高中数学一轮复习基础知识手册第九编：三角函数.pdf

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1、第九编第九编三角函数三角函数1.基本初等函数（1）任意角、弧度制了解任意角的概念和弧度制的概念。能进行弧度与角度的互化。（2）三角函数理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能2画出：y sin x，y cosx，y tan x的图象，了解三角函数的周期性。理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x能利用单位圆中的三角函数线推导出轴的交点等），理解正切函数在区间理解同角三角函数的基本关系式：,内的单调。2 2sin2xcos2x 1，sin x tan xx k,k Z。cosx2了解函数y Asinx的物理意义；能画出

2、函数y Asinx的图象，了解参数A，对函数图象变化影响。会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。2三角恒等变换（1）两角和与差的三角函数公式会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式。会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。（2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。3解三角形（1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）应用能够运

3、用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。第一讲第一讲任意角的三角函数任意角的三角函数知识能力解读知能解读（一）角的概念的推广和弧度制1 角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。旋转开始时的射线叫做角的始边；旋转终止时的射线叫做角的终边；射线的端点叫做角的顶点。掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边。角可以是任意大小的。2 角的分类正角、零角、负角。角的旋转方向是角分类的标准。3 在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或说这个角属于第几象限）。这里强

4、调以“角的顶点为原点，角的始边为x轴的非负半轴”为前提，否则就不能从终边的位置来判断某角属于第几象限。（2）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角（轴线角）。4 终边相同的角与角终边相同的角，连同角在内的集合：k360,kZ。是任意角；这里应明确：（1）（2）（3）“”。k360k从是整数；k360与之间是应看成k36030kZ；（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同（5）终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍；（6）终边与角的终边共线的角满足 k180,kZ，终边与角 90k180,kZ。的终边垂直的角满足5 正确理解角（1）小于90的角不都是锐

5、角，它还包括零角和负角，只有小于90的正角才是锐角。（2）要正确理解“090间的角”“第一象限的角”“锐角”和“小于90的角”，这里应明确：“090间的角”指的是0 90，后面三种角的集合可分别表示为k360 k36090,kZ，090，90。6 弧度制（1）规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。任一已知角的弧度数的绝对值l，其中l为以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。r（2）这种用“弧度”作单位来度量角的单位制叫做弧度制。（3）比值l与所取的圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。r7 弧度与角度的换算（l）360 rad，180 rad，1 rad 0.01

6、745rad180，180 1rad 57.30 5718。（2）以“弧度”为单位表示角的大小时弧度”可以省略不写，但以“度”为单位表示角时，“度”就不能省去。k360或60 2kkZ等写法是不允6许的，尤其是当角用字母 表示时更要注意，如果 角是在弧度制下，就不 能写成k360kZ等。（3）角度制与弧度制中的单位不能混用。如8 弧长公式、扇形面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，0形面积公式如下：度量单类位别扇形的弧长 2或n为其圆心角的大小，则弧长公式及扇角度制弧度制l nr180l r扇形的面积知能解读（二）任意角的三角函数1 任意角的三角函数定义nr2S 36011S l r222设是一

7、个任意大小的角。角的终边上任意一点 P 的坐标是x,y，它与原点的距离是rr 0，那么角的正弦、余弦、正切分别是sinyxy，cos，tan。rrx正弦、余弦、正切分别可看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这三个函数统称为角的三角函数。这里，应明确：（1）yxy，的大小与点P在角的终边上的rrx位置无关，只与角的大小有关。（2）sin不是sin与的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，实质就是“fx”。其他两个三角函数也一样。（3）任意角的三角函数是采用坐标方法定义的。（4）如图，O为单位圆，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示

8、：sin MP，cosOM，tan AT。yPT-1OM Ax（5）利用单位圆中的三角函数线及三角形三边的关系可推得对任意角，有sin cos1，sin cos1。当是第一象限的角时，有sincos1，1sincos1；当是第二象限的角时，有sincos1，1sincos1；当是第三象限的角时，有sincos 1，1sincos1；当是第四象限的角时，有sincos1，1sincos1；k当,kZ时，有sin1或cos1。22 三角函数的定义域三角函数定义域y=sinxy=cosxy=tanxR RR Rx x k,k Z Z2注意确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键

