高等数学公式(定积分 微积分 三角函数 导函数 等等 应有尽有)值得搜藏.pdf

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1、.实用文档.高等数学公式根本积分表1kdx kx Ck 是常数x12x dx C,(u 1)113dx ln|x|Cxdx arl tan xC421 x5dx1 x2 arcsinxC6cos xdx sin x C7sin xdx cos xC1dx tan xCcos2x192dx cot xCsin x810sec xtan xdx sec xC11csc xcot xdx csc xC12exdx exCaxC，(a 0,且a 1)13a dx lnax14shxdx chx C15chxdx shx C11xdx arctanC22a xaa11xadx ln|C1722x a2a

2、xa1618191a2 x21a2 x2dx arcsinxCadx ln(xa2 x2)C.实用文档.20dxx2a2 ln|xx2a2|C21tan xdx ln|cos x|C22cot xdx ln|sin x|C23sec xdx ln|sec x tan x|C24csc xdx ln|csc xcot x|C注：注：1、从导数根本公式可得前 15 个积分公式，(16)-(24)式后几节证。2、以上公式把x换成u仍成立，u是以x为自变量的函数。3、复习三角函数公式：sin2xcos2x 1,tan2x1sec2x,sin 2x 2sin xcosx,cos2x sin2x 1cos

3、2x。21cos2x，2注注：由f(x)(x)dx f(x)d(x)，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记根本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑的技巧。小结小结：1 1 常用凑微分公式常用凑微分公式.实用文档.积分类型1.f(ax b)dx 2.f(x)x换元公式(a 0)u ax bu xu ln xu exu axu sin xu cos xu tan xu cot xu arctan x1af(ax b)d(ax b)11dx f(xx)d(x)(0)第一换元积分法4.f(e)e dx f(e)de15.f(a)a dx f

4、(a)dalna6.f(sin x)cos xdx f(sin x)d sin x7.f(cos x)sin xdx f(cos x)d cos x8.f(tan x)sec xdx f(tan x)d tan x9.f(cot x)csc xdx f(cot x)d cot x110.f(arctan x)dx f(arctan x)d(arctan x)1 xf(ln x)d(ln x)xxxxxxx22213.f(ln x)dx x11.f(arcsin x)11 x2dx f(arcsin x)d(arcsin x)u arcsin x.实用文档.导数公式：导数公式：(tgx)sec

5、x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna1(logax)xlna根本积分表：根本积分表：2(arcsin x)11 x21(arccosx)1 x21(arctgx)1 x21(arcctgx)1 x2tgxdx lncosx Cctgxdx lnsin x Csecxdx lnsecxtgx Ccscxdx lncscxctgx Cdx1xarctgCa2 x2aadx1xalnx2a22axaCdx1a xa2 x22alna xCdxx arcsinCa2 x2a2ndx2 sec2cos xxdx tgxCdx2 cscsin2x

6、xdx ctgxCsecxtgxdx secxCcscxctgxdx cscxCaxa dx lnaCxshxdx chxCchxdx shxCdxx2a2 ln(xx2a2)C2Insin xdx cosnxdx 00n1In2nx2a22x a dx x a ln(xx2a2)C22x2a2222x a dx x a ln xx2a2C22x2a2x222a x dx a x arcsinC22a22三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：2u1u2x2dusin x，cosx，u tg，dx 22221u1u1u一些初等函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限：.实用文档.ex

7、ex双曲正弦:shx 2exex双曲余弦:chx 2shxexex双曲正切:thx chxexexarshx ln(xx21）archx ln(xx21)11 xarthx ln21 x三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：诱导公式：函数角 A-90-90+180-180+270-270+360-360+sinlimsin x1x0 x1lim(1)x e 2.718281828459045.xxcostg-tgctgctg-ctgtg-ctgctgtg-ctgctg-sincoscoscossinsin-sin-ctg-tg-cos-tg-sin-costg-cos-sinctg-cossi

8、n-sincossincos-tgtg-ctg-tg和差角公式：和差角公式：和差化积公式：和差化积公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctgctg1ctg()ctgctgsinsin 2sin22sinsin 2cossin22coscos 2coscos22coscos 2sinsin22cos.实用文档.倍角公式：倍角公式：sin2 2sincoscos2 2cos2112sin2 cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2半角公式：半角公式：sin33sin4sin3cos3 4cos33cos3tgtg

