(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结详解.docx

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1、第1章随机事件及其概率(1)排列 组合公式加一 (m-n) 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数C；=-从m个人中挑出n个人进行组合的可能数(2)加法 和乘法原 理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法 可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由ni种方法完成，第二个步骤 可由n种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。(3) 一些 常见排列重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机 试验和随 机事件如果一

2、个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止 一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试 验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本 事件、样 本空间和 事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用CD来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。(1)离散型随 机变量的分布 律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=l, 2,)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概 率

3、为P(X=xk) =pk, k=l, 2,则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X| X1,X2,P(X = .u) pi, P2,Pho显然分布律应满足下列条件：(1)9k = 1,2,(2)二|4=10(2)连续型随 机变量的分布 密度设尸(X) 是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数f(x),对任意实数X,有产(X)= ：/(4)小则称X 为连续型随机变量。f(x) 称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1/(x) 0O2匚/(无泌=1O(3)离散与连 续型随机变量 的关系P(X = x) P(xX x + dx) f

4、(x)dx积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X = X4)= p*在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设X为随机变量，X是任意实数，则函数b(x) = P(X X)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb) = F(h)-F(a)可以得到X落入区间(。向的概率。分布函数表示随机变量落入区间(- 8, X内的概率。分布函数具有如下性质：10 F(x) 1,-00 X +00*2。%)是单调不减的函数，即XI X2时，有F(xi) (M *3尸(TO) = lim F(x) = 0 XTV，尸(+oo) = lim F(x) = 1* 94F(x +

5、O) = F(x),即是右连续的；5P( = x) = F(x)-F(x-O)o对于离散型随机变量，F(x) =Pk Mx 对于连续型随机变量，XF(x)= f(x)dx-00（5）八大分布0-1分布P(X=l)=p, P(X=O)=q:项分布在n重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为P。事件A发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为0,1,2, ,/? OP(X=k) = Pn(k) = CW，其中q = 1 - p,0 p 0%=0,1,29则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X %(4)或者P()0泊松分布为二项分布的极限分布(np= x ,o超几 何分 布 = 0J，2 ,/()C

6、： ，7 = min(A/,w)随机变量X服从参数为n, N,M的超几何分布，记为H(n, N, M)。几何 分布(X = A) = qip,A = l,2,3,，其中 p20, q=l-p(随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀 分布设随机变量X的值只落在a, b内，其密度函数f(x) 在a, b上为常数1b-a ,即aWxWb1/W = b-a |o, 其他，则称随机变量X在a, b上服从均匀分布，记为XU(a, b)o 分布函数为x-ab-aaWxWb0, xb0f(x)dx =当 aWxlx2Wb 时,X落在区间（）内的概率为P(jq X x2) = Ob-aAeAxx

7、?20 r0,vX 0分布,则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为/-eLx00,x0orF(x) =记住积分公式：-H0xnexdx = rA 0正态分布设随机变量X的密度函数为 _G二)2八x)= FC / 9-X .V 0为常数，则称随机变量X服从参数为 、a的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为XN卬Of(x)具有如下性质：1f(x)的图形是关于对称的；2当X 二 时，为最大值；若，则X 的分布函数为5点小O O 参数/ = 0、(T = 1时的正态分布称为标准正态分布，记为X Ar(0J) ,其密度函数记为尔)f-CO X +00分布函数为1 X - (x) = e 2

8、 dtoWx)是不可求积函数，其函数值，己编制成表可供查用。(-x) = 1-0 (x)且(0)=工2O如果XN(,) ,则OP(x1 X a)=a 0已知的分布列为XXXI, X2,，Xn,(7)函数分布离散 型P(X：9的分布列(互不相等)如下：Y= Xi)Pk 2,pn, y=g( Y)匕=g(Xj)l), g(X2),，g(x),P(Y = y,)9若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。p，pz,，pn,虱Xi)Pi虱Xi)连续先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y) =型P（g（X）y）,再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）o第三章二维随机变量及其分布（1）

9、联合分 布离散型如果二维随机向量白（X, Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）,则称日为离散型随机量。设不二（X, Y）的所有可能取值为（巧0）（=1，2,）,且事件（七，匕）的概率为pij,称P（X, 丫）=（七,为） = p/,/ = 1,2,）为=（X, Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布 表来表示：YXyiy2 yj X1P11pl2 pij x2p21p22 p2j *xiPil Py * .* * * .* *这里pi j具有下面两个性质：一个事件就是由Q中的部分点（基本事件CD）组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，它们是

10、的子集。Q为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理，必然事件（。）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然 事件。关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发 生）：AuB如果同时有AuBB A,则称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=Bo（6）事件 的关系与 运算A、B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+Bo属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AnB,或者AB。AnB二?，则表示A与B不可能同时发生，

11、称事件A与事件B互不相容或者互 斥。基本事件是互不相容的。Q(1)pij0 ()；(2)i J连续型对于二维随机向量J=(x,y),如果存在非负函数f(x,j/)(-oo x +oo,-oo y +oo)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)axb,cyd 有P(X,Y)eD=fy)dxdy, D则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为二(X, Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：(1)f(x,y)20;(2)n /a/)加4二lJco J-o2)二 维随机 变量的 本质X = x,Y = y) = X = xCY = y