9、。当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的横、纵坐标中才有一个为0。3 三角函数值的符号各三角函数值在每个象限的符号如图所示（各象限注明的函数符号为正，其余为负）。ysin+Otan+cos+全+x4 三角函数线设角的终边与单位圆交于点P。过点P作x轴的垂线，垂足为M。过点A1,0作单位圆的切线，设它与的终边（当为第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于点T。（如图）的终边 yPTOA(1,0)Mx 的终边PM OA(1,0)xT yTMOP 的终边A(1,0)xOMA(1,0)xPT 的终边 y y我们把与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切

10、线，统称为三角函数线。说明当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为 0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的正切值不存在。5 几个常用的特殊角的三角函数值函数值正弦余弦正切角00106432122232132221203313不存在知能解读（三）同角三角函数的基本关系式及诱导公式1 同角三角函数的基本关系式（1）关系式商数关系：tan2sin k,k Zcos22平方关系：sincos1（2）这些关系式都是恒等式，都是对于使它们有意义的那些角而言的，以后所说的恒等式都是指这个意义下的恒等式。（3）sin是sin 的简写，读作“

11、sin 的平方”，不能将sin写成sin，前者是2222的正弦的平方，后者是的平方的正弦，两者是截然不同的。（4）这里应充分理解“同角”两字，“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对于“任意 一 个 角”，关 系 式 都 成 立。如sin24cos241，sin24cos241，而sin2cos21就不一定成立。（5）同角三角函数的两个关系式，告诉我们可“知一求二”。学生要牢固掌握，并能灵活运用每一个关系式，此外，还要灵活写出公式的某些变形。如可把sincos1变形为22cos21sin2，sin 1cos2；l 可用sin2cos2来替代等。（6）已知sincos的求值问题：一般利用三角恒

12、等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：sincos12sincos；sincos12sincos；sincossincos 2；sincossincos4sincos。上述三角恒等式告诉我们，已知sincos，sincos，sincos中的任何一个，另两个式子的值均可求出。（7）同角三角函数的基本关系式主要用于：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；化简三角函数式；证明三角恒等式；解三角方程。（8）证明三角恒等式常用以下方法：从一边证得它等于另一边，遵循由繁到简的原则；证明左右两边都等于同一个式子；用分析法；用化弦法等。2 诱导公式（1）常用的有以下九组：公式一：222

13、222sin2ksinkZ，cos2k coskZ，tan2k tankZ。公式二：sin sin，cos cos，tan tan。公式三：sin sin，cos cos，tan tan。公式四：sinsin，cos cos，tan tan。公式五：sin2 sin，cos2 cos，tan2 tan。公式六：sin cos，cos sin。22 cos，cos sin。2233 cos，cos sin。公式八：sin2233 cos，cos sin。公式九：sin22（2）诱导公式可概括为：k,kZ的各三角函数值，当k为偶数时，得角的同名2函数值；当k为奇数时，得角相应的余名函数值，然后前面

14、加上把看成锐角时原函数公式七：sin值的符号。记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”。（3）诱导公式的主要作用就是求任意角的三角函数值，一般可按下面步骤进行。任意负角的三角函数用公式三 任意正角的三角形函数用公式一 0 360角的三角函数用公式二、四、五 六、七、八、九0 90角的三角函数查表 求值3 已知三角函数值求角（1）已知角的一个三角函数值求角，应注意所得的解不是唯一的，而是有无数多个。（2）解法步骤：确定角所在的象限；如果函数值为正先求出对应的锐角1，如果函数值为负先求出与其绝对值对应的锐角1；根据角所在的象限，得出02的角如果适合已知条件的角在第二象限则它是1，如果在第三或第四象限则

