《固体物理-徐智谋》晶格振动和晶体的热力学.ppt

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1、晶格振动和晶体的热学性质晶格振动和晶体的热学性质 凌福日 在前些章节介绍晶体的微观结构中，为了便于在前些章节介绍晶体的微观结构中，为了便于显示出晶体微观结构的内禀特征，将组成晶体的各原显示出晶体微观结构的内禀特征，将组成晶体的各原子集团各用一个位置固定的几何点来代替构成子集团各用一个位置固定的几何点来代替构成 Bravais格子或将组成晶体的各个原子各用一个位置格子或将组成晶体的各个原子各用一个位置固定的小球来代替构成晶格，这里显然忽略了原子的固定的小球来代替构成晶格，这里显然忽略了原子的运动。运动。实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我们，即使实际上，物质是在不断运动的，量子力学告诉我们

2、，即使达到绝对零度，仍具有零点能的振动。达到绝对零度，仍具有零点能的振动。对一个双原子气体分子，其热运动包括平动对一个双原子气体分子，其热运动包括平动(三个自由度三个自由度)；振动；振动(一个自由度一个自由度)；转动；转动(二个自由度二个自由度)；当气态分子凝；当气态分子凝固成固态物质时，平动及转动消失，振动成为热运动的本固成固态物质时，平动及转动消失，振动成为热运动的本质。质。固体物质的振动强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、固体物质的振动强烈地影响着物质的比热、热导、热膨胀、光反射等物理性质。本章将介绍晶格振动是如何影响这些光反射等物理性质。本章将介绍晶格振动是如何影响这些物理性质的。物

3、理性质的。假定在晶体中有假定在晶体中有N个带正电荷个带正电荷Ze的离子实，相应的离子实，相应地有地有NZ个价电子，那么该系统的哈密顿量为个价电子，那么该系统的哈密顿量为:哈密顿量中有哈密顿量中有5部分组成，前两项为电子的动能和部分组成，前两项为电子的动能和电子之间的相互作用能，三、四项为离子实动能电子之间的相互作用能，三、四项为离子实动能和相互作用能和相互作用能,第五项为电子与离子实之间的相互第五项为电子与离子实之间的相互作用能。这是一个非常复杂多体问题，不做简化作用能。这是一个非常复杂多体问题，不做简化处理根本不可能求解。处理根本不可能求解。绝热近似绝热近似 用一个均匀分布的负电荷产生的常量

4、用一个均匀分布的负电荷产生的常量势场来描述电子对离子运动的影响。势场来描述电子对离子运动的影响。将电子的运动和离将电子的运动和离子的运动分开子的运动分开。基于将离子、电子划分为两个子系统。基于将离子、电子划分为两个子系统而分别加以处理的理论简化方案，分别形成了晶格动力而分别加以处理的理论简化方案，分别形成了晶格动力学和固体电子论两大分支。学和固体电子论两大分支。预处理预处理 晶体中：各原子相互作用很强晶体中：各原子相互作用很强、很复杂。、很复杂。原子振动原子振动：彼此关联：彼此关联；极为复杂。；极为复杂。1、原子幅度远小于原子间距微振动、原子幅度远小于原子间距微振动：用经典力学：用经典力学论研

5、究论研究。2、原子振动：不是简谐振动，极其复杂，研究变、原子振动：不是简谐振动，极其复杂，研究变得极为困难！得极为困难！原子相对其平衡位置运动的偏离振幅一般很小，原子相对其平衡位置运动的偏离振幅一般很小，所以认为原子所受回复力与位置偏离呈线性关系所以认为原子所受回复力与位置偏离呈线性关系是相当好的近似，这种近似成为本章讨论简谐晶是相当好的近似，这种近似成为本章讨论简谐晶格动力学的基础。格动力学的基础。进一步可将以相互作用彼此耦合着的原子运动用进一步可将以相互作用彼此耦合着的原子运动用称之为格波的简谐平面波这一形式来处理。称之为格波的简谐平面波这一形式来处理。晶体中原子的经典运动表现为各原子围绕

6、其晶格晶体中原子的经典运动表现为各原子围绕其晶格格点这一平衡位置做微小振动，因此晶体中原子格点这一平衡位置做微小振动，因此晶体中原子的这种经典振动通常又被形象地称之为晶格振动。的这种经典振动通常又被形象地称之为晶格振动。格波的研究格波的研究（分两个步骤进行）（分两个步骤进行）先计算原子之间的相互作用力先计算原子之间的相互作用力根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程在本节中，首先将在简谐近似下建立起晶格振动在本节中，首先将在简谐近似下建立起晶格振动的经典力学方程。然后，分别针对一维的经典力学方程。然后，分别针对一维Bravais晶晶格、一维双原子复式