9、3tg313tg2sintg2 1cos1coscos 2221cos1cossin1cos1cossinctg 1cossin1cos21cossin1cosabc 2R余弦定理：余弦定理：c2 a2b22abcosCsin Asin BsinC2正弦定理：正弦定理：反三角函数性质：反三角函数性质：arcsin x 2arccosxarctgx 2arcctgx高阶导数公式莱布尼兹高阶导数公式莱布尼兹LeibnizLeibniz公式：公式：(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk 1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!中值定

10、理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()曲率：曲率：当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。.实用文档.弧微分公式：ds 1 y2dx,其中y tg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：K lim.23s0sds(1 y)直线：K 0;1半径为a的圆：K.a定积分的近似计算：定积分的近似计算：b矩形法：f(x)abba(y0 y1 yn1)nba 1(y0 yn)y1 yn1n2ba(y0 yn)2(y2 y4 yn2)4(y1 y3 yn

11、1)3n梯形法：f(x)ab抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：功：W F s水压力：F p Am m引力：F k122,k为引力系数rb1函数的平均值：y f(x)dxbaa12均方根：f(t)dtbaa空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：b.实用文档.空间2点的距离：d M1M2(x2 x1)2(y2 y1)2(z2 z1)2向量在轴上的投影：Pr juAB AB cos,是AB与u轴的夹角。Pr ju(a1a2)Pr ja1Pr ja2ab a b cos axbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosic ab axbxjaybyax

12、bxaybyazbzaxayaz bxbybz222222kaz,c a b sin.例：线速度：v wr.bzaybycyazbz ab c cos,为锐角时，czax 向量的混合积：abc(ab)c bxcx代表平行六面体的体积。1、点法式：A(x x0)B(y y0)C(z z0)0，其中n A,B,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax ByCz D 0 xyz3、截距世方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0Cz0 DA2 B2C2平面的方程：x x0mtx x0y y0z z0空间直线的方程：t,其中s m,n,p;参数方程：y y0ntmnpz z

13、pt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2221abcx2y22、抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2221abcx2y2z2双叶双曲面：222（马鞍面）1abc多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用.实用文档.全微分：dz zzuuudxdydu dxdydzxyxyz全微分的近似计算：z dz fx(x,y)x fy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzz uz vz fu(t),v(t)dtu tv tzz uz vz fu(x,y),v(x,y)xu xv x当u u(x,y)，v v(x,y)时，du uuvvdxdydv dxdyxyxy隐函数

14、的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，2(x)(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0，xFzyFzFF(x,y,u,v)0(F,G)u隐函数方程组：J G(u,v)G(x,y,u,v)0uu1(F,G)v1(F,G)xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：FvFuGGuvFvGvx(t)x xy y0z z0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t)(t)(t0)00z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(x x0)(t0)(y y0)

15、(t0)(z z0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T,GGGxGxyzGzG(x,y,z)0曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)x x0y y0z z03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：方向导数与梯度：.FyGy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x x0)Fy(x0,y0,z0)(y y0)Fz(x0,y0,z0)(z z0)0.实用文档.fff函

16、数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ffi jxyf它与方向导数的关系是：grad f(x,y)e，其中e cosi sin j，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l函数z f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)CA 0,(x0,y0)为极大值2AC B 0时，A 0,(x0,y0)为极小值2则：值AC B 0时，无极

17、AC B2 0时,不确定重积分及其应用：重积分及其应用：f(x,y)dxdy f(rcos,rsin)rdrdDD曲面z f(x,y)的面积AD z z 1 dxdyxy22平面薄片的重心：x MxMx(x,y)dD(x,y)dDD,y MyMy(x,y)dD(x,y)dDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a 0)的引力：F Fx,Fy,Fz，其中：Fx fD(x,y)xd(x y a)2222，Fy f3D(x,y)yd(x y a)2222，Fz fa3D(x,y)xd(x y a)22

18、322柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标：.实用文档.x rcos柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz F(r,z)rdrddz,y rsin,z z其中：F(r,z)f(rcos,rsin,z)x rsincos2球面坐标：y rsinsin，dv rdrsinddr r sindrddz rcos2r(,)f(x,y,z)dxdydz F(r,)r2sindrdddd00F(r,)r02sindr重心：x 1Mxdv,y 1Mydv,z 1Mzdv，其中M x dv转动惯量：Ix(y2 z2)dv，Iy(x2 z2)dv，Iz(x2 y2)dv曲线积分：曲线积分：第一类曲线积分（对弧

19、长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(t),则：y(t)L x tf(x,y)ds f(t),(t)2(t)2(t)dt()特殊情况：y(t).实用文档.第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy P(t),(t)(t)Q(t),(t)(t)dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。QPQP格林公式：()dxdy PdxQdy格林公式：()dxdy PdxQdyxyxyDLDLQP1当P y,Q x，即：2时，得到D的面积：A

