泛函分析知识点.docx

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1、泛函分析知识点知识体系概述(一),度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1 .距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d： XXX-R,使得Vx,y,zX,下列 距离公理成立：(1)非负性：d(x, y)20, d(x, y) =0Ox=y;(2)对称性：d(x, y)=d(y, x);(3)三角不等式：d(x, y) Wd(x, z)+d(z, y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作(X, d)2 .几类空间例1离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 Ca,b空间即连续函数空间例6 I2第二节 度量空

2、间中的极限，稠密集，可分空间1 .开球定义 设(X,d)为度量空间，d是距离，定义U(xo,)=x eX | d(x, xo) 为Xo的以为半径的开球，亦称为X0的 一领域.2 .极限定义 若Xn uXJxeX, st limd(x,x) = 0则称x是点列Xn 的极限.3 .有界集定义若d(A)= sup d(x,y)oo,则称A有界4 .稠密集定义 设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令而表示M的闭包，假如u面, 则称集M在集E中稠密，当E=X时称M为X的一个稠密集。5 .可分空间定义 假如X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。第三节连续映射1 .定义 设X=(X,d),Y=(Yd)

3、是两个度量空间，T是X到Y中映射，xOX,假如对于随意给定的正数,存在正数5,使对X中一切满意的x,有d(Tx,Tx。) N时，必有则称乙是X中的柯西点列或基本点列。假如度量空间（X,d）中每个柯西点列都在 （X,d）中收敛，则称（X,d）是完备的度量空间.【留意】（1） Q不是完备集R完备（2） cauchy列不肯定收敛，但收敛列肯定是cauchy歹U.（3） Ca,b完备.定理 完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的闭子空间. 第五节度量空间的完备化L定义 设（X,d） ,（3,2）是两个度量空间，假如存在X到夕上的保距映射T,即 d（7X7） = d（x），则称（X,d

4、）和（X,d）等距同构，此时T称为X到X上等距 同构映射。2 .定理1 （度量空间的完备化定理） 设X=（X,d）是度量空间，则肯定存在一完备 度量空间X=（X,d）,使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构 意义下是唯一的，即若（X,d）也是一完备度量空间，且X与X的某个稠密子空间等 A A距同构,则（X,d）与（X,d）等距同构。3 .定理r 设*=（x,d）是度量空间，则存在唯一的完备度量空间x=（x,d）,使X为X的稠密子空间。第六节压缩映射原理及其应用L定义 设X是度量空间，T是X到X中的映射，假如存在一个数a, 0a1,使得对全部的 X ,cl (Tx, 7y) ad

5、(x, y),则称T是压缩映射。2,定理1 (压缩映射定理)(即Barnach不动点定理) 设X是完备的度量空间，T是X上 的压缩映射，则T有且只有一个不动点(就是说，方程Tx=x,有且只有一个解).补充定义：若Tx=x，则称x是T的不动点。x是T的不动点ox是方程Tx=x的解。3.定理2设函数在带状域axb. oo y oo中到处连续，且到处有关于y的偏导数/; (x,y),假如还存在常数m和M满意0m fy (x,y) M,mM ,则方程/(x, y) = 0在区间可上必有唯一的连续函数) =(力作为解：/(x,(x) = 0,xe ,/?第七节线性空间1) 定义1设X是一非空集合，在X中

6、定义了元素的加法运算和实数(或复数)与X中元 素的乘法运算，满意下列条件：(1)关于加法成为交换群，即对随意x,yX,存在UX与之相对应，记为u=x+y,称为x 和y的和，满意1)九+y = y + x；2) (x+y) + z = x + (y + z)(任何x,y,zX)；3)在X中存在唯一元素6,使对任何九 X ,成立x+9 = x ,称。为X中零元素；4)对X中每个元素x,存在唯一元素xeX ,使x + x = 6,称为x的负元素，记为一x； (2)对于X中每个元素xeX,及随意实数(或复数)a,存在元素ucX与之对应，记为4=ax ,称为a与x的数积，满意1) lx = x；2)。(

7、区)=(勿?)%对随意实数(或复数)a和b成立；3) a+b)x = ax+bx.ax+y) = ax+by,则称X按上述加法和数乘运算成为线性空间或向量空间，其中的元素称为向量。假如数积 运算只对实数(复数)有意义，则称x是实(复)线性空间。例1例，对Rn中随意两点x二( 8 13 2,& n ),y=( n 1, n 2,n n)和任何实(复)数 a,定义x+y=(a +r| 拓 2 +r|2,Mn +小)，ax=(a&戒2,戏力.简单验证Rn按上述加法和数乘运算成实（复）线性空间.2 .定义2设XI ,X2,Xn是线性空间X中的向量，假如存在n个不全为零的数ai,a 2,，a 口,使a