15、它是1或21；如果要求适合条件的所有角，利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。（3）如果求得的角是特殊角，最好用弧度制来表示。4 关于正、余弦函数的值域y2x2由定义中x y r可知，x r，y r，即21，21，因此cos1，rrsin1。也可由sin2cos21推得。2222222解题方法荟萃.数学思想方法思想方法（一）数形结合思想思想方法（二）所在象限的确定方法n思想方法（三）分类讨论思想思想方法（四）转化与化归思想思想方法（五）方程思想思想方法（六）三角函数线的应用策略思想方法（七）定义法.解题规律技巧规律技巧（一）角的集合之间关系的判断规律技巧（二）象限角及三角函数的符

16、号规律技巧（三）求区域内角的集合的方法规律技巧（四）扇形弧长及面积公式的应用规律技巧（五）三角函数式的化简与求值规律技巧（六）利用诱导公式求值.易混易错辨析易混易错用集合表示角高考命题研究从近几年高考试题来看，本节主要考查以下两个方面的内容：（1）以选择题或填空题的形式考查任意角的三角函数的定义、三角函数值在各象限的符号、终边相同的角及象限角等。（2）考查三角函数的基本关系式、诱导公式在三角函数求值和三角恒等变换中的应用。高考热点（一）扇形弧长公式和面积公式的应用在有关扇形的问题中，圆心角、半径、弧长、面积这些量，只要知道其中两个便可求出其他的量，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单又便于

17、计算，在使用时，要注意角必须用弧度制表示.多以选择题、填空题的形式出现，也可能作为解答题中的一问出现。高考热点（二）同角三角函数基本关系式的应用1 化简化简三角函数式的要求：函数种类最少；项数最少；函数次数最低；能求值的求出值；尽量使分母不含三角函数；尽量使分母不含根式。化简三角函数式的方法：正用、逆用、变形应用相关公式；切化弦；因式分解；通分。所以，三种语言的熟练转化是数学知识掌握较好的标志，是思维灵活、敏捷的重要表现，是左右脑协同作用的结果；相反，解题受阻则常因为语言拘泥于某种形式而不善转化。数学中，从口头语言的训练到文字的逻辑表达，做到条理井然、层次分明、用语准确、书写规范，十分重要。2

18、 证明三角恒等式的证明方法：（1）从等式的一边开始证得它的另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；（2）综合法，由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想，即“a b等价于c d，所以a b成立的充要条件是c d成立”；（3）证明等式左、右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a c，b c，则它可由相等关系的传递性及对称性推出；（4）分析法；（5）比较法：即证“左边右边=0 或左边1”。右边3 求值利用三角恒等式计算主要包括以下两类：（1）已知sin x，cos x，tanx中的一个，求另外两个；（2）

19、已知sin xcosx，sin xcosx，sin xcosx中的一个，求另外两个，统称为“知一求二”。高考热点（三）诱导公式的应用诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，所以它在有关三角函数的化简、证明、求值方面有着重要的应用。附录常用公式定理常用公式（1）一些特殊角的集合表示与终边相同的角的集合：2k,kZ，终边在第 一、三，二、四象限的 平分线 上的角 的集合：k,kZ，4 k,kZ；4终边在坐标轴上的角的集合：k,kZ；2终边在四个象限的平分线上的角的集合：（2）弧长公式k,kZ；24l R，R为圆弧所在圆的半径，为圆弧所对圆心角的弧度数，l为弧长。（3）扇形的面积公

20、式1S lR，R为圆的半径，l为弧长。2（4）同角三角函数的关系式sin k,kZ；cos222平方关系：sincos1。商数关系：tan（5）诱导公式xsinx函数cosxtanx2sincoscos sincos322nsincossincossin1sinntan1tantan1tantantan1ncos第二讲第二讲三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质知识能力解读知能解读（一）三角函数的图象1 作三角函数图象的方法作三角函数图象的方法一般有两种：（1）代数法；（2）几何法。在作正弦曲线和余弦曲线时有五个点在确定图象形状时起着关键的作用，只要将这五个点描出，图象的形状就基本确定了。对