20、dxdy xdy ydxxy2LD平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：QP在时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)QP。注意奇点，如(0,0)，应xyu(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0 y0 0。曲面积分：曲面积分：22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx,y,z(x,y)1 z(x,y)z(x,y)dxdyxyDxy对坐标的曲面积分：，其中：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dz

21、dx R(x,y,z)dxdy号；R(x,y,z)dxdy Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正Dxy号；P(x,y,z)dydz Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正Dyz号。Q(x,y,z)dzdx Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdx Rdxdy(PcosQcos Rcos)ds高斯公式：高斯公式：.实用文档.(PQR)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy(PcosQcos Rcos)dsxyz高斯公式的物理意义 通量与散度：PQR散度：div,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div 0

22、,则为消失.xyz通量：Ands Ands(PcosQcos Rcos)ds，因此，高斯公式又可写 成：divAdv Ands斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(RQPRQP)dydz()dzdx()dxdy PdxQdy RdzyzzxxycosyQcoszRdydzdzdxdxdycos上式左端又可写成：xyzxPQRPRQPRQP空间曲线积分与路径无关的条件：，yzzxxyijk旋度：rotAxyzPQR向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdy Rdz Atds常数项级数：常数项级数：1qn等比数列：1qq q1q(n1)n等差数列：123n

23、2111调和级数：1是发散的23n2n1级数审敛法：级数审敛法：.实用文档.1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un 0)的审敛法 莱布尼兹定理：unun1如果交错级数满足s u1,其余项rn的绝对值rnun1。limu 0，那么级数收敛且其和nn绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u

24、1 u2 u3 un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1级数：n2收敛；时发散1p级数：npp 1时收敛幂级数：幂级数：.实用文档.1x 1时，收敛于1 x1 x x2 x3 xnx 1时，发散对于级数(3)a0a1x a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。x R时不定1 0时，R 求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则 0时，R nan 时，R 0函数展开成幂级数

25、：函数展开成幂级数：f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(x x0)(x x0)(x x0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(x x0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn 0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx0 0时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xx x 2!n!一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：m(m1)2m(m1)(mn1)nx x(1 x 1)2!n!2n1x3x5xsinx x(1)n1(x )3!5!(2n1)!(1 x)m1mx欧拉公式：欧拉公式：eixeixcosx 2eix cosxisinx或i

26、xixsin x e e2三角级数：三角级数：a0f(t)A0Ansin(nt n)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0 aA0，an Ansinn，bn Ancosn，t x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在,上的积分0。傅立叶级数：傅立叶级数：.实用文档.a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期 22n11(n 0,1,2)anf(x)cosnxdx其中b 1f(x)sinnxdx(n 1,2,3)n112122835111222224246正弦级数：an 0，bn余弦级数：bn 0，an11121

27、222（相加）623411121222（相减）12234f(x)sinnxdxn 1,2,3f(x)b02nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdxn 0,1,2f(x)a0ancosnx是偶函数2周期为周期为2l的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数：.实用文档.a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期 2l2n1lll1nxdx(n 0,1,2)anf(x)coslll其中lb 1f(x)sinnxdx(n 1,2,3)nlll微分方程的相关概念：微分方程的相关概念：一阶微分方程：y f(x,y)或P(x,y)dxQ(x,y)dy 0可分离变量的微分方程：一阶微分方程

28、可以化为g(y)dy f(x)dx的形式，解法：g(y)dy f(x)dx得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyy f(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则u x，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：一阶线性微分方程：dy1、一阶线性微分方程：P(x)y Q(x)dx P(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，y Ce当Q(x)0时，为非齐次方程，y (Q(x)edy2、贝努力方程：P(x)y Q(x)yn，(n 0,1)dx全微分方程：全微分方程：P(x)dx

29、dxC)e P(x)dx如果P(x,y)dxQ(x,y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy 0，其中：P(x,y)，Q(x,y)xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：二阶微分方程：f(x)0时为齐次d2ydy P(x)Q(x)y f(x)，dxdx2f(x)0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y pyqy 0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2 pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r2.实用文档.3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式两个不相等实根(p24q 0)两个相等实根(p24q 0)一对共轭复根(p24q 0)(*)式的通解y c1er1xc2er2xy (c1c2x)er1xy ex(c1cosxc2sinx)r1i，r2i4q p2p，22二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程y pyqy f(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)exPl(x)cosx Pn(x)sinx型.