九年级数学二模试题分类汇编——一元二次方程组综合含答案.pdf

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1、九年级数学二模试题分类汇编一元二次方程组综合含答案 一、一元二次方程 1如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB16cm，BC6cm，动点 P、Q 分别以3cm/s、2cm/s 的速度从点 A、C 同时出发，点 Q 从点 C 向点 D 移动(1)若点 P 从点 A 移动到点 B 停止，点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，问经过 2s 时 P、Q两点之间的距离是多少 cm？(2)若点 P 从点 A 移动到点 B 停止，点 Q 随点 P 的停止而停止移动，点 P、Q 分别从点 A、C同时出发，问经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm？(3)若点 P 沿着 ABBCCD 移动，

2、点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 Q 从点 C 移动到点D 停止时，点 P 随点 Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间 PBQ 的面积为 12cm2 【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s 或245s；（3）经过 4 秒或 6 秒 PBQ 的面积为 12cm2【解析】试题分析：（1）作 PECD 于 E，表示出 PQ 的长度，利用 PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设 x 秒后，点 P 和点 Q 的距离是 10cm在 Rt PEQ 中，根据勾股定理列出关于 x 的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得 x 的值；（3）分类讨论：当点 P 在 AB 上时；当

3、点 P 在 BC 边上；当点 P 在 CD 边上时 试题解析：（1）过点 P 作 PECD 于 E 则根据题意，得 EQ=16-23-22=6（cm），PE=AD=6cm；在 Rt PEQ 中，根据勾股定理，得 PE2+EQ2=PQ2，即 36+36=PQ2，PQ=62cm；经过 2s 时 P、Q 两点之间的距离是 62cm；（2）设 x 秒后，点 P 和点 Q 的距离是 10cm（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，16-5x=8，x1=85，x2=245；经过85s 或245sP、Q 两点之间的距离是 10cm；（3）连接 BQ设经过 ys 后 PBQ 的面积为

4、12cm2 当 0y163时，则 PB=16-3y，12PBBC=12，即12（16-3y）6=12，解得 y=4；当163x223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则 12BPCQ=12（3y-16）2y=12，解得 y1=6，y2=-23（舍去）；223x8 时，QP=CQ-PQ=22-y，则 12QPCB=12（22-y）6=12，解得 y=18（舍去）综上所述，经过 4 秒或 6 秒 PBQ 的面积为 12cm2 考点：一元二次方程的应用 2阅读下列材料 计算：（1）（+）（1）（+），令+t，则：原式（1t）（t+）（1t）tt+t2+t2 在上面的问题中，用一个字母代表

5、式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1）（+）（1）（+）（2）因式分解：（a25a+3）（a25a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）3【答案】（1）；（2）（a25a+5）2；（3）x10，x24，x3x42【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+t 代入原式计算（2）观察式子找相同部分进行换元，令 a25at 代入原式进行因式分解，最后要记得把t 换为 a（3）观察式子找相同部分进行换元，令 x2+4xt 代入原方程，即得到关于 t 的一元二次方程，得到 t 的两个解后要代回去求出 4 个

6、x 的解【详解】（1）令+t，则：原式（1t）（t+）（1t）tt+t2t+t2+（2）令 a25at，则：原式（t+3）（t+7）+4t2+7t+3t+21+4t2+10t+25（t+5）2（a25a+5）2（3）令 x2+4xt，则原方程转化为：（t+1）（t+3）3 t2+4t+33 t（t+4）0 t10，t24 当 x2+4x0 时，x（x+4）0 解得：x10，x24 当 x2+4x4 时，x2+4x+40（x+2）20 解得：x3x42【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算 3解方程：x22x2x1.【答案】x1

7、25，x225.【解析】试题分析：根据方程，求出系数 a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式242bbacxa 求解即可.试题解析：方程化为 x24x10.b24ac(4)241(1)20，x420225，x125，x225.4解方程：2212xx6x9（）【答案】124xx23，【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得 2212xx3（）（）开平方，得 1 2xx3，或1 2xx3（）解得124xx23，5解方程：2332302121xxxx【答案】x=15或 x=1【解析】【分析】设321xyx，则原方

8、程变形为 y2-2y-3=0,解这个一元二次方程求 y，再求 x【详解】解：设321xyx，则原方程变形为 y2-2y-3=0 解这个方程，得 y1=-1,y2=3,3121xx 或3321xx 解得 x=15或 x=1 经检验：x=15或 x=1 都是原方程的解 原方程的解是 x=15或 x=1【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根 6按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份 用水量（吨）

9、水费（元）四月 35 59.5 五月 80 151 【答案】7已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，于是，对正整数，有 原式=8解方程：(x1)(x1)22x.【答案】x123，x223.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x1)(x1)22x x2-22x-1=0 a=1，b=-2 2，c=-1 =b2-4ac=8+4=120 x=242bbcaa=23 x123，x223.9已知关于 x 的方程 x22x+m20 有两个不相等的实数根(1)求 m 的取值范围；(2)如果 m 为正整数，且该方

10、程的根都是整数，求 m 的值【答案】(1)m3；(2)m2【解析】【分析】（1）根据题意得出 0，代入求出即可；（2）求出 m=1 或 2，代入后求出方程的解，即可得出答案【详解】（1）方程有两个不相等的实数根 44(m2)0 m3；（2）m3 且 m 为正整数，m1 或 2 当 m1 时，原方程为 x22x10它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m2 时，原方程为 x22x0 x(x2)0 x10，x22符合题意 综上所述，m2【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出 m 的值和 m 的范围是解此题的关键 10关于 x 的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0 有两个