21、正弦函数来说，五个关键点分别是0,0，,1，,0，233,1,0，；对余弦函数来说，五个关键点分别是，2,00,1,1,0，222“关键”点分别是图象的最低点、最高点和与x轴的交点。在精确度要求不太咼时，2,1。我们常常先描出这五点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内的正弦函数、余弦函数的简图。这种方法我们称之为“五点法”作图。对函数；y Asinx，y AcosxA 0,0的图象，均可由y sin x，y cosx的图象经过平移变换和周期变换而得到。2 三角函数图象的几种常见变换 y AfxA 0；（1）振幅变换：y fx纵坐标缩短为原来的A0A1纵坐标扩大为原来的AA1倍（2

22、）周期变换：y fx y f1横坐标缩短为原来的横坐标扩大为原来的101倍1x 0；（3）相位变换：y fx y fx；向右平移0个单位长度向左平移 0 个单位长度（4）平移变换：y fx y fxk；向下平移kk0个单位长度向上平移k k0 个单位长度（5）对称变换：图象关于x轴对称y fx y fx，图象关于y轴对称y fx y fx3 图象的对称性（1）y sin x，y cosx的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称）。过正、余弦函数图象的最值点且与x轴垂直的直线都是函数图象的对称轴，因此正弦函数图象的对称轴为直线x k,kZ，余弦函数图象的对称轴为直线

23、x k,k Z。正、余2弦函数图象与x轴的每一个交点都是对称中心，因此正弦函数图象的对称中心为点k,0k,0,kZ，余弦函数图象的对称中心为点,kZ。在学习时，要注意理解2和记忆，防止混淆。（2）y tan x的图象是中心对称图形，它有无穷多条垂直于x轴的渐近线。正切函数图象与x轴的每一个交点都是对称中心，并且渐近线与x轴的交点也是对称中心，因此正切函数图象的对称中心为点知能解读（二）周期函数的定义（1）一般地，对于函数y fx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，fxT fx都成立，那么就把函数y fx叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。在这里应特别注意：

24、fxT fx应对定义域内的每一个值都成立；T是非零常数，周期T是使函数重复出现的自变量x的增加值；周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kTkZ,k 0一定也是周期。（2）如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。根据定义中“如果”这个一个周期函数所有的周期中，并不一定存在着一个最小的正数，即并不是任何周期函数都有最小正周期。例如：常数函数fxC（C为常数），xR，当 k,0,k Z。2x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数fx定义域中的每一个值x，都有fxT fx，因此fx是周期函数。由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，所以fx没有

25、最小正周期。（3）在周期函数y fxxR中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则xkTkZ,k 0也一定属于定义域。（4）周期函数的定义域不一定是实数集R，如正切函数y tanx是周期函数，但其定义域为x x k,kZ,且xR。2（5）今后说三角函数的周期时，一般指的是三角函数的最小正周期。（6）函数；y Asinx或y Acosx（其中为A，常数，且A 0，0，xR）的周期是T 2；函数y Atanx（其中A，为常数，且A 0，0，x k，kZ）的周期是T；函数y sinx和2y cosxxR的周期都是。（7）已知fxa fxa 0，由定义可证得fx为周期函数，2a是它的一个周期；若fxa1

26、，则fx也为周期函数，2a是它的一个周期。fx2 正弦函数y sin x和余弦函数y cosx的性质（1）定义域函数y sin x及y cosx的定义域都是,。（2）值域函数y sin x，xR及y cosx，xR的值域都是1,1；函数y sin x在x 2k,kZ时取最大值y 1，在x 2k,kZ时取最小值22y 1；函数y cosx在x 2k,k Z时取最大值y 1，在x 2k 1,kZ时取最小值y 1。（3）周期性正 弦 函 数y sin x，xR和 余 弦 函 数y cosx，xR都 是 周 期 函 数，2kkZ,且k 0是它们的周期，最小正周期都是2。（4）奇偶性正弦函数y sin

