第三章高考专题突破一第2课时.docx

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1、第2课时导数与方程题型一求函数零点个数*师生共研例 1 设函数y(X)=/2根n X, g(x)=x2 (771+ l)x, J当2三1时，讨论/(X)与g(X)图象的交点个数.解 令 F(x)=/(x)g(x)= %+(/%+l)x一mIn x, x0,问题等价于求函数F(x)的零点个数.,(x (x- m)Ff U)=-一2 当m=1时，F (x)0,函数(x)为减函数,3注意到 F(l)=0, F(4)=-ln 4 时，若 0xl 或 贝( Ff (x)0；若 lx0,所以函数F(x)在(0,1)和，+8)上单调递减，在(1,刈上单调递增, 注意到 F(l) = m+0, F(2m+2)

2、= /7tln(2m+2)0,所以F(x)有唯一零点.综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.思维升华(1)可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题.研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等， 并借助函数的大致图象判断方程根的情况.跟踪训练1设函数於)=宗一W g(X)=1 + 2,试讨论函数於)与g(X)在(0, +) 的交点个数.解 令 (x)=/U)g(x)x 2 . 1 . Inx / 小=/_+七一双4)，1x 1 . 1 Inx 1x Inx则 6,。)二h一+-=千_?.易知 / (1)=0,当 00,当 xl 时,

3、hr (x)0,函数岚工)在(0,1)上单调递增,在(1, +8)上单调递减,: /2(X)max = ( 1) = ；+ 1 m.当一；+1 2 = 0,即m=1一5时，函数/Z(X)只有一个零点， CC即函数/(X)与g(x)的图象在(0, +8)上只有1个交点；当一；+1根1；时，函数/l(x)没有零点，即函数“X)与g(x)的图象在(0, +) 上没有交点；12当一一+1m0,mm,eee1 2.若一二一220,即加w1函数/2(x)有一个零点，即函数7U)与g(x)的图象在(0, +8)上有 CC221一个交点，当一二一根0,即一公相11时，函数(x)有2个零点，即函数11时，/U)

4、与g(x)在(0, +8)上没有交点；12又 g(3 = 2一2一5,g(e) = m+2e2,当m=1 一展或根嚏时，/与g(x)在(0, +8)上有1个交点； vCg(e)g()=4e2+*0,则 g(e)vg(j,所以g(x)在P e上的最小值是g(e). _ cg(x)在已e上有两个零点的条件是g(l) =加一10,gQ) = L2一呆0,解得 lvW2+g,所以实数小的取值范围是(1, 2+4 .思维升华 函数的零点个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想.跟踪训练2已知函数/(x)=xln x, g(x)=一寸+办一

5、3(。为实数)，若方程g(x) =，U)在区间1 1e上有两个不等实根，求实数。的取值范围.解由 g(x) = 4。3可得 2xln x= -x2-ax3, a=x+21nx+二，3设 (x)=x+21n x+二(犬0), X讦”,、II 2 3 (x+3)(x1)所以 (x)=l +-=9.所以x在:，e上变化时，hr (x), /z(x)的变化情况如下：X(M1(1，e)h! (x)0+h(x)极小值又 e)=：+3e2, /?(1)=4, /z(e)=,+e4-2.2 =42。+一0.e所以 A(x)min = /i(l)=4,所以 A(x)min = /i(l)=4,人(X)max=爬

6、)=3。-2,3所以实数a的取值范围为40,解得 xe- 2,令/ (x)0,解得。x0,解得 X1,令/ (x)0,解得 OX1,所以x)在(0,1)上单调递减，在(1, +8)上单调递增.(2)/(工)=人工)=：+一3,由(1)得三即，必满足0即10, X)无零点,2当。=工时，min = 0,於)有1个零点，2当时,Xx)min。可得工2或x 1 ,由 / (x)。可得一140, o而函数/(X)恰有三个零点，故必有110CT0,则当/(一8, 1)时，/ (x)0,所以犬犬)在(一8, 1)内单调递减，在(1, +8)内单调递增.又11)=-e,12)= ，取人满足/?0且Z?枭。-

7、2) +。屹1)2 = (/?2一泰)0,故/U)存在两个零点.设 0,因此,/U)在(1, +8)内单调递增.又当xWl时，X%)1,故当(1, 111(2)时，/ (x)0.因此加0在(1, In(2a)内单调递减,在(In(2a),+8)内单调递增.又当时，/(x)0,所以1x)不存在两个零点.综上，的取值范围为(0, +).京拓展冲刺练.已知函数/U) = (34)x21nx+-3在(0, ?上无零点，求实数。的取值范围.解 当x从0的右侧趋近于0时，所以yu)0恒成立，即只需当x(0, 0时，3若恒成立.令 (x) 3 x (0则/Q)=则/Q)=221n x+一一2x(x1产再令2

8、(x) = 21nx+12, x(0贝(J-%,于是在(o,夕上, 所以公(戏0在(0, 9)上恒成立， 所以在(0, g上为增函数， 所以(幻/2(；)在(o, J上恒成立.皿x)为减函数,又 0=3一学n 2,所以心3一学n 2,故实数Q的取值范围是13学n2, +8).5 .已知函数八处=(x2)8+。(九一1产有两个零点.求。的取值范围；(2)设X, X2是“X)的两个零点，证明：汨+X2o,所以犬工)在(一8, 1)内单调递减，在(1, +8)内单调递增.又川)=-e, fi2)=a,取b满足bg(b2)+a(b 1)2=210,故/U)存在两个零点.设。0,因此x)在(1, +8)内单调递增.又当xWl时，1,故当 x(l, ln(2。)时，/ (x)0.因此40在(1, ln(2)内单调递减，在(ln( 2)，+8)内单调递增.又当xWl时，段)0,所以火x)不存在两个零点.综上，Q的取值范围为(0, +).(2)证明 不妨设 xiX2,由知，1( 8, 1),l2(1, +), 2%2e(, 1),於)在(一8, 1)内单调递减，所以Xl+X22等价于/(X1)次212),即42念)1时，gr (x)时,g(x)0.从而 g(%2)=/(2%2)0,故汨 +尤22.21当一公20；当 lxWe 时，g (x)0.故g(x)在x=l处取得极大值g(l) =加一1.