与项数（答：，求此数列的中间项与项数（答：5 5；3131）.6 6若等差数列若等差数列an、bn的前的前n和分别为和分别为An、Bn，且，且Ana(2n1)anA2n1 f(n)，则，则n f(2n1).Bnbn(2n1)bnB2n1aSn6n 23n 1，求，求n（答：（答：）bnTn4n 38n 7如设如设 an 与与 bn 是两个等差数列，它们的前是两个等差数列，它们的前n项和分别为项和分别为Sn和和Tn，若，若7 7“首正”“

8、首正”的递减等差数列中，的递减等差数列中，前前n项和的最大值是所有非负项之和；项和的最大值是所有非负项之和；“首负”“首负”的递增等差数列中，的递增等差数列中，前前n项和的最小值项和的最小值an 0an 0确定出前多少项为非负（或非正）确定出前多少项为非负（或非正）是所有非正项之和。法一：由不等式组是所有非正项之和。法一：由不等式组；或an 1 0an 1 0法二：因等差数列前法二：因等差数列前n项是关于项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。*（1 1）等差数列）等差数列an中，中，a1 25，S

9、9 S17，问此数列前多少项和最大并求此最大值。，问此数列前多少项和最大并求此最大值。（答：前（答：前 1313 项和最大，项和最大，（2 2）若）若an是等差数列，首项是等差数列，首项a1 0,a2003 a2004 0，a2003a20040，则使前，则使前n n项和项和Sn 0成立的最大正整数成立的最大正整数n n是是（答：（答：40064006）8 8如果两等差数列有公共项，如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数数列公差的最小公倍

10、数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an bm.四等比数列的有关概念：四等比数列的有关概念：1 1等比数列的判断方法：定义法等比数列的判断方法：定义法an1aa，其中，其中q 0,an 0或或n1n(n 2)。q(q为常数）ananan1（1 1）一个等比数列）一个等比数列 an 共有共有2n1项，奇数项之积为项，奇数项之积为 100100，偶数项之积为，偶数项之积为 120120，则，则an1为为_（答：（答：5）；6（2 2）数列）数列an中，中，Sn=4=4an1+1(+1(n 2)且且a1=1=1，若，若bn an1

11、2an，求证：数列，求证：数列bn是等比数列。是等比数列。2 2等比数列的通项：等比数列的通项：an a1qn1或或an amqnm。设等比数列设等比数列an中，中，a1 an 66，a2an1128，前，前n项和项和Sn126126，求，求n和公比和公比q.（答：（答：n 6，q 2 2）1或或2a1(1qn)a1anq3 3等比数列的前等比数列的前n和：当和：当q 1时，时，Sn na1；当；当q 1时，时，Sn。如。如1q1q（1 1）等比数列中，）等比数列中，q2 2，S S9999=77=77，求，求a3 a6 a99（答：（答：4444）特别提醒：等比数列前特别提醒：等比数列前n项

12、和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比项和时，首先要判断公比q是否为是否为 1 1，再，再由由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为是否为 1 1 时，要对时，要对q分分q 1和和q 1两种情形讨论求解。两种情形讨论求解。4 4提醒：（提醒：（1 1）等比数列的通项公式及前）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到和公式中，涉及到 5 5 个元素：个元素：a1、q、n、an及及Sn，其中，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这称作为基本元素。只要已知这 5 5 个元素中的任意个元素中

13、的任意 3 3 个，便可求出其余个，便可求出其余 2 2 个，即知个，即知 3 3 求求 2 2；（；（2 2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，aa2,a,aq,aq（公比为（公比为q）；）；q2q但偶数个数成等比时，不能设为但偶数个数成等比时，不能设为aa,aq,aq3，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如3qq此设，且公比为此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比