27、x，xR是奇函数，正弦曲线关于原点对称；正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为k,0,kZ；正弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程是x k,kZ。2余弦函数y cosx，xR是偶函数，余弦曲线关于y轴对称；余弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为k,0,kZ；余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方2程是x k,k Z。正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值。（5）单调性,2kk Z上，都是从1增大到 1，是223增函数；在每一个闭区间2k,2kk Z上，都是从1 减小到1，是减函数。22正弦函数y sin

28、x在每一个闭区间2k余弦函数y cosx在每一个闭区间2k 1,2kkZ上，都是从1增大到 1，是增函数；在每一个闭区间2k,2k 1kZ上，都是从 1 减小到1，是减函数。3 正切函数y tan x的性质（1）定义域函数y tan x的定义域是x x k,kZ且xR。2（2）值域函数y tan x的值域为 R，没有最大值、最小值。（3）周期性函数y tan x是周期函数，最小正周期是。奇偶性函数y tan x是奇函数，其图象关于原点对称；正切曲线是中心对称图形，正切曲线的对称中心坐标是（5）单调性函数y tan x在每一个开区间 k,0,k Z。2k,k,k Z内是增函数。22说明.“正切函

29、数在整个定义域内是增函数”这句话是错误的。同学们要能够通过函数图象掌握函数的性质。知能解读（三）函数y AsinxA 0的性质根据y AsinxA 0的图象，我们可以得到y AsinxA 0的性质：（1）定义域：R（2）值域：A,A。2kkZ时，y取最大值A；k Z，即x 222k当x 2kkZ，即x kZ时，y取最小值A。222（3）最小正周期：T。当x 2k（4）单 调 性：y Asinx 0,A 0的 单 调 递 增 区 间 由x 2kkZ求得2232kx 2kkZ求得。222k，单调递减区间由提示当 0时，可以先转化为 0时的情况再求单调区间。,kZ时，函数y Asinx是偶函数；2当

30、 k,kZ时，函数y Asinx是奇函数；（5）奇偶性：当 k当 k,k,kZ时，函数y Asinx是非奇非偶函数2求得，即2（6）对称性：y Asinx的图象的对称轴方程由x kx kkkZ；由x k，即x kZ，得图象的对称中心为2 k,0k Z。知能解读（四）函数y Asinx的物理意义点y Asinx，x0,，其中A 0，0。物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T 2，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f 1给出，它是

31、做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；T2x称为相位；x 0时的相位称为初相。解题方法荟萃.数学思想方法思想方法（一）数形结合思想思想方法（二）分类讨论思想思想方法（三）转化与化归思想思想方法（四）函数与方程思想思想方法（五）变换法求解析式思想方法（六）配方法思想方法（七）换元法对于一些求三角函数的值域或最值问题，可根据其结构特点或相互关系，利用换元的方法求解。.解题规律技巧规律技巧（一）利用五点法画正弦函数图象“五点法”作三角函数图象的实质是找到函数图象的最高点、最低点及三个平衡点，这五个点大致确定了函数图象的位置与形状。规律技巧（二）函数图象的应用1 利用函数图象解不等式2 利用函数

32、图象判断方程根的个数或求参数的取值范围3 利用函数图象求不规则图形的面积.易混易错辨析易混易错（一）五点法作图3,2的错误，例如，作函数223y sin2x的图象时，正确的做法是令 2x，再令 0,2，求出4422相应的x值及函数值y。易混易错（二）由函数y sinx的图象得y sinx的图象在用五点法作正弦型函数的图象时，容易出现令x 0,易混易错（三）忽视复合函数的单调性致误易混易错（四）忽视sinx的隐含范围而致误高考命题研究从内容上看，高考对该部分知识的考查主要有以下两方面：（1）对三角函数图象这一部分的考查以选择题、填空题为主，利用数形结合思想来考查图象的用法。这些题大多可利用通法解