7、晶格和三维复式晶格，通过格、一维双原子复式晶格和三维复式晶格，通过利用晶体的平移对称性来求解晶格振动的经典力利用晶体的平移对称性来求解晶格振动的经典力学方程，从而揭示出晶格振动的格波特征。学方程，从而揭示出晶格振动的格波特征。4.1一维单原子链的振动一维单原子链的振动 为了避免数学上的复杂和烦琐，先来研究一为了避免数学上的复杂和烦琐，先来研究一 维的晶格振动。维的晶格振动。一维的晶格振动既容易求解又能一维的晶格振动既容易求解又能较全面地反映晶格振动的基本特征，由此所获得较全面地反映晶格振动的基本特征，由此所获得的一维晶格振动的规律既有助于理解又可合理推的一维晶格振动的规律既有助于理解又可合理推

8、断出三维晶格振动的规律。断出三维晶格振动的规律。一维无限长原子链一维无限长原子链：个质量同为的相同原子以：个质量同为的相同原子以的间距周期性地排列在一条长为的直线段上，的间距周期性地排列在一条长为的直线段上，如图所示。如图所示。原子之间的作用力原子之间的作用力 第第n个原子离开平衡位置的位移个原子离开平衡位置的位移第第n个原子和第个原子和第n1个原子间的相对位移个原子间的相对位移第第n个原子和第个原子和第n1个原子间的距离个原子间的距离平衡位置时，两个原子间的互作用势能平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移发生相对位移 后，相互作用势能后，相互作用势能-平衡位置势能，平衡位置势能，常数

9、常数平衡位置平衡位置a处，有处，有在位置在位置a a附近将势能函数用级数展开：附近将势能函数用级数展开：势能展式中只保留到二阶项，振动很微弱势能展式中只保留到二阶项，振动很微弱简谐近似简谐近似。相邻原子间的作用力相邻原子间的作用力 恢复力常数（胡克定律）恢复力常数（胡克定律）实验表明实验表明 第个第个n原子所受其它原子施加的合力：原子所受其它原子施加的合力：作为初步研究的起点，只计入相邻原子之间的相互作为初步研究的起点，只计入相邻原子之间的相互作用而可以忽略相距更远的原子之间的相互作用，作用而可以忽略相距更远的原子之间的相互作用，这种近似可称为相邻作用近似。这种近似可称为相邻作用近似。在相邻作

10、用近似和简谐近似下，一维单原子在相邻作用近似和简谐近似下，一维单原子晶格中相互作用极为复杂的原子简化为用原晶格中相互作用极为复杂的原子简化为用原长为长为a、弹性系数为、弹性系数为的相同弹簧将质量同为的相同弹簧将质量同为的的N个小球逐个串结成直线段。个小球逐个串结成直线段。原子的运动方程原子的运动方程只考虑相邻原子的作用，第只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力个原子受到的作用力每一个原子运动方程类似每一个原子运动方程类似方程的数目和原子数相同方程的数目和原子数相同 由由Newton第二定律可得到在相邻作用近似和简谐近似下第第二定律可得到在相邻作用近似和简谐近似下第n个原个原子经典振动的晶

11、格振动方程子经典振动的晶格振动方程对于方程：对于方程：上式的求解需要给出边界条件和初始条件，如两端上式的求解需要给出边界条件和初始条件，如两端固定的边界条件得出我们熟知的驻波固定的边界条件得出我们熟知的驻波(standing wave)解；对于不考虑边界的情况，则以行波解解；对于不考虑边界的情况，则以行波解(traveling wave)来描述。来描述。晶格振动方程晶格振动方程由于简谐振动由于简谐振动设方程组的试设方程组的试探解探解naq 第第n个原子振动相位因子个原子振动相位因子得到得到应用三角公式应用三角公式连续介质中的机械波连续介质中的机械波波数波数格波方程格波方程格波的意义格波的意义晶

