(完整版)三角形“四心”定义与性质.pdf

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1、(完整版)三角形“四心”定义与性质三角形“四心三角形“四心 定义与性质定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。一、三角形的外心定定义：义：三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。性性质质:1.外心到三顶点等距，即OAOB OC。2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即OD BC,OE AC,OF AB.111BOC,B AOC,C AOB。222二、三角形的内心3.A 定定义：义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示

2、，它具有如下性质：性性质：质：1。内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。12。三角形的面积三角形的周长内切圆的半径23.AE AF,BF BD,CD CE；AE BF CD 三角形的周长的一半。1114.BIC 90A,CIA 90B，AIB 90C。222三、三角形的垂心定定义：义：三角形三条高的交点叫重心.ABC的重心一般用字母H表示。性性质：质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AH BC,BH AC,CH AB.2.ABH的垂心为C，BHC的垂心为A，ACH的垂心为B。四、三角形的“重心：1(完整版)三角形“四心”定义与性质定定义：义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心

3、一般用字母G表示。性性质：质：1.顶点与重心G的连线必平分对边。2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.即GA 2GD,GB 2GE,GC 2GF3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值即xGxA xB xCy yB yC.,yGA334.向量性质：（1）GAGB GC 0；11（2)PG(PA PB PC),5.SBGC SCGA SAGBSABC.33五、三角形“四心”的向量形式:结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOB OBOC OCOA,则点O为ABC的垂心.结论2：若点O为ABC 所在的平面内一点，满足OA BC OB CA OC AB，则点O为ABC的垂心。结论3：若点G满足GAGB GC 0，则点G为ABC的重心。2222221结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足OG(OAOBOC)，3则点G为ABC的重心。结论5：若点I为ABC所在的平面内一点,并且满足aIAbIB cIC 0（其中a,b,c为三角形的三边）,则点I为ABC 的内心.结论6：若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OAOB)BA(OBOC)CB (OCOA)AC，则点O为ABC的外心。结论 7：设0,，则向量AP(AB|AB|AC|AC)，则动点P的轨迹过ABC的内心.2