33、决，难度不大，重视对双基的考查，淡化了特殊技巧，有时题目立意新颖、综合性较强，具有一定的开放性。（2）对三角函数的性质的考查，其中定义域、值域、周期性、最值等是重点，考题多为中等难度的题目，这类题目往往概念性强，具有一定的综合性和灵活性，难度较大。高考热点（一）三角函数的定义域和值域1 三角函数的定义域在确定三角函数的定义域时，应注意以下几点：（1）正、余弦函数的定义域是R，正切函数的定义域是x x k,kZ。2（2）若函数为分式函数，则分母不能为零。（3）若函数尉禺次根式，则被开方数非负。（4）若函数是形如y logafxa 0且a 1的函数，则定义域由fx 0确定。（5）若函数是由多个函数

34、通过四则运算构成的，则函数的定义域是各部分定义域的交集。2 三角函数的值域三角函数求值域的几个典型函数类型：（1）一次型：y asin xb。（2）二次型：可化为“y asin xbsin xc”型。（3）“y Asinxk”型。高考热点（二）三角函数的周期利用三角函数的周期公式可确定周期大小，但要注意将所给三角函数式化为一个角的三角函数形式。有时也结合图象性质来确定周期。1 公式法函数fx Asinx的最小正周期T 周期T 22，函数fx Atanx的最小正。2 图象法3 几个三角函数叠加后的函数的周期几个正弦函数、余弦函数代数和型函数的最小正周期，等于每个函数的最小正周期的分子的“最小公倍

35、数”除以分母的“最大公约数”。高考热点（三）三角函数图象的对称性函数fxsinx图象的对称轴，对称中心分别为直线x k，点k,0；函数2fxcosx图象的对称轴，对称中心分别为直线x k，点k,0；函数2 kfx tanx图象的对称中心为点,0，其中k Z。21 已知函数解析式求图象的对称轴和对称中心2 已知对称轴或对称中心，求参数的取值高考热点（四）函数的单调性函数y AsinxA 0,0的单调区间的确定，基本思想是把x看做一个x 2kkZ解出x的范围，所得区间即为增区间，由2232kx 2kkZ解出x的范围，所得区间即为减区间。22特别注意，若x的系数为负，即 0，则应先把系数变为正的，然

36、后再用复合函数的单调整体，由2k性求解。对于函数y Acosx，y Atanx的单调性的讨论方法同上。1 求三角函数的单调区间2 已知函数的单调区间求参数的取值或范围高考热点（五）数形结合在三角函数相关问题中的应用对于一些数学问题，其相互关系可以用图形来描述或表示，并能通过这种描述或表示来解决数学问题，这种利用数形结合来解决数学问题的方法，即数形结合法。下面举例说明数形结合法在有关三角函数问题中的应用。1 利用图象求解析式2 利用图象解不等式3 求三角函数的单调区间4 方程根（解）的问题5 比较大小高考热点（六）三角函数的图象变换问题1 图象的平移变换2 图象的周期变换3 图象的振幅变换附录常

37、用公式定理1 常用图形（1）三角函数线（如图）yPOTPxM OA1T yTMOPA1OM A1P T yx yAM 1xxsin MP，cosOM，tan AT。（2）三角函数的图象（如图）y12 y=sinx32x2-1O2 y1O-12322x y=cosx y322O232x y=tanx2 常用性质函数名称解析式定义域值域奇偶性周期性正弦函数余弦函数正切函数y=sinxy=cosxy=tanxRRx xR且x k,kZ2R奇函数1,1奇函数1,1偶函数T 2增区间T 2增区间T 单调性2k,2kk Z22减区间2k,2kkZ减区间增区间32k,2kk Z2k,2kkZ22k,kk Z

38、22当x 2k最值kZ时，当2x 2kkZ当无最大值、无最小值ymax1；时，ymax1；当x 2kkZ时，2ymin 1。对称轴为直线对称轴为直线x 2kkZ时，ymin 1。对称轴为直线对称轴为直线x k,kZ；对称中心为点对x k,kZ；对称中心称2性为点k,0，kZ。对称中心为点k,0，kZ。2 k,0，2k Z；无对称轴3 常用公式（1）正弦函数y Asinx和余弦函数y Acosx的最小正周期T（2）正切函数y Atanx的最小正周期T 2。第三讲第三讲三角恒等变换三角恒等变换知识能力解读知能解读（一）两角和与差三角函数1.两角和与差的三角函数公式：sin sincoscossin

