2011届高考数学权威预测 20圆锥曲线中的最值问题和范围问题(1) 新人教A版.pdf

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1、第二十讲第二十讲 圆锥曲线中的最值和范围问题（一）圆锥曲线中的最值和范围问题（一）高考在考什么高考在考什么【考题回放】【考题回放】x2y21已知双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 60的直线与双曲ab线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)A.(1,2)B.(1,2)C.2,)D.(2,+)x2y21的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24 和(x5)2y212 P是双曲线916上的点，则|PM|PN|的最大值为（D）A.6 B.7 C.8 D.923抛物线y=-x上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是(A)478 B C D3355x

2、2y24 已知双曲线221,(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，abA且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）(A)457(B)(C)2 (D)3332225已知抛物线y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y1+y2的最小值是 32 .26对于抛物线y=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|a|，则a的取值范围是(B)（A）（，0）（B）（，2（C）0，2高考要考什么高考要考什么【热点透析】【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形

3、中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：通过参数简明地表示曲线上点的坐标；利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构

4、造一个二次方程，利用判别式0。突破重难点突破重难点【例【例 1 1】已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|PN|2 2.记动点P的轨迹为W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OAOB的最小值.（D）（0，2）解：解：（）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，x2y2所求方程为：1（x0）22（）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，x02），B（x0，x02），OAOB2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，22x2y2222代入双曲线方程1中，得：(1k)x2kbxb2022依题意可知方程

5、1有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则 4k2b24(1k2)(b22)02kb解得|k|1，x x 01221kb22 0 x1x22k 1又OAOBx1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）2k22422222（1k）x1x2kb（x1x2）b2k 1k 1综上可知OAOB的最小值为 2x2y251上的动点，【例【例2 2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆F是右焦点，当AB BF25163取得最小值时，试求B点的坐标。解：解：因为椭圆的e 3511，所以AB BF AB BF，而BF为动点B到左准线53ee的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A

6、点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义|BF|BF|5 e|BN|BF|BN|e3于是AB 5BF|AB|BN|AN|AM为定值35 3,2)2其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为(所以，当AB 5 35,2)BF取得最小值时，B点坐标为(2322x2 y21上移动,试求|PQ|的最【例【例 3 3】已知P点在圆x+(y-2)=1 上移动，Q点在椭圆9大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大222值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|=x+(y-4

7、)22因Q在椭圆上,则x=9(1-y)1将代入得|O1Q|=9(1-y)+(y-4)8y2722222因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当y 此时PQmax3 311时，OQ3 31max2【点睛点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。【例【例 4 4】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-22)，对应的准线方程为y 9 2，且离心率4e满足：,e,234成等差数列。3（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x

8、 分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。1平22 2a29 22c 2 2（1）解：解：依题意 e，3c44a3，c22，b1，又 F1(0，22)，对应的准线方程为y 椭圆中心在原点，所求方程为x29 2412y 191平分2(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x 直线l的斜率存在。设直线l：ykxmy kxm2222由消去y，整理得(k9)x2kmxm90y21x 9l与椭圆交于不同的两点M、N，2222224k m4(k9)(m9)0即mk90k29x1 x2km1设 M(x1,y1),N(x2,y2)2 m 2k2k 92(k29)2(k29)0，把代入式

9、中得24kk3或k3 2直线l倾斜角(，)(，)3 223【例【例 5 5】长度为a（a 0）的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且AP PB（为常数且0）（1）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹类型；（2）当=2 时，已知直线l1与原点 O 的距离为的斜率k的取值范围a，且直线l1与轨迹C有公共点，求直线l12答案：(1)设P(x,y)、A(x0,0)、B(0,y0)，则x0(1)xx x0 x222AP PB 1，由此及|AB|a x0 y0 a，得yy(y0 y)y0y2a1 22(1)xy a，即x 21（*）222当0 1时，方程（*）的轨迹是焦点为(12a,0)，长轴长为a的椭圆1112a)，长轴长为a的椭圆11a为半径的圆2当1时，方程（*）的轨迹是焦点为(0,当1时，方程（*）的轨迹是焦点为以O 点为圆心，（2）设直线l1的方程：y kx h，据题意有h1 k2aa，即h 1 k222y kx hk2299229(1)x khx h a 0由292得24249x y a4因为直线l1与椭圆9x292y a2有公共点，所以 9(4 k2)a281h2 0,4又把h 73535a k 1 k2代入上式得：k2,5552