安徽省池州市2020届高三上学期期末考试数学(理)试题.pdf

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1、安徽省池州市 2020 届高三上学期期末考试 数学（理）试题 一、单选题 1已知集合(,)|210,Ax yxy(,)|0Bx yxy，则AB（）A1,1xy B1,1 C(1,1)D【答案】C【解析】根据集合A和集合B所表示的意义，根据集合的交集运算，得到答案.【详解】因为集合(,)|210,Ax yxy(,)|0Bx yxy 集合A表示满足210 xy 的点的集合，即直线210 xy 的图像，集合B表示满足0 xy的点的集合，即直线0 xy的图像，所以AB表示两条直线的交点，解2100 xyxy，得11xy 所以(1,1)AB.故选：C.【点睛】本题考查集合的描述法，集合交集的运算，属于简

2、单题.2已知复数32(1)izi，则z在复平面内对应点所在象限为（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】对复数z进行化简，从而得到z，再得到z在复平面内对应点所在的象限.【详解】322(1)2 1iiziii 111iii 1122i，则1122zi，z在复平面内对应点为1 1,2 2，在第二象限 故选 B.【点睛】本题考查复数的计算，共轭复数，复数在复平面对应的点，属于简单题.3如图所示，ABC中，2,AB 2,AC 120BAC，半圆 O 的直径在边 BC 上，且与边AB，AC 都相切，若在ABC内随机取一点，则此点取自阴影部分（半圆 O 内）的概率为（）A38

3、 B36 C4 D3【答案】A【解析】根据条件得到半圆O的半径，然后计算出ABC的面积和半圆O的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】如图所示，1OA，60OAC，32rOD，所以ABC的面积1322322S ，半圆 O 的面积21328Sr，根据几何概型公式得：33883SPS.故选：A.【点睛】本题考查求几何概型-面积型的概率，属于简单题 4将函数()yf x的图象向左平移4后得到曲线1C，再将1C上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍得到曲线2C，若2C的解析式为cosyx，则()f x的解析式为（）Asin4yx Bcos2yx Csin 2yx Dcos4yx【答案】C【解析】将2

4、:cosCyx横坐标压缩到原来的一半得到1C，再向右平移4得到函数 f x【详解】先将2:cosCyx图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半得到曲线 1:cos2Cyx，再将曲线1:cos2Cyx上所有的点向右平移4得到 函数()cos2sin24f xxx.故选：C.【点睛】本题考查根据三角函数的图像变换求变换前的解析式，属于简单题.5函数2()1 4ln(31)f xxx的定义域为（）A1,12 B1 1,3 2 C1 1,2 4 D1 1,2 2【答案】B【解析】根据函数解析式，得到21 40310 xx ，解出x的取值范围，得到 f x定义域.【详解】因为函数2()1 4ln(31)f

5、xxx有意义，所以21 40310 xx ，解得112213xx 所以解集为1132x 所以 f x定义域为1 1,3 2，故选：B.【点睛】本题考查求具体函数定义域，属于简单题.6已知双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的两条渐近线均与圆222()4bxay相切，则双曲线 C 的离心率为（）A3 B2 C3 D4【答案】B【解析】先得到双曲线C的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a和c的关系，求出离心率，得到答案.【详解】双曲线2222:1xyCab的渐近线为byxa 因为两条渐近线均与圆222()4bxay相切，所以点(,0)a到直线byxa的距离等于半

6、径2b 即2221babbdcba，又因为222cab 整理得到2ca，故双曲线 C 的离心率为2cea.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题.7已知实数 x，y 满足不等式202501xyxyy，则3yzx的最大值为（）A35 B45 C34 D32【答案】C【解析】根据约束条件画出可行域，目标函数3yzx转化为点,x y与3,0连线的斜率，从而求出其最大值.【详解】根据约束条件202501xyxyy画出可行域，图中阴影部分为可行域，目标函数3yzx，表示可行域中点(,)x y与(3,0)连线的斜率，由图可知点(1,3)P与(3,

7、0)连线的斜率最大，故z的最大值为34，故选：C.【点睛】本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.8如图所示，矩形 ABCD 的边 AB 靠在墙 PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为 4，则围成矩形 ABCD 所需要篱笆的（）A最小长度为 8 B最小长度为4 2 C最大长度为 8 D最大长度为4 2【答案】B【解析】设,BCaCDb，得到4ab，所求的篱笆长度为2ab，根据基本不等式，得到最小值.【详解】设,BCaCDb，因为矩形的面积为4，所以4ab，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为 44222 2abaaaa4 2，当且仅当42,aa即2a 时，等号成立.