39、S，tan tantanT。1tantancos coscossinsinC，2.公式S，C具有一般性，即,可为任意角。公式T也真有一般性，但应明，k，k，k Z时成立，否则不成222立。当tan，tan或tan不存在时，不能用此公式，而只能改用诱导公式或其他确：公式T在 k方法。3.注意公式的逆用或变形应用：例如：1 tan1tan tan，tan，1tan41 tan4tantan tan1tantan，tantan tan1tantan。知能解读（二）倍角、半角的三角函数1 二倍角公式sin2 2sincosS2；cos2cos2sin2 2cos2112sin2C2；2tantan2T

40、2。1tan2提示（1）倍角公式是和角公式的特例，是和角公式的拓展和延伸。（2）“二倍”角是相对的，如是的 2 倍，4是2的 2 倍等。也就是说“倍”是相对21k且 kkZ。242而言，是描述两个变量间关系的。（3）公式S2，C2中R，公式T2中（4）倍角的余弦公式有三种形式，同时还要掌握它们的变形形式，即降幂公式：cos21cos21cos22，sin。222 半角公式sin2 1cos2S；2cosC；221cossin1costan T。21cos1cossin2 1cos2半角的正弦、余弦、正切公式都可以用单角的余弦来表示。S，C，T是二倍角余弦公222式的推论，要特别注意公式中根号前

41、的正负号的选取，它由等号左边所在象限的三角函2数的符号确定，如果没有给限定符号的条件，根号前应保持正负两个符号。在已知sin，cos的前提下，解有关tan2的化简、求值、证明问题时用T有理式比较2方便，尤其选用分母为“单项式”的公式更为方便，这里应特别注意公式T的推导过程，2有助于我们掌握一些变换方法，深刻理解公式。关于半角正切公式的两个有理表达式的记忆，由于形式相近，又是分式形式，所以极易混淆。3 辅助角公式asin xbcosx a2b2sinx（其中sinba b22，cosaa b22），此公式在研究函数y Asinx的有关问题时发挥着重要作用。知能解读（三）三角变换三角变换是三角函数

42、运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法和技巧。常用的方法技巧如下：1 角的变换在三角函数的化简、求值、证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可娜角与角之间的和、差、倍、半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的联系，使问题获解。要熟悉几种角的变形，如：15 30 6045 30，22，等。24444，2 函数名称变换三角变换中，常常需要变函数名称。如在三角函数中正、余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。3 常数代换在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：1 si

43、ncos，1 sin90 tan45,。4 把幂的变换降幂是三角变换时的常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用221cos21cos2222，cos和sincos1。降幂并22非绝对，有时需要升幂，如对无理式1cos常升幂将其化为有理式。的降幂公式有：sin25 公式变形三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cossin22sin，tantan tan1tantan，2tan tan21tan2等。6 结构变化在三角变换中，常常对条件、结论的结构实行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等。在形式上有时需进行和差与积的互化、分解因式、配

44、方等。7 消元法如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法。8 思路变化对一道题，思路不同，解决方法也随之不同，通过分析、比较，选用思路简捷的方法。解题方法荟萃.数学思想方法思想方法（一）转化思想思想方法（二）分类讨论思想思想方法（三）拼凑法思想方法（四）分离常数法思想方法（五）配方法（利用二次函数求最值）思想方法（六）基本不等式法思想方法（七）换元法.解题规律技巧规律技巧（一）利用和角公式、差角公式化简求值规律技巧（二）利用角的变化求值规律技巧（三）利用倍角公式、半角公式化简求值.易混易错辨析易混易错（一）忽视角的范围导致符号错误易混易错（二）忽视检验从而产生增根高考命题研究1.