12、体中的格波晶体中的格波 格波和连续介质波具有完全类似的形式，格波和连续介质波具有完全类似的形式，一个格波一个格波表示的是所有原子同时做频率为表示的是所有原子同时做频率为 的振动的振动波长波长 格波的波形图格波的波形图 简谐近似下，格波是简谐平面波简谐近似下，格波是简谐平面波 向向上上的的箭箭头头代代表表原子沿原子沿X轴向右振动轴向右振动 向向下下的的箭箭头头代代表表原子沿原子沿X轴向左振动轴向左振动格波波长格波波长格波波矢格波波矢格波相速度格波相速度不同原子间相位差不同原子间相位差格波方程格波方程相邻原子的相位差相邻原子的相位差色散概念来自于光学，不同频率的光在同一介质色散概念来自于光学，不同

13、频率的光在同一介质中的传播速度不同，于是产生色散，频率与波矢中的传播速度不同，于是产生色散，频率与波矢之间的关系叫色散关系。之间的关系叫色散关系。格波频率格波频率波矢关系（色散关系）波矢关系（色散关系）频率是波数的偶函数频率是波数的偶函数 色散关系色散关系 q空间的周期空间的周期频率极小值频率极小值频率极大值频率极大值只有频率在只有频率在 之间的格波才能在晶体中传播，之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减其它频率的格波被强烈衰减 低通滤波器低通滤波器（光学透镜）（光学透镜）色散关系色散关系格波格波这里需要特别指出：这里需要特别指出：1）频率）频率波矢关系中脚标波矢关系中脚标n已被

14、消去，意味着所已被消去，意味着所有原子的运动方程都有相同的频率有原子的运动方程都有相同的频率波矢关系波矢关系2）意味着格波解代表着一种简正模式的格波。）意味着格波解代表着一种简正模式的格波。格波格波 长波极限长波极限况况 当当 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致，格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致，振动不再是振动不再是独立的，而是相互关联的。结果就是形成准弹性波，即振动以独立的，而是相互关联的。结果就是形成准弹性波，即振动以波的形式传播。波的形式传播。长波极限下长波极限下短波极限下短波极限下相邻两个原子振动相位差相邻两个原子振动相位差 晶格可看作是连续介质晶格可看作是连续介质 相邻原子

15、的振动相位相反相邻原子的振动相位相反 波矢的取值的取值范围波矢的取值的取值范围相邻原子相位差相邻原子相位差 原子的振动状态相同原子的振动状态相同格波格波1的波矢的波矢相邻原子相位差相邻原子相位差例子：例子：格波格波格波格波2的波矢的波矢相邻原子的位相差相邻原子的位相差两种波矢两种波矢q1和和q2的格波中，原子的振动完全相同，说明这的格波中，原子的振动完全相同，说明这是周期函数是周期函数因此对波矢的取值可限制在因此对波矢的取值可限制在第一布里渊区第一布里渊区 相邻原子的相位差取值相邻原子的相位差取值由此可知，波矢由此可知，波矢q1的格波与的格波与q2的格波是等价的。的格波是等价的。为了使波矢能够

16、一一对应地描述某一对应的格波，为了使波矢能够一一对应地描述某一对应的格波，必须把波矢限在一定的范围内，使它既能概括所必须把波矢限在一定的范围内，使它既能概括所有的格波，同时又没有相差有的格波，同时又没有相差2n的波矢的存在。的波矢的存在。只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题其它区域不能提供新的物理内容其它区域不能提供新的物理内容波矢的取值波矢的取值 第一布里渊区第一布里渊区 晶格振动方程：线性差分方程组，一般情况下其晶格振动方程：线性差分方程组，一般情况下其求解极为困难。求解极为困难。1）方便求解原子的运动方程。在一维原子链两端的两个原方便求解原子的运动方程

17、。在一维原子链两端的两个原子运动只有一个相邻原子，这样其运动方程与其他内部原子运动只有一个相邻原子，这样其运动方程与其他内部原子截然不同，这就给整个联立方程组带来很大的困难。子截然不同，这就给整个联立方程组带来很大的困难。2）与实验吻合的比较好。边界的原子和内部的原子一样无）与实验吻合的比较好。边界的原子和内部的原子一样无时无刻不在运动，因此实际上无论什么边界条件都与实验时无刻不在运动，因此实际上无论什么边界条件都与实验不符，但为了求解，必须有一个边界条件，波恩不符，但为了求解，必须有一个边界条件，波恩卡门周卡门周期性边界条件是目前一个比较好的边界条件。期性边界条件是目前一个比较好的边界条件。