8、故选：B.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题.9若3sin122，则2sin 23（）A12 B12 C32 D32【答案】A【解析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos26的值，再将所要求的2sin 2sin2362，根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为3sin122，所以23cos21262 12 2sin 2sin2362 cos 26 cos26 12.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.10若61014log 3,log5,log7abc,则()Aabc Bbca Cacb Dcba【答案】D【解析】分析：三个

9、对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为 1f xxx的形式，该函数为0,上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log 31log 3a，22log 51log 5b，22log 71log 7c，令 11,011xf xxxx，则 f x在0,上是单调增函数.又2220log 3log 5log 7，所以 222log 3log 5log 7fff即abc.故选 D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.11已知三棱锥中，为中点，平面，则下列说法中错误的是（）A若

10、为的外心，则 B若为等边三角形，则 C当时，与平面所成角的范围为 D当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为 【答案】B【解析】利用射影相等可知，利用反证法可知不成立，构造线面角，可得其正弦值的范围为，故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.【详解】若 为的外心，则，由射线相等即可知，故 A 正确；假设，则再根据，得平面，则，与为等边三角形矛盾，故 B 错误；当时，过 作，连结，易知为与平面所成角，故的范围为，故 C 正确；取，分别为，的中点，则平面平面，则线段为在三角形内的轨迹，其长度为，故 D 正确 【点睛】本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关

11、的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.12已知双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的离心率为52，过右焦点 F 的直线与两条渐近线分别交于 A，B，且ABBF，则直线 AB 的斜率为（）A13或13 B16或16 C2 D16【答案】B【解析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据ABBF，得到B为AF中点，得到B与A的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A点坐标，从而得到AB的斜率，得到答案.【详解】因为双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的离心率为52，又222cea22514ba，所以12ba，所以

12、双曲线渐近线为12yx 当点 A 在直线12yx 上，点 B 在直线12yx上时，设,AAA x y,BBB x y，由(c,0)F及 B 是 AF 中点可知22ABABxcxyy，分别代入直线方程，得121222AAAAyxyxc，解得24AAcxcy，所以,2 4c cA，所以直线 AB 的斜率ABAFkk42ccc16，由双曲线的对称性得，16k 也成立.故选：B.【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题.二、填空题 13等腰直角三角形 ABC 中，90,C2CACB，则有CA AB_.【答案】-2.【解析】先求出AB，再根据向量数量积公式，求出CA AB的值

13、，得到答案.【详解】等腰直角三角形 ABC 中，90,C2CACB，所以2AB 所以cosCA ABCAABA 22222 .故答案为：2【点睛】本题考查计算向量的数量积，属于简单题.14sin 613cos1063tan30的值为_.【答案】33.【解析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.【详解】sin 613cos1063tan30 sin 253cos17tan30 sin73cos17tan30 =cos17cos17tan30 33 故答案为：33【点睛】本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.15数列1(252)2nn的最大项所在的项数为_.【答案】11.【解析】1

14、(252)2nnan，2n 时，11nnnnaaaa，得到关于n的不等式组，解得n的范围，结合*nN，得到n的值，再与1n 时进行比较，得到答案.【详解】令1(252)2nnan，当2n 时，设na为最大项，则11nnnnaaaa 即121(252)2(272)2,(252)2(232)2,nnnnnnnn 解得212322n.而*nN，所以11n 又1n 时，有122342aa，所以数列1(252)2nn的最大项所在的项数为11.故答案为：11【点睛】本题考查求数列中的最大项，属于简单题.16已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，5,PABC13,PBAC2 5PCAB，则球

15、 O 的表面积为_.【答案】29【解析】将三棱锥PABC补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案.【详解】如图所示，将三棱锥PABC补成长方体，球O为长方体的外接球，边长分别为a，b，c，则222222251320abacbc，所以22229abc，所以292R，则球O的表面积为24SR2294229.故答案为：29.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.三、解答题 17已知等比数列 na各项均为正数，nS是数列 na的前 n 项和，且116,a 328S.（1）求数列 na的通项公式；（2）设12lognnba，求数列 nb的前 n 项和nT.【答