12、)设（X, Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F（x9y） = PXx,Yy称为二维随机向量（X, Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件（必必2）|-00丫（01）4占-00丫3）歹的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：3）联 合分布 函数4）离散型与(1) 0F(x,)xl 时,有 F(x2,y) NF(xl, y);当 y2yl 时,有 F(x,y2) NF(x,yl)；(3) F (x,y)分别对x和y是右连续的，即F(x, y) = F(x + 0 j), F(x,y) = F(x,y

13、 + 0);(4) F(-oo,-oo) = F(-co, y) = F(x,-oo) = 0, F(+oo,+oo) = 1.(5)对于占孙人。2,F6,必)一-一2,必)一一(再，必)+尸(孙必)20P(X = x Y = y) P(x X x + dxt yYy + dy) * f (x, y)dxdy连续型 的关系5)边缘分布离散型X的边缘分布为C=P(X = x,) = Z P(3 = l,2，) jY的边缘分布为匕=(丫 =力)=2 P*/ = 12) 1O连续型X的边缘分布密度为怦8 aw=j /(切砂;Y的边缘分布密度为%)=/(3).6)条件分布离散型在已知X二Xi的条件下，

14、Y取值的条件分布为P(Y = yjX = x,) = P.在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为P(X = |Y =匕)= Pj连续型在已知Y二y的条件下，X的条件分布密度为fy(y)在己知X=x的条件下，Y的条件分布密度为八y g =邛兴fxM17)独-ju. m.乂性一般型F(X, Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x, y)=fX(x) fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布f(、(等/(x,加1-e2而9工个 - pP=02 2p(x-A|Xy-/2)随机变量的函数若XI, X2, -Xm, Xm+1, -Xn相互独立,h, g为

15、连续函数,h (XI, X2, -Xm)和 g (Xm+1,-Xn)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。则：例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。8）二 维均匀 分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数为 /MeD0,其他其中SD为区域D的面积，则称（X, Y）服从D上的均匀分布，记为（X, Y）U （D）。例如图3. 1、图3. 2和图3.3o i by/1DI 01x图3. 1yD21102 x图3.2yD3cl0 ab x图3.39）二维正态 分布设随机向量（X, Y）的分布密度函数为_ 2。（.-幽）（尸，2） J.2 12z-z12（1-/） 0,

16、。2 0,|1是5个参数，则称（X, Y）服从二维正态分布，记为（X, Y）N （由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN （四,。；）,丫 阳氏。；）.但是若XN （四,山）,丫n（M）,（X, Y）未必是二维正态分布。10）函 数分布Z=X+Y根据定义计算：F,y（z） = P（Zz） = P（X + Y0,叫2羯o, 0.我们称随机变量w服从自由度为n的 z2分布，记为wZ2(w),其中盼台所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参 数。分布满足可加性：设则kZ = ZZ+n2 + + %).i=lt分布设X, Y是两个相互独

17、立的随机变量，且x n(o,i),y /， 可以证明函数7，= /=的概率密度为八。= /、i+T (-00 t +00).我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt (n)。F分布设,且X与Y独立，可以证可的概率密度函数为r我们称随机变量F服, 为 Ff(nl, n2).g5 +明I 2 J )仅2、 2j UJ从第一个EF，r2(),K-z2(2)F=*Y/n2n./1. +的0ni)I % )0,y2)(5) 二维 随机 变量 的数 字特 征期望E(X) = x也.E(Y) = yjPj1HX E(X)=xfx(x)dxHOe(y)二 J必(歹)力-CO函数的期望EG(x9Y)EZ

18、G(xQj)P i jEG(x,Y)400 -HOJ jc(x,y)f(x,y)dxdy 00 00方差O(X) = Z 区项 X)2p, i5y)= Z氏一凤y)2p， j0, D(Y)0,则称啊 X)D(Y)为X与Y的相关系数，记作Px,(有时可简记为P)O1PIWL 当|P1=1时，称X与Y完全相关：P(X = qY + /) = 1完全相关正相关，当夕=1时(。0),(负相关，当夕=7时(a0),而当p = 0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： Pat=0 * cov(X,Y)=0; E(XY)= E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)= D(X)+

19、D(Y).协方差矩阵G XXG XVbyy /混合矩对于随机变量X与Y,如果有 EXkY,)存在，则称之为X与Y的k+1阶混合原点矩，记为 小;k+1阶混合中心矩记为：ukJ=E(X-E(X)k(Y-E(Y)1.(6) 协方 差的 性质(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX, bY)=ab cov(X, Y);(iii) cov(Xl+X2, Y)=cov(Xl, Y)+cov(X2, Y);(iv) cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7) 独立 和不 相关(i)若随机变量X与Y相互独立，则一PXY = 0：反之不真。(ii)若(X, Y)