8、1 XI +（X2 X2 +.+anXn =0,则称XI,X2，,Xn线性相关,否则称为线性无关.不难看出,XI,X2,Xn线性无关的充要条件为，若工6为=0, /=1必有a 1=Q 2h二a n=0.3 .定义3 设M是线性空间X的一个子集，假如M中随意有限个向量都线性无 关，则称M是X中线性无关子集.设M和L为X中两个子集，若M中任何向量 与L中任何向量都线性无关，则称M和L线性无关.4 .定义4 设X是线性空间,M是X中线性无关子集，假如.spanM二X,则称M的 基数为X的维数，记为dimX,M称为X的一组基.假如M的基数为有限数，则称 X是有限维线性空间,否则称X是无限维线性空间.假

9、如X只含零元素，称X为零 维线性空间.第八节 赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间.定义1设X是实（或复）的线性空间，假如对每个向量xX,有一个确定的实数, 记为II x II与之对应，并且满意：1 II x II 20,且 II x II =0 等价于 x=0;2 II a x II =| a | | x II其中a为随意实（复）数；3 II x+y II l,： + 5 = l, / e 句,g w /，回则 f(t)g(t)在 a,b上L可积，并且3引理2（Minkowski不等式）设p2 lgLPa,b,则f+gLPa,b,并且成立不等式II f+g II p II f II p

10、+ II g II p.定理1当pNl时,LPa,b按（6）中范数II f II P成为赋范线性空间.4 .定理 2 U a,b（p2l）是 Banach 空间.5 .定理3设X是n维赋范线性空间,el,e2,en是X的一组基，则存在常数M和 M,使得对一切k=成立 1 （nM|x| “蝌,k=7.推论1设在有限维线性空间上定义了两个范数II x II和H x II ,则必存在常数M和 M，,使得Mllxll llxll llxll.6 .定义2设(R J x II i )和但2 , II x II 2 )是两个赋范线性空间.假如存在从Ri到R2上的线性映射6和正数ci使得对一切xRi成立ci

11、 II 6x II 2W II x | 1WC2 II x II 2则称(Ril x II D和(R2J x II 2)这两个赋范空间是拓扑同构的.7 .推论2任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼 此拓扑同构.(二)有界线性算子和连续线性泛函第一节有界线性算子和连续线性泛函定义1设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间,D是X的线性子空间,T为D到Y中的映射，假如对任何x,y D,及数a，有T(x+y尸 Tx+Ty,(l)T(ax)=aTx, (2)则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T),TD称为T的值域，记为R(T),当T取值于实(或

12、复)数域时，就称T为实(或复)线性泛函.定义2设X和Y是两个赋范线性空间,T是X的线性子空间D(T)到Y中的线性算子，假如存 在常数c,使对全部xD(T),有II Tx II Wc II x II,则称T是D(T)到Y中的有界线性算子，当D(T)= X时，称T为X到Y中的有界线性算子，简称 为有界算子.对于不满意条件(3)的算子，称为无界算子.本书主要探讨有界算子.定理1设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条 件为T是X上连续算子.定理2设X是赋范线性空间,f是X上线性泛函，则f是X上连续泛函的充要条件为f的零空 间N是X中的闭子空间定义3 T为赋范线性空间X

13、的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称IlTxll|T| = sup -4) xhO X xeD(T)为算子T在D(T)上的范数.引理1设T是D(T)上有界线性算子，则T = sup |7x = sup Tx(6)xeD(T)xeD(T)W=1蝌日m.有界线性算子和连续线性泛函的例子例6赋范线性空间X上的相像算子例二a x是有界线性算子，且II T II =| a 特殊II Ix II =1, IIO II =0.第二节 有界线性算子空间和共辗空间I.有界线性算子全体所成空间定理1当Y是Banach空间时,B(X-Y)也是Banach空间.II.共辗空间定义1设X是赋范线性空间，令X,表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称 为X的共辗空间.定理2任何赋范线性空间的共辗空间是Banach空间.定义2设X和Y是两个赋范线性空间,T是X到Y中的线性算子，并且对全部xX,有II Tx II = II x II ,则称T是X到Y中的保距算子，假如T又是映射到Y上的，则称T是同构映射, 此时称X与Y同构.