18、引入波恩引入波恩卡门条件的理由卡门条件的理由3）选取）选取Born-Von Karman边界条件，还可以抵消边界条件，还可以抵消有限理想晶体的边界面对其平移对称性的破坏，从有限理想晶体的边界面对其平移对称性的破坏，从而使有限理想晶体显露出源于其微观结构周期性的而使有限理想晶体显露出源于其微观结构周期性的内在禀性：平移对称性内在禀性：平移对称性玻恩卡门（玻恩卡门（Born-Karman）周期性边界条件）周期性边界条件 一一维维单单原原子子晶晶格格看看作作无无限限长长，所所有有原原子子是是等等价价的的，每个原子的振动形式都一样每个原子的振动形式都一样 实实际际的的晶晶体体为为有有限限，形形成成的的

19、链链不不是是无无穷穷长长，链链两两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述头的原子不能用中间原子的运动方程来描述 N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点 处理问题时考虑处理问题时考虑 到环链的循环性到环链的循环性 N很大，原子运动近似为直线运动很大，原子运动近似为直线运动设第设第n个原子的位移个原子的位移再增加再增加N个原子之后个原子之后第第N+n个原子的位移个原子的位移则有则有要求要求 h为整数为整数波矢的取值范围波矢的取值范围h N个整数值，波矢个整数值，波矢q 取取N个不同的分立值个不同的分立值 第一布里渊区包含第一布里渊区包含N个状态个

20、状态每个波矢在第一布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区的线度第一布里渊区的线度第一布里渊区状态数第一布里渊区状态数波矢波矢问题：利用波动学解释为什么q=/a+/7a是沿负x方向传播而 q=/a-/7a是沿正x方向传播？上节总结一维无限长原子链一维无限长原子链：个质量同为的相同原子以：个质量同为的相同原子以的间距周期性地排列在一条长为的直线段上，的间距周期性地排列在一条长为的直线段上，如图所示。如图所示。相邻原子间的作用力相邻原子间的作用力 恢复力常数（胡克定律）恢复力常数（胡克定律）原子的运动方程原子的运动方程只考虑相邻原子的作用，第只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的

21、作用力个原子受到的作用力 由由Newton第二定律可得到在相邻作用近似和简谐近似下第第二定律可得到在相邻作用近似和简谐近似下第n个原个原子经典振动的晶格振动方程子经典振动的晶格振动方程晶格振动方程晶格振动方程由于简谐振动由于简谐振动设方程组的解设方程组的解naq 第第n个原子振动相位因子个原子振动相位因子得到得到应用三角公式应用三角公式则有则有要求要求波矢的取值范围波矢的取值范围利用波恩卡门条件利用波恩卡门条件定态薛定谔方程Hnn=Enn该波函数n具备正交性和完备性，因此可以作为坐标系（即定义一个希尔伯特空间），即任何一个波函数都可以在这个空间展开（也称为基函数）。0 满足上述要求，因此可作为

22、基函数。由于周期性的边界条件，波矢q取分立的不同值，所以晶格中的每一个原子的振动是一些独立振动模式的叠加。4.2一维双原子链的振动 实际应用的晶体材料大多是复式晶格，由于原子的实际应用的晶体材料大多是复式晶格，由于原子的多样性或原子之间相互作用的多样性必然会导致晶多样性或原子之间相互作用的多样性必然会导致晶体中原子振动的多样性，因此这种多样性应该会在体中原子振动的多样性，因此这种多样性应该会在晶格振动中表现出来，从而使得复式晶格振动的规晶格振动中表现出来，从而使得复式晶格振动的规律和特征与律和特征与Bravais晶格存在重大差别。所以，有晶格存在重大差别。所以，有必要进一步研究复式晶格中的晶格

23、振动，以便揭示必要进一步研究复式晶格中的晶格振动，以便揭示出晶格振动的普遍规律和特征。出晶格振动的普遍规律和特征。下面，仍以一维为例，来进一步研究最简单的双原下面，仍以一维为例，来进一步研究最简单的双原子复式晶格的振动。子复式晶格的振动。一维复式格子的情形一维复式格子的情形 一维无限长链一维无限长链(系统有系统有N个原胞个原胞)原胞包含两种原子原胞包含两种原子m和和M(M m)-构成一维构成一维 复式格子复式格子 M原子位于原子位于2n-1，2n+1，2n+3 m原子位于原子位于2n，2n+2，2n+4 同种原子间的距离同种原子间的距离2a晶格常数晶格常数由于晶格中有由于晶格中有N个原胞，有个

