2012届高考数学一轮复习 8.4 直线与圆锥曲线的位置关系教案.pdf
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1、8.48.4直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式.点击双基21.过点(2,4)作直线与抛物线y8x只有一个公共点,这样的直线有A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4条解析:数形结合法,同时注意点在曲线上的情况.答案:By22.已知双曲线C:x=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,4则满足上述条件的直线l共有A.1
2、 条 B.2 条 C.3 条 D.4条解析:数形结合法,与渐近线平行、相切.答案:D223.双曲线xy1 的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是A.(,0)B.(1,)C.(,0)(1,+)D.(,1)(1,)解析:数形结合法,与渐近线斜率比较.答案:C24.过抛物线y=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=8,O为坐标原点,则OAB的重心的横坐标为_.解析:由题意知抛物线焦点F(1,0).设过焦点F(1,0)的直线为y=k(x1)(k0),2222A(x1,y1),B(x2,y2).代入抛物线方程消去y得k x2(k+2)x+k=0.2
3、2(k2 2)k0,x1+x2=,x1x2=1.2k2|AB|=(1 k2)(x1 x2)2=(1 k2)(x1 x2)2 4x1x24(k2 2)22 4=(1 k)=8,k=1.k42OAB的重心的横坐标为x=答案:20 x1 x2=2.3x2y25.已知(4,2)是直线l被椭圆+=1 所截得的线段的中点,则l的方程是369_.解析:设直线l与椭圆交于P1(x1,y1)、P2(x2,y2),将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k=y1 y2x x2=1x1 x24(y1 y2)41=.422由点斜式可得l的方程为x+2y8=0.答案:x+2y8=0=典例剖析【例 1】已知直线l
4、:y=tan(x+22)交椭圆x+9y=9 于A、B两点,若为l的倾斜角,且|AB|的长不小于短轴的长,求的取值范围.剖析:确定某一变量的取值范围,应设法建立关于这一变量的不等式,题设中已经明确给定弦长2b,最后可归结为计算弦长求解不等式的问题.解:将l方程与椭圆方程联立,消去y,得(1+9tan)x+362tanx+72tan9=0,2222226tan2 6|AB|=1 tan|x2x1|=1 tan=.22(1 9tan)1 9tan22133,tan.3335的取值范围是0,),).66由|AB|2,得 tan2评述:对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用.本题由于l的方程由 tan给
5、出,所以可以认定,否则涉及弦长计算时,还应讨论=时的情况.22深化拓展本题若把条件|AB|的长不小于短轴的长去掉,改为求|AB|的长的取值范围.读者不妨一试.6tan2 6提示:|AB|=,219tan6tan2 6设|AB|=y,即y=,1 9tan29ytan+y=6tan+6,2(9y6)tan+y6=0.2266时,由0 得y6.996当y=时,l与x轴垂直,92故|AB|的范围是,6.32【例 2】已知抛物线y=x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.(1)求证:OAOB;当y(2)当OAB的面积等于10时,求k的值.剖析:证明OAOB可有两种思路(如下图):(1)证kOAkOB=
6、1;1|AB|.2求k的值,关键是利用面积建立关于k的方程,求AOB的面积也有两种思路:1(1)利用 SOAB=|AB|h(h为O到AB的距离);21(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线和x轴交点为N,利用 SOAB=|AB|y1y2|.2(2)取AB中点M,证|OM|=请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时,是消去x还是消去y,这要根据解题的思路去确定.当然,这里消去x是最简捷的.(1)证明:如下图,由方程组y2=x,消去 x 后,整理得y=k(x+1)ky+yk=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理y1y2=1.22222A、B在抛物线y=x上,y1=x1,y
7、2=x2,y1y2=x1x22kOAkOB=y1yy y12=12=1,OAOB.x1x2x1x2y1y2(2)解:设直线与x轴交于N,又显然k0,令y=0,则x=1,即N(1,0).SOAB=SOAN+SOBN11|ON|y1|+|ON|y2|221=|ON|y1y2|,21SOAB=1(y1 y2)2 4y1y22=121()2 4.kSOAB=10,10=1211.解得k=.426k评述:本题考查了两直线垂直的充要条件、三角形的面积公式、函数与方程的思想,以及分析问题、解决问题的能力.2【例 3】在抛物线y=4x上恒有两点关于直线y=kx+3 对称,求k的取值范围.剖析:设B、C两点关于
8、直线y=kx+3 对称,易得直线BC:x=ky+m,由B、C两点关于直线y=kx+3 对称可得m与k的关系式,而直线BC与抛物线有两交点,0,即可求得k的范围.22解:设B、C关于直线y=kx+3 对称,直线BC方程为x=ky+m,代入y4x,得y4ky4m=0,设B(x1,y1)、C(x2,y2),BC中点M(x0,y0),y1 y222k,x02k+m.2点M(x0,y0)在直线l上,22k=k(2km)+3.则y02k3 2k 3m=.k又BC与抛物线交于不同两点,216k16m0.k3 2k 3把m代入化简得0,k(k 1)(k2 k 3)即0,解得1k0.k评述:对称问题是高考的热点
9、之一,由对称易得两个关系式.本题运用了“设而不求”,解决本题的关键是由B、C两点在抛物线上得“0”.思考讨论将直线BC设为x=ky+m.好!若直线BC的方程设为y=们不妨一试.闯关训练夯实基础夯实基础1.若双曲线xy1 的右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为2,则a+b的值为221x+m,本题运算量增大,同学k111 B.C.D.222222解析:P(a,b)点在双曲线上,则有ab=1,即(a+b)(ab)=1.A.d=|a b|2=2,|ab|=2.又P点在右支上,则有ab,ab=2.|a+b|2=1,a+b=答案:B1.2x2y22.已知对kR,直线ykx1=0 与椭圆+=1 恒有公
10、共点,则实数m的取值范5m围是A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)(5,+)D.1,5)解析:直线ykx1=0 恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线1才恒与椭圆有公共点.所以,1 且m0,得m1.故本题应选 C.m答案:Cy23.已知双曲线x1,过P(2,1)点作一直线交双曲线于A、B两点,并使P为AB3的中点,则直线AB的斜率为_.22解析:设A(x1,y1)、B(x2,y2),代入双曲线方程 3xy=1 相减得直线AB的斜率2kAB=y1 y23(x1 x2)=x1 x2y1 y2x1 x2322=6.y1 y212答案:624.AB为抛物线y=2px(p0)的
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