11、不相等的实数根(1)求 k 的取值范围；(2)如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x2-4x+k=0 与 x2+mx-1=0 有一个相同的根，求此时 m 的值【答案】（1）k4 且 k2.（2）m=0 或 m=83.【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于 k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的 k 的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的 k 的值，代入原方程，解方程求得 x 的值，然后把所得 x 的值分别代入方程 x2+mx-1=0 即可求得对应的 m 的值.详解：(1)一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0 有两个不相等的实数根，

12、=16-8(k-2)=32-8k0 且 k-20.解得：k4 且 k2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，将 k=3 代入原方程得：方程 x2-4x+3=0，解此方程得：x1=1，x2=3.把 x=1 时，代入方程 x2+mx-1=0，有 1+m-1=0，解得 m=0.把 x=3 时，代入方程 x2+mx-1=0，有 9+3m-1=0，解得 m=83.m=0 或 m=83.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)axbxca中，当=240bac时，方程有两个不相等的实数根；当=240bac时，方程有两个相等的实数根；=240bac时，方程没有实数根”是正确解答第 1 小题的关键；（2

13、）解第 2 小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.11山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售可增加 20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利 2240 元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4 元或 6 元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价 x 元.根据题意，得（60 x40）（100+x220）=22

14、40，化简，得 x210 x+24=0，解得 x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元.要尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价 6 元.此时，售价为：606=54（元），54100%=90%60.答：该店应按原售价的九折出售.12为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过 30 人，人均旅游费用为 100 元；（2）如果超过 30 人，则每超过 1 人，人均旅游费用降低 2 元，但人均旅游费用不能低于 80 元该班实际共支付给旅行

15、社 3150 元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有 35 名同学参加了研学游活动【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社 3150 元，可以判断出参加的人数在 30 人以上，等量关系为：（100在 30 人基础上降低的人数2）参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于 80 元作答即可 试题解析：10030=30003150，该班参加研学游活动的学生数超过 30 人 设九（1）班共有 x 人去旅游，则人均费用为1002（x30）元，由题意得：x1002（x30）=3150，整理得 x280 x+1575=0，解得 x1=35，x2=45，当 x=35 时，人均旅

16、游费用为 1002（3530）=9080，符合题意 当 x=45 时，人均旅游费用为 1002（4530）=7080，不符合题意，应舍去 答：该班共有 35 名同学参加了研学旅游活动 考点：一元二次方程的应用 13某产品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种产品在未来 20 天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：时间t/天 1 3 10 20 日销售量m/件 98 94 80 60 这 20 天中，该产品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为：1254yt（t为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m关于t的

17、函数关系式；（2）这 20 天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的 20 天中，每销售一件商品就捐赠a元（4a）给希望工程，通过销售记录发现，这 20 天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.【答案】（1）2100mt；（2）在第 15 天时日销售利润最大，最大利润为 612.5元；（3）2.54a.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据 20 天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求

18、 a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b 由题意得:98=kb94=3kb 解得:k=-2,b=100 m关于t的函数关系式为:2100mt.（2）设前 20 天日销售利润为W元，由题意可知，1210025204Wtt 21151002tt 2115612.52t 102，当15t 时，612.5W最大.在第 15 天时日销售利润最大，最大利润为 612.5 元.（3）由题意得：1210025204Wtta 21152500 1002ta ta，对称轴为：152ta，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t的增大而增大，且120t，15220a，2.5a，2.54a.【点睛】本题

19、主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.14将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出，能售出 500 件，如果该商品涨价 1 元，其销售量就要减少 10 件，为了赚取 8000 元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取 8000 元的利润，售价应定为 60 元或 80 元售价定为 60 元时，应进货400 件；售价定为 80 元时，应进货 200 件【解析】【分析】设每件商品涨价x元，能赚得 8000 元的利润；销售单价为(50)x元，销售量为(50010)x件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润

20、=销售量每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x元，则销售单价为(50)x元，销售量为(500 10)x件 根据题意，得(500 10)(50)408000 xx 解得110 x，230 x 经检验，110 x，230 x 都符合题意 当10 x 时，5060 x，50010400 x；当30 x 时，5080 x，50010200 x 所以，要赚取 8000 元的利润，售价应定为 60 元或 80 元售价定为 60 元时，应进货 400件；售价定为 80 元时，应进货 200 件【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解 15阅

21、读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程3220 xxx，可以通过因式分解把它转化为2(2)0 x xx，解方程0 x 和220 xx，可得方程3220 xxx的解。（1）问题：方程3220 xxx的解是10 x，2x _，3x _。（2）拓展：用“转化”思想求方

22、程43xx的解。（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长6ADm，宽4ABm，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C。求 AP 的长。【答案】（1）2，-1;（2）1，3 ;（3）3m.【解析】【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；（3）设 AP 的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整

23、式方程，求解即可.【详解】（1）x3-x2-2x=0，x（x2-x-2）=0，x（x-2）（x+1）=0 所以 x=0 或 x-2=0 或 x+1=0 x1=0，x2=2，x3=-1；故答案为：2，-1；（2）43xx 方程的两边平方，得 4x-3=x2 即 x2-4x+3=0（x-3）（x-1）=0 x-3=0 或 x-1=0 x1=3，x2=1，当 x=3 或 1 时,43x有意义，故是方程的解.（3）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 A=D=90，AB=CD=4m,设 AP=xm，则 PD=（6-x）m 因为 BP+CP=10，BP=22216APABx,CP=22216(6)DCPDx,所以216(6)x=10-216x 两边平方，得 16+(6-x)2=100-20216x+x2+16 整理，得 3x+16=5216x,两边平方并整理，得 x2-6x+9=0 即（x-3）2=0 所以 x=3 经检验，x=3 是方程的解 答：AP 的长为 3m【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法解无理方程是注意到验根解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键