24、原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程 第第2n个个m原子的方程原子的方程 运用运用Newton第二定律，可得在相邻作用近似和简谐第二定律，可得在相邻作用近似和简谐近似下一维双原子复式晶格的晶格振动方程近似下一维双原子复式晶格的晶格振动方程 作为初步研究的起点，采用相邻作用近似和简谐近似作为初步研究的起点，采用相邻作用近似和简谐近似 简谐波是最简单而又最基本的波动；因此格波具有简谐波是最简单而又最基本的波动；因此格波具有以下形式的解：以下形式的解：方程解的形式方程解的形式由于质量的不同，两种原子振动的振幅由于质量的不同，两种原子振动的振幅A和和B一般来说是

25、一般来说是不同的不同的 若若 A、B有非零的解，则系数行列式为零有非零的解，则系数行列式为零 第第2n+1个个M原子原子 第第2n个个m原子原子方程的解方程的解上式说明：在一维复式晶格中存在上式说明：在一维复式晶格中存在两种独立的格波，即：两种独立的格波，即：上式表明：相应于一维双原子复式晶格中两种不同的上式表明：相应于一维双原子复式晶格中两种不同的原子和原子之间相互作用的两种不同情况原子和原子之间相互作用的两种不同情况，晶体中的原，晶体中的原子振动呈现出两种不同的色散关系。子振动呈现出两种不同的色散关系。光学波光学波 声学波声学波两种格波的振幅两种格波的振幅现在考察各支格波原胞中的两个原子的

26、位移有什么特性。现在考察各支格波原胞中的两个原子的位移有什么特性。A为为m原子的晶格振动振幅，原子的晶格振动振幅，B为为M原子的晶格原子的晶格振动振幅。振动振幅。两种格波中两种格波中m和和M原子振动振幅之比原子振动振幅之比 光学波光学波 声学波声学波较轻的较轻的m原子静止不动，相邻较重的原子振动的相位相反原子静止不动，相邻较重的原子振动的相位相反 时时m和和M原子振动的振幅原子振动的振幅声学波声学波光学波光学波较重的较重的M原子静止不动，相邻较轻的原子振动的相位相反原子静止不动，相邻较轻的原子振动的相位相反 长波极限长波极限声学波声学波 声学波的色散关系与一声学波的色散关系与一 维布喇菲格子形

27、式相同维布喇菲格子形式相同 长声学波中相邻原子的振动长声学波中相邻原子的振动 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 代表原胞质心的振动代表原胞质心的振动光学波光学波 长波极限长波极限 长光学波同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反长光学波同种原子振动相位一致，相邻原子振动相反 原胞质心原胞质心 保持不变的振动，原胞中原子之保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动间相对运动 两种格波中两种格波中m和和M原子振动振幅之比原子振动振幅之比长光学波与电磁波的作用长光学波与电磁波的作用 在长波极限下，对于典型的在长波极限下，对于典型的 和和 值值 对应于

28、远红外的光波对应于远红外的光波 远红外光波激发离子远红外光波激发离子 晶体，可引起晶体中晶体，可引起晶体中 长光学波的共振吸收长光学波的共振吸收光波的频率光波的频率 波矢远远小于一般格波的波矢，只有波矢远远小于一般格波的波矢，只有 的长光学的长光学 波可以与远红外的光波发生共振吸收波可以与远红外的光波发生共振吸收 将可以与光波作将可以与光波作 用的长光学波声用的长光学波声 子称为电磁声子子称为电磁声子相邻原胞相位差相邻原胞相位差 M和和m原子方程原子方程q的取值的取值波矢波矢q的值的值 第一布里渊区第一布里渊区 布里渊区大小布里渊区大小周期性边界条件周期性边界条件 h为整数为整数每个波矢在第一

29、布里渊区占的线度每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区允许的第一布里渊区允许的q值的数目值的数目 晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目 对应一个对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为总的格波数目为2N：原子的数目原子的数目:2Nq的取值的取值色散关系色散关系的特点的特点 短波极限短波极限两种格波的频率两种格波的频率因为因为 Mm 不存在格波不存在格波 频率间隙频率间隙 一维双原子晶格一维双原子晶格 叫做带通滤波器叫做带通滤波器 例例2:一维一维无限无限长原子链，原子质量为长原子链，原子质量为m和和M，且且mM。靠靠的较近的两个原子构成一个