45、两角和与差的三角函数是三角函数的重要组成部分，高考试题中以考查学生利用这些公式进行恒等变形、逻辑推理及运算能力为主。题型有选择题、填空题，以容易题为主。2.在高考中，对二倍角公式考查次数相对较多，既有中等难度的解答题，也有相对较容易的选择题、填空题。重点突出考查学生利用这些公式进行恒等变形以及结合其他公式进行运算的能力。3.近几年高考试题中，很少有单一考查三角恒等变换内容的题目，大多是与三角函数的图象及性质、向量、正弦定理等知识结合的题目，主要考查三角函数的化简、求值和恒等证明。高考热点（一）三角函数的求值1 三角函数的求值问题一般有四种类型（1）直接利用和角、差角公式求值。（2）给角求值，即

46、在不查表的前提下，求三角函数式的值。（3）给值求值，即给出一些三角函数值，而求与这些三角函数值有某种联系的三角函数式的值。（4）给值求角，即给出三角函数值，求相应的角。2 解题思路与方法（1）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角之间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各公式的正用、逆用、变形应用。（2）要掌握求值问题的一些常规技巧，如：切化弦，异角化同角。（3）要熟悉角的拆拼，变换技巧，倍角与半角的相对性，如：2，2是的半角，是的3324倍角。（4）三角函数变换的基本规律为：观察差异（角、函数名等），寻找联系（借助熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因）

47、，实现转化。1.用和角、差角公式求值2.给值求角3.给角求值4.给值求值高考热点（二）三角函数的化简与恒等证明1 三角函数式的化简要求通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件进行的恒等变形），使最后所得的结果中：（1）所含函数和角的名称或种类最少；（2）各项的次数尽可能低；（3）出现的项数最少；（4）一般使分母和根号下不含三角函数式；（5）能求具体数值的要求出值。常用的方法是：异名函数化为同名函数，异角化，异次化为同次，切化弦等。2 三角恒等式的证明要求利用已知三角函数公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角函数公式），论证所给等式左、右两边相等。要求过程清晰，步骤完整。证明三角函数恒等式的

48、基本思路是根据等式两端的特征通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法使等式两端的“异”化为“同条件等式的证明，注意认真观察，发现已知条件和求证等式之间的关系，选择适当的途径运用条件，从已知条件出发，以求证式为目标进行代换或三角恒等变形，逐步推出求证式，证明方法主要是条件代入法和条件转化法。无条件等式的证明，要认真分析等式的两边三角函数式的特点，角度和函数的关系，找出差异，寻找证明的突破口。1.三角函数式的化简2.证明三角恒等式高考热点（三）三角函数的最值三角函数的最值是对三角函数的概念、图象和性质以及对诱导公式，同角三角函数间的基本关系，两角和差、倍、半角三角函数公式的综合考查

49、，也是三角函数考查的热点。解三角函数最值问题的基本方法，一是先通过三角恒等变换转化为只含一个角的一种三角函数的式子，应用正、余弦函数的有界性来求；二是通过变换转化为代数函数，再选用配方法、不等式法、判别式法、单调性法、数形结合法等求解。高考热点（四）三角函数与向量的综合应用在利用向量法证明C时，我们已体会到向量的作用。其实，向量是一种十分重要的工具，它与许多知识都能结合，在三角变换中也常设计以向量为背景研究三角函数的化简、求值、变换等问题。这是近几年高考出题的重要趋势。附录常用公式定理常用公式（1）两角和差公式sinsincoscossin；cos coscossinsin；tan tanta

50、n。1tantan（2）倍角公式sin2 2sincos；cos2 cos2sin2 2cos2112sin2；2tan。tan21tan2（3）半角公式sincos2 1cos；21cos；22tan1cos；21cos1cossin。tan2sin1cos（4）降幂公式sin21cos21cos22；cos。22第四讲第四讲解三角形解三角形知识能力解读知能解读（一）正弦定理及其应用1 正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即为ABC外接圆的半径）。2 正弦定理常见变形（1）abc 2R（Rsin Asin BsinCasin Absin BcsinC，；bsinBcsi