16、案】(1)52nna*nN；(2)292nn.【解析】（1）设等比数列公比q，根据116,a 328S，得到关于q的方程，解出q，从而得到数列 na的通项公式；（2）写出nb的通项，根据等差数列的求和公式，得到答案.【详解】（1）设等比数列 na的公比为q，因为116a，328S，所以216 128qq，因为 na各项均为正数 解得12q（负值舍去），所以151122nnnaa*nN；（2）由已知得，12lognnba512log 2n5n，所以 nb为等差数列，所以(45)2nnnT 292nn.【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，等差数列求和公式，属于简单题.18如图所示，在ABC中，

17、,A,BC的对边分别为 a，b，c，已知2 sincossin0,bABaB1a，2c.（1）求 b 和sinC；（2）如图，设 D 为 AC 边上一点，37BDCD，求ABD的面积.【答案】(1)7b，217；(2)34.【解析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cosB的值，再利用余弦定理，求出b，根据正弦定理，求出sinC；（2）根据正弦定理得到sin1CBD，即2CBD，根据勾股定理得到32BD，根据三角形面积公式，求出ABD的面积.【详解】（1）因为2 sincossin0bABaB，所以在ABC中，由正弦定理sinsinsinabcABC，得2sinsincossinsin0B

18、ABAB，因为sinsin0AB，所以2cos10B，所以1cos2B ，又0B，所以23B，由余弦定理得，2222cosbacacB1142 1 22 7，所以7b，在ABC中，由正弦定理sinsincbCB，所以sinsincBCb22sin37217；（2）在ABD中，由正弦定理得，sinsinBDCCDCBD，因为37BDCD，所以sin3sin7CCBD，因为21sin7C，所以sin1CBD，而0,CBD 所以2CBD，由37BDCD，设3,BDt7CDt，所以222(3)1(7)tt，所以12t，所以32BD，因为ABDABCDBC 2326，所以1sin2ABDSABBDABD

19、1312222 34.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.19如图，三棱锥 D-ABC 中，2,ABAC2 3,BC 3DBDC，E，F 分别为 DB，AB 的中点，且90EFC.（1）求证：平面DAB 平面 ABC；（2）求二面角 D-CE-F 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)3 7028.【解析】（1）取BC的中点G，可得BCAG，BCDG，从而得到BC 平面DAG，得到BCDA，由DAEF，EFCF，得到DACF，从而得到DA 平面ABC，所以平面DAB 平面ABC；（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，利用余弦定理和勾股定理，得到120B

20、AC，5DA，得到DCE的法向量1n，平面FCE的法向量2n，根据向量夹角的余弦公式，得到二面角DCEF的余弦值【详解】（1）如图取BC的中点G，连接AG，DG，因为2ABAC，所以BCAG，因为DBDC，所以BCDG，又因为AGDGG，所以BC 平面DAG，DA 平面DAG 所以BCDA.因为E，F分别为DB，AB的中点，所以DAEF.因为90EFC，即EFCF，则DACF.又因为BCCFC，所以DA 平面ABC，又因为DA 平面 DAB，所以平面DAB 平面ABC.（2）因为DA 平面ABC，则以A为坐标原点，过点A与AC垂直的直线为x轴，AC为y轴，AD 为z轴，建立如下图所示的空间直角

21、坐标系.因为2,ABAC2 3,BC 3DBDC，在ABC中，222cos2ABACBCBACAB AC44 12222 12，所以120BAC.在Rt DAB中，2232DA5，所以点(0,0,0)A，(0,0,5),D(0,2,0),C(3,1,0)B，315,222E31,022F.设平面DCE的法向量为1111,nx y z(0,2,5),DC 315,222DE.所以1100DC nDE n，即111112503150222yzxyz，可取1(15,5,2)n.设平面FCE的法向量为2222,nx y z 3 5,0,22FC 50,0,2FE.所以2200FC nFE n，即222

22、35022502xyz，可取2(5,3,0)n，则1222222155532 0cos,155253n n 3 7028 因为二面角DCEF为钝二面角，所以二面角DCEF的余弦值为3 7028.【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的夹角余弦值，属于中档题.20高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：980,0),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140),140,150.其中 a，b，c 成等差数列且2ca.物理成绩统计如表.（说明：数学满分 150 分，物理满分 10

23、0 分）分组 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频数 6 9 20 10 5 （1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于 140 分的为“优”，物理成绩不低于 90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”同学总数为 6 人，从此 6 人中随机抽取 3 人，记 X 为抽到两个“优”的学生人数，求 X 的分布列和期望值.【答案】（1）117.8（分）；（2）75 分；（3）见解析.【解析】（1）根据频率之和等于1，a，b，c 成等差数列，2ca，解出,a b c的值，利用频率分布直方图，求出