20、N (),则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章人数定律和中心极限定理设随机变量XI, X2,相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界:D (Xi) fi定律特殊情形：若XI, X2,具有相同的数学期望E (XI) 二 口， 则上式成为lim P| V%, -fi e =1.T8 1MM)伯努设U是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每利大 数定 律次试验中发生的概率，则对于任意的正数 ,有lim/q - -p =1. (n )伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的 频率与概率有较大判别的可能性很小，即lim/q -p| = 0. I )这就以严格的数学形式

21、描述了频率的稳定性。辛钦 大数 定律设 XI, X2,，Xn, 且E (Xn)=u ,则对于limP “TOO是相互独立 任意的正数J M同分 4t 布的随机变量序列，=1.(2)中心极限定理亚 tNU) n列维 一林 德伯 格定 理设随机变量XI, X2, 同的数学期望和方差：,则随机变量1的分布函数Fn(x)对任用“TOO此定理也称为独立同分，相互独立，服从D(Xk) = a2。0(K =* 4na轴勺实数X,有匕一叫 xGo -佰的中心极限定.同一分布，且具有相12 )理。棣莫 弗一 拉普 拉斯 定理设随机变量Xn为具有参数n, p(Kpl)的二项分布，则对于任意实数x,有 =limp

22、np （,女不变）N，则笔CpF p）一 Cn（Nf 8）.超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当n - 8时,叩 T 2 0 ，则CP、去一 /Cl（ go）.其中k=0, 1, 2,，n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1）数 理统计的 基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的 随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品X, “2，/称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表 示。在一般情况下，总是把样本看成是

23、n个相互独立的且与总 体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在 泛指任一次抽取的结果时，国,“2，/表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，国,“2，/表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数设和统计量为总体的一个样本，称（X|, “2，X）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（X|, “2，X）为一个统计量。常见统计 量及其性 质样本均值样本方差1s = E 区 X）-”1普样本标准差S-J （再Y - I i=i样本k阶原点矩1 n吃二-力,4=1,2,.样本k阶中心矩M；（再 4）9=2,3,.E或）=从9o2 o（x

24、）= n9E(S2) = a2 9E(S2) = a2 n其中S*2=(Xj-斤)2 ，为二阶中心矩。(2)正 态总体下 的四大分布正态分布设为来自正态总体N(以42) 的一个样本，则样本函数牝* N(O,1). a / yjnt分布设X|, “2，X 为来自正态总体N(禺，) 的一个样本，则样本函数_M X-R / 八 z-s/yjn其中t(nT)表示自由度为n-1的t分布。/分布设X|, “2，X为来自正态总体N(以42)的一个样本，则样本函数何(S?2. n丁z ( 1),(T其中表示自由度为n-1的 z2分布。F分布设为来自正态总体的一个样本，而 必，2,，儿为来自正态总体的一个样本，

25、则样本函数def S12 / CT.2、一击*尸（D其中 1i_s； =（X,x）2,T712_2 一 1 M表示第一自由度为 % -1，第二自由度为的F分布。（3）正 态总体下 分布的性质X 与S2 独立。第七章参数估计2。2)=P )=)=- n0设任一事件A,它是由助，口2纵组成的，则有P(A) =(电)U2)U U。)(%)+ /(%)+PM) m zzz -n_/所包含的基本事件数基本事件总数(9)几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时 样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随 机试验为几何概型。对任一事件A,P(.)=0其中L

26、为几何度量(长度、面积、体积)。(10)加法公式P(A+B)=P(A) +P(B)-P(AB)当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减 法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BuA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Q时，P(B)=1- P(B)(12)条 件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)0,则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为P(B/A) = P(AB)0条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1P(B/A)= 1-P(B/A)(13)乘 法公式乘法公式：P(AB) = P(A)P(B/A)更一般地

27、，对事件Al, A2,An,若P(股A2An-1)0,则有 PAAi 出)= P(4)P(42|4)P(/3| 44)P(An | AA1 4.i)o(14)独 立性两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) = P(A)P(B),则称事件AB是相互独立的。若事件AB相互独立，且P(/l)0,则有/|/)=逊=0(二8)= p(m p(a)若事件A 、B相互独立，则可得到A与B 、A与_B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件?与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)；

28、 P (CA) =P (C) P (A) 并且同时满足 P (ABC)=P (A) P (B) P (C) 那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件Bl, B1,、Bn满足1Bl, B?,Bn两两互不相容，P(氏) 0(/ = 1.22,(分类讨论的，则有PA = P(Bi)P(AP(BiP(A 82) + P(6)P(/| 氏)0(16)贝叶斯公式设事件Bi ， ，Bn 及A 满足1Bi ， ，Bn 两两互不相容，P(Bi)0,/ =1, 2,，n2。Z1P(/l)0,(已经知道结果求原因则n p(W) 六|,i=l, 2,n。此公式即为贝叶斯公式。,(/ = !2

29、， ，n),通常叫先验概率。P(BJA),(/ = !2 ， ，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 “因果”的概率规律，并作 出了 “由果朔因”的推断。(17)伯 努利概型我们作了n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生；n次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样：每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。用P 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为1 - p = q,用区（公 表示重伯努利试验中”A 出现kOk n） 次的概率，k = 0J2 ,O第二章随机变量及其分布