14、数列，且第一个数与第四个数的和是个数的和是 1616，第二个数与第三个数的和为，第二个数与第三个数的和为 1212，求此四个数。（答：，求此四个数。（答：1515，,9,9，3,13,1 或或 0,40,4，8,168,16）5.5.等比数列的性质：等比数列的性质：2（1 1）当）当mn pq时，则有时，则有aman apaq，特别地，当，特别地，当mn 2p时，则有时，则有aman ap.（1 1）在等比数列）在等比数列an中，中，a3 a8124,a4a7 512，公比，公比 q q 是整数，则是整数，则a10=_=_（答：（答：512512）；（2 2）各项均为正数的等比数列）各项均为正

15、数的等比数列an中，若中，若a5a69，则，则log3a1log3a2log3a10（答：（答：1010）。*bn成等比数列，则成等比数列，则anbn、(2)(2)若若an是等比数列，则是等比数列，则|an|、apnq(p,qN)、kan成等比数列；若成等比数列；若an、a若若an是等比数列，是等比数列，且公比且公比q 1，则数列则数列Sn,S2n Sn,S3nS2n，也是等比数列。也是等比数列。当当q 1，n成等比数列；成等比数列；bn且且n为偶数时，数列为偶数时，数列Sn,S2n Sn,S3nS2n，是常数数列，是常数数列 0 0，它不是等比数列，它不是等比数列.（1 1）已已 知知a 0

16、且且a 1，设设 数数 列列xn满满 足足logaxn11logaxn(nN*)，且且x1 x2 x100100，则则x101 x102 x200答：答：100a100）；（2 2）在等比数列）在等比数列an中，中，Sn为其前为其前 n n 项和，若项和，若S3013S10,S10 S30140，求，求S20的值（答：的值（答：4040）(3)(3)若若a1 0,q 1，则，则an为递增数列；若为递增数列；若a1 0,q 1,则则an为递减数列；若为递减数列；若a1 0,0 q 1，则，则an为递减数为递减数列；若列；若a1 0,0 q 1,则则an为递增数列；若为递增数列；若q 0，则，则a

17、n为摆动数列；若为摆动数列；若q 1，则，则an为常数列为常数列.(4)(4)当当q 1时，时，Sn a1naq 1 aqnb，这里，这里ab 0，但，但a 0,b 0，这是等比数列前，这是等比数列前n项和公式的一项和公式的一1 q1 q个特征，据此很容易根据个特征，据此很容易根据Sn，判断数列，判断数列an是否为等比数列。是否为等比数列。若若an是等比数列，且是等比数列，且Sn 3n r，则，则r（答：（答：1 1）mn(5)(5)Smn Sm q Sn Snq Sm.如设等比数列如设等比数列an的公比为的公比为q，前，前n项和为项和为Sn，若，若Sn1,Sn,Sn2成等差数列，则成等差数列

18、，则q的值为的值为_（答：（答：2 2）(6)(6)在等比数列在等比数列an中，当项数为偶数中，当项数为偶数2n时，时，S偶 qS奇；项数为奇数；项数为奇数2n1时，时，S奇 a1qS偶.(7)(7)如果数列如果数列an既成等差数列又成等比数列，既成等差数列又成等比数列，那么数列那么数列an是非零常数数列，是非零常数数列，故常数数列故常数数列an仅是此数列既成等差数仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。列又成等比数列的必要非充分条件。设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn（nN N），关于数列关于数列an有下列三个命题：有下列三个命题：若若an an1(nN N)，则则an既

19、是等差数既是等差数nbR R，则，则an是等差数列；若是等差数列；若Sn11，则，则an是等比数列。这是等比数列。这列又是等比数列；若列又是等比数列；若Sn an2 bna、些命题中，真命题的序号是些命题中，真命题的序号是（答：）（答：）五五.数列的通项的求法：数列的通项的求法：公式法：公式法：已知已知Sn（即（即a1 a2 an f(n)）求）求an，用作差法：，用作差法：anS1,(n 1)。Sn Sn1,(n 2)已知已知an的前的前n项和满足项和满足log2(Sn1)n1，求，求an（答：（答：an3,n 1）；2n,n 2数列数列an满足满足11a12a222114,n 1aa 2n