24、平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值.【详解】（1）根据频率分布直方图得，20.0240.0200.04101abc 又因2,acb2ca，解得0.008,a 0.012,b 0.016c，故数学成绩的平均分 85 0.0495 0.12 105 0.16 115 0.2 125 0.24 135 0.16 145 0.08x 117.8（分），（2）总人数 50 分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间70,80)，所以物理成绩的中位数为 75 分

25、.（3）数学成绩为“优”的同学有 4 人，物理成绩为“优”有 5 人，因为至少有一个“优”的同学总数为 6 名同学，故两科均为“优”的人数为 3 人，故 X 的取值为 0、1、2、3.33361(0),20CP XC 1233369(1),20C CP XC 2133369(2),20C CP XC 33361(3)20CP XC.所以分布列为：X 0 1 2 3 P 120 920 920 120 期望值为：1991()012320202020E X 32.【点睛】本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分布列和数学期望，属于简单题.21已知

26、函数3()sinf xxx，fx为()f x的导函数.（1）求()f x在0 x 处的切线方程；（2）求证：fx在,2 2 上有且仅有两个零点.【答案】（1）yx；（2）证明见解析.【解析】（1）对 f x求导，得到 fx，代入0 x 得到切线斜率，利用切点0,0，点斜式写出切线方程，得到答案；（2）根据 fx解析式，得到()fx为偶函数，且(0)1f，对 fx求导，得到 fx，判断出 fx的正负，得到 fx的单调性，结合02f，由零点存在定理得到()fx在0,2上有且仅有一个零点，从而得到()fx在,2 2 上有且仅有两个零点.【详解】（1）2cos3,fxxx 01f，又 00f，所以切点

27、为0,0.故 f x在0 x 处的切线方程为yx；（2）2()cos3,fxxx因为()fx为偶函数，且 01f，则只需证明 fx在0,2上有且仅有一个零点即可.sin6fxxx，当0,2x时 0fx，故()fx在0,2上单调递减，因为 010f ，23022f ，由零点存在定理，可知存在00,2x使得 00fx，所以 fx在0,2上有且仅有一个零点，因此 fx在,2 2 上有且仅有两个零点.【点睛】本题考查通过导数的几何意义，求函数图像上在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和零点，零点存在定理，属于中档题.22已知圆22:(2)1Mxy，圆22:(2)49Nxy，动圆 P 与圆 M 外切并

28、且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.（1）求曲线 C 的方程；（2）设不经过点(0,2 3)Q的直线l 与曲线C 相交于A，B 两点，直线QA 与直线 QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线 l 过定点.【答案】（1）2211612xy；（2）证明见解析.【解析】（1）根据动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，得到|1PMr，|7PNr，从而得到|8PMPN，得到28,2ac，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线 l 斜率存在时，设:(2 3)l ykxm m，代入椭圆方程，得到12xx，12x x，表示出直线 QA 与直线 QB 的斜率，根据2QQABkk，得到k，m的

29、关系，得到直线所过的定点，再验证直线 l 斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.【详解】（1）设动圆 P 的半径为 r，因为动圆 P 与圆 M 外切，所以|1PMr，因为动圆 P 与圆 N 内切，所以|7PNr，则|(1)(7)8|4PMPNrrMN，由椭圆定义可知，曲线 C 是以(2,0)M、(2,0)N为左、右焦点，长轴长为 8 的椭圆，设椭圆方程为22221xyab(0)ab，则4a，2c，故22212bac，所以曲线 C 的方程为2211612xy.（2）当直线 l 斜率存在时，设直线:l ykxm，2 3m ，联立2211612ykxmxy，得2223484480kxkmxm

30、，设点11,A x y22,B x y，则122212283444834kmxxkmx xk，12122 32 3QQAByykkxx 212121122 32 3xkxmxx kxmxx x 1212122(2 3)2kx xmxxx x，所以1212(22)(2 3)0kx xmxx，即2224488(22)(2 3)03434mkmkmkk，得2122 3120mkmk.则(2 3)(2 3)2 3(2 3)0mmk m，因为2 3m，所以2 32 30mk.即2 32 3mk，直线:2 32 3l ykxk(2 3)2 3k x，所以直线 l 过定点2 3,2 3.当直线 l 斜率不存在时，设直线:(0)l xt t，且44t ，则点23,12,4A tt23,124B tt 2233122 3122 344QAQBttkktt4 3t 2，解得2 3t，所以直线:2 3l x 也过定点2 3,2 3.综上所述，直线 l 过定点2 3,2 3.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.