小学数学典型应用题类型.pdf

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1、 小学数学典型应用题类型 2 小学数学典型应用题 1 归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。【数量关系】总量份数1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数 【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？解（1）买 1 支铅笔多少钱？0.650.12（元）（2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12161.92（元）列成综合算式 0.65160.12161.92（元）答：需要 1.92 元。2

2、 归总问题 【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1 份数量份数总量 总量1 份数量份数 总量另一份数另一每份数量 【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？解 （1）这批布总共有多少米？3.27912531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.22.8904（套）列成综合算式 3.279

3、12.8904（套）答：现在可以做 904 套。3 和差问题 【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数（和差）2 小数（和差）2 【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？解 甲班人数（986）252（人）3 4 5 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5

4、岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？解 3557（倍）（35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。11 行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】（顺水速度逆水速度）2船速 （顺水速度逆水速度）2水速 顺水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2顺水速顺水速水速2 【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 一只船顺水行 32

5、0 千米需用 8 小时，水流速度为每小时 15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解 由条件知，顺水速船速水速3208，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时 32081525（千米）船的逆水速为 251510（千米）船逆水行这段路程的时间为 3201032（小时）答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。12 列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速 火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量

6、关系的公式。例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米？6 解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。（1）火车 3 分钟行多少米？90032700（米）（2）这列火车长多少米？27002400300（米）列成综合算式 90032400300（米）答：这列火车长 300 米。13 时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】分针的速度是时针的 12 倍，二者的速度差为 11/12。

7、通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？解 钟面的一周分为 60 格，分针每分钟走一格，每小时走 60 格；时针每小时走 5 格，每分钟走5/601/12 格。每分钟分针比时针多走（11/12）11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后，两针相距 20 格。所以 分针追上时针的时间为 20（11/12）22（分）答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。14 盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，

8、或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数（盈亏）分配差 如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数（大盈小盈）分配差 参加分配总人数（大亏小亏）分配差 【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？解 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（111）（43）12（人）（2）有多少个苹果？3121147（个）答：有小朋友 12 人，有 47 个苹

9、果。15 工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。7【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间 工作时间工作量工作效率 工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。例 1 一项工程，甲队单独

10、做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要几天完成？解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15）。由此可以列出算式：1（1/101/15）11/66（天）答：两队合做需要 6 天完成。16 正反比例问题 【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的

11、量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变

12、成未修的 1/2，求这条公路总长是多少米？解 由条件知，公路总长不变。原已修长度总长度1（13）14312 现已修长度总长度1（12）13412 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（43）份，从而知公路总长为 300（43）123600（米）答：这条公路总长 3600 米。17 按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和 8 【解题思路和方法】先

13、把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？解 总份数为 474845140 一班植树 56047/140188（棵）二班植树 56048/140192（棵）三班植树 56045/140180（棵）答：一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。18 百分数问题 【含义】百分数是表示一个数是

14、另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量 标准量比较量百分数 【解题思路和方法】一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例 1 仓库里有

15、一批化肥，用去 720 千克，剩下 6480 千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解 （1）用去的占 720（7206480）10%（2）剩下的占 6480（7206480）90%答：用去了 10%，剩下 90%。19“牛吃草”问题 【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。【数量关系】草总量原有草量草每天生长量天数 【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。例 1 一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛 5天可以把草吃完？解 草是均匀生长的，所以，草总量原有

16、草量草每天生长量天数。求“多少头牛 5天可以把草吃完”，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为 1，按以下步骤解答：9 （1）求草每天的生长量 因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草，即（11020）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内的生长量，所以 11020原有草量20 天内生长量 同理 11510原有草量10 天内生长量 由此可知 （2010）天内草的生长量为 110201151050 因此，草每天的生长量为 50（2010）5 20 鸡兔同笼问题 【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多

17、少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有 鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有 兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有 鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，

18、使问题得到解决。例 1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解 假设 35 只全为兔，则 鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）也可以先假设 35 只全为鸡，则 兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）答：有鸡 23 只，有兔 12 只。21 方阵问题 【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数（每边人数1）4 每边人数四周人数41 （2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数每边

19、人数每边人数 10 空心方阵：总人数（外边人数）（内边人数）内边人数外边人数层数2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数（每边人数层数）层数4 【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。例 1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的同学一共有多少人？解 2222484（人）答：参加体操表演的同学一共有 484 人。22 商品利润问题 【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。【数量关系】利润售价进货价

20、利润率（售价进货价）进货价100%售价进货价（1利润率）亏损进货价售价 亏损率（进货价售价）进货价100%【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例 1 某商品的平均价格在一月份上调了 10%，到二月份又下调了 10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？解 设这种商品的原价为 1，则一月份售价为（110%），二月份的售价为（110%）（110%），所以二月份售价比原价下降了 1（110%）（110%）1%答：二月份比原价下降了 1%。23 存款利率问题 【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月

21、利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。【数量关系】年（月）利率利息本金存款年（月）数100%利息本金存款年（月）数年（月）利率 本利和本金利息 本金1年（月）利率存款年（月）数 【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 李大强存入银行 1200 元，月利率 0.8%，到期后连本带利共取出 1488 元，求存款期多长。解 因为存款期内的总利息是（14881200）元，11 所以总利率为 （14881200）1200 又因为已知月利率，所以存款月数为 （14881200）12000.8%30（月）答：

22、李大强的存款期是 30 月即两年半。24 溶液浓度问题 【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】溶液溶剂溶质 浓度溶质溶液100%【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。例 1 爷爷有 16%的糖水 50 克，（1）要把它稀释成 10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成 30%的糖水，需加糖多少克？解 （1）需要加水多少克？5016%10%50

23、30（克）（2）需要加糖多少克？50（116%）（130%）50 10（克）答：（1）需要加水 30 克，（2）需要加糖 10 克。25 构图布数问题 【含义】这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。【数量关系】根据不同题目的要求而定。【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。例 1 十棵树苗子，要栽五行子，每行四棵子，请你想法子。解 符合题目要求的图形应是一个五角星。45210 因为五角星的 5 条边交

24、叉重复，应减去一半。26 幻方问题 【含义】把 nn 个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。三级幻方的幻和45315 五级幻方的幻和325565 【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。13 60 和 56 的最大公约数是 4。答：正方形的边长是 4 厘米。29 最值问题 【含义】科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事

25、，以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。【数量关系】一般是求最大值或最小值。【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值。例 1 在火炉上烤饼，饼的两面都要烤，每烤一面需要 3 分钟，炉上只能同时放两块饼，现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟？解 先将两块饼同时放上烤，3 分钟后都熟了一面，这时将第一块饼取出，放入第三块饼，翻过第二块饼。再过 3 分钟取出熟了的第二块饼，翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面，再烤 3 分钟即可。这样做，用的时间最少，为 9 分钟。答：最少需要 9 分钟。30 列方程问题 【含义】把应用题中的未知数用字母代替，根据等量关系列出含有未知数的等式

26、方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。【数量关系】方程的等号两边数量相等。【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。（1）审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。（2）设：把应用题中的未知数设为。（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。（6）答：回答题目所问，也就是写出答问的话。同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要在后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。例 1 甲乙两班共 90 人，甲班比乙班人数的 2 倍少 30 人，求两班各有多少人？解 第一种方法：设乙班有人，则甲班有（90）人。找等量关系：甲班人数乙班人数230 人。列方程：90230 解方程得 40 从而知 9050 第二种方法：设乙班有人，则甲班有（230）人。列方程 （230）90 解方程得 40 从而得知 23050 答：甲班有 50 人，乙班有 40 人。