20、5，求，求（答：（答：）a nnn2n1,n 22n已知已知a1a2f(1),(n 1)f(n)an f(n)求求an，用作商法：，用作商法：an。如数列。如数列an中，中，a11,对所有的对所有的n 2都有都有,(n 2)f(n1)a1a2a3an n2，则，则a3 a5_（答：（答：61）16(a2a1)若若an1an f(n)求求an用累加法：用累加法：an(anan1)(an1an2)a1(n 2)。an an1如已知数列如已知数列an满足满足a11，1n 1 n则则an=_=_（答：答：(n 2)，ann12 1）已知已知an1aa f(n)求求an，用累乘法：用累乘法：annn1a

21、nan1an2a2a1(n 2)。如已知数列如已知数列an中，中，a1 2，前前n项和项和Sn，a12若若Sn n an，求，求an（答：（答：an4）n(n1)已知递推关系求已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列），用构造法（构造等差、等比数列）。n特别地，特别地，（1 1）形如形如an kan1b、an kan1b（k,b为常数）为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等的等比数列后，再求比数列后，再求an。n1 已知已知a11,an 3an12，求，求an（答：（答：an 2 31）；nn1n1 已知已知a11,an 3an1

22、 2，求，求an（答：（答：an 5 32）；（2 2）形如）形如anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。的递推数列都可以用倒数法求通项。kan1b已知已知a11,anan11，求，求an（答：（答：an）；3an113n2已知数列满足已知数列满足a1=1=1，an1ananan1，求，求an（答：（答：an1）n2注意：注意：（1 1）用用an Sn Sn1求数列的通项公式时，求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗你注意到此等式成立的条件了吗（n 2，当当n 1时，时，；a1 S1）（2 2）一般地当已知条件中含有）一般地当已知条件中含有an与与Sn的混合关系时，常需运用关系式的

23、混合关系时，常需运用关系式an Sn Sn1，先将已知条件转化为只含，先将已知条件转化为只含an或或Sn的关系式，然后再求解。如数列的关系式，然后再求解。如数列an满足满足a1 4,SnSn154,n 1an1，求，求an（答：（答：an）n13 4,n 23六六.数列求和的常用方法：数列求和的常用方法：1 1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1 1 的的关系，必要时需分类讨论关系，必要时需分类讨论.；常用公式：；常用公式：123n 1n(n1

24、)，12222n21n(n1)(2n1)，6132333n3n(n1)2.如如24n1（1 1）等比数列）等比数列an的前的前n项和项和 S S2 2，则，则a a a a_（答：（答：）；32122232n2 2分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.如如求：求：Sn 1357(1)n(2n1)（答：（答：(1)nn）3 3倒序相加法：倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，若和式中到首尾距离相等的两项

25、和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）和公式的推导方法）.1117x2f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f()已知已知f(x)，则，则_（答：（答：）21 x23424 4错位相减法：错位相减法：设设an为等比数列，为等比数列，Tn na1(n1)a2 2an1an，已知，已知T11，T2 4，求数列，求数列an的首项和公比；求数的首项和公比；求数n1列列Tn的通项公式的通项公式.（答：（答：a11，q 2；Tn 2n2）；5 5裂项相消

26、法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：常用裂项形式有：1111；1(11)；n(n1)nn1n(n k)k nn k111111111111()，；222kk 1(k 1)kk(k 1)kk 1kkk 12 k 1k 1n111111；n(n1)(n2)2 n(n1)(n1)(n2)(n 1)!n!(n 1)!2(n1n)21 2(n n1).n n1nn n12（1 1）求和：）求和：111447n1）；（答：（答：(3n2)(3n1)3n11（2 2）在数列）在数列an中，中，ann n 1，且，且 S S，则，则 n n_（答：（答：9999）；6 6通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求数列求数列 1 14 4，2 25 5，3 36 6，n(n3)，前，前n项和项和Sn=（答：（答：n(n1)(n5)）；3求和：求和：111121 231123 n（答：（答：2n）n1