30、分子。设一个分子内两原子平衡位的较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为置的距离为b，恢复力系数为恢复力系数为 1=1，分子间两原子间的，分子间两原子间的恢复力系恢复力系数为数为 2=5，晶格常量为晶格常量为a(如图所示如图所示)，求色散关系，求色散关系。a2n-22n2n+12n+22n-1Mmb 1 2解解:只考虑最近邻原子只考虑最近邻原子间间的相互作用，的相互作用，将试探解代入方程得将试探解代入方程得:据玻恩据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢卡门周期性边界条件，可以确定波矢q的取值。的取值。0(+)-光学支格波，光学支格波，A(-)-声学支格波声学支格波 q可

31、取可取N个值。个值。4.3简正坐标和格波的量子论 晶格格波晶格格波晶格振动晶格振动前面讨论的晶格格波：前面讨论的晶格格波：原子振动原子振动 只考虑最近邻原子之间的相互作用只考虑最近邻原子之间的相互作用把把N个原子的振动连起来个原子的振动连起来行进的格波行进的格波偏离平衡位置的位移矢量偏离平衡位置的位移矢量原子的位置原子的位置第第n个原子的平衡位置个原子的平衡位置3个方向上的分量个方向上的分量N个原子的位移矢量个原子的位移矢量 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开取取平衡位置平衡位置 不计高阶项不计高阶项系统的势能函数系统的势能函数系统的哈密顿量系统的哈密

32、顿量系统的势能函数系统的势能函数系统的动能函数系统的动能函数 含有坐标的交叉项含有坐标的交叉项即，即，整个晶体的振动整个晶体的振动un的更普遍的形式是所有格的更普遍的形式是所有格波运动的叠加：波运动的叠加：由由N个原子构成的晶体中，原子的振动一般是个原子构成的晶体中，原子的振动一般是3N个简正振动模式的叠加个简正振动模式的叠加这里就是格波坐标N是一维晶格的原胞总数。依照周期性边界条件是一维晶格的原胞总数。依照周期性边界条件：因此格波的坐标也有因此格波的坐标也有N个个时间时间 t 进行求导进行求导对对将上式代入系统的动能和势能将上式代入系统的动能和势能最后得到系统的总能量最后得到系统的总能量 由

33、于上式中的格波坐标是复数，现用两个实数变量由于上式中的格波坐标是复数，现用两个实数变量代替它们代替它们由此求出由此求出经过这样的变换，系统的总能量写成：经过这样的变换，系统的总能量写成：这是这是N个简谐振子的能量之和，实数格波坐标个简谐振子的能量之和，实数格波坐标xp相当相当于谐振子的坐标，动量于谐振子的坐标，动量Pp是是xp的共轭动量。的共轭动量。拉格朗日函数拉格朗日函数正则动量正则动量 从上述可知它们满足经典力学哈密顿正则方程。因此从上述可知它们满足经典力学哈密顿正则方程。因此xp既是既是谐振子坐标，又是正则坐标，因而称之为简正坐标。谐振子坐标，又是正则坐标，因而称之为简正坐标。正则方程正

34、则方程哈密顿方程哈密顿方程只考察某一个振动模只考察某一个振动模系统能量本征值计算系统能量本征值计算正则动量算符正则动量算符谐振子方程谐振子方程能量本征值能量本征值本征态函数本征态函数厄密多项式厄密多项式能量最低的六个束缚本征态的波函数表征（n=0 到 7）。系统能量本征值系统能量本征值系统本征态函数系统本征态函数N个原子组成的晶体个原子组成的晶体系统薛定谔方程系统薛定谔方程换句话说，它的实质是代表以波矢为换句话说，它的实质是代表以波矢为q，频率为，频率为wq的的格波模式的集体振动状态。格波模式也称简正模。格波模式的集体振动状态。格波模式也称简正模。结论结论 振动模振动模 简正坐标代表所有原子共

35、同参与的一个振动简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动简正振动简正振动 所有原子参与的振动，振动频率相同所有原子参与的振动，振动频率相同上节总结在一维复式晶格中存在在一维复式晶格中存在两种独立的格波，即：两种独立的格波，即：光学波光学波 声学波声学波 两种格波中两种格波中m和和M原子振动振幅之比原子振动振幅之比第一布里渊区允许的第一布里渊区允许的q值的数目值的数目 晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目 对应一个对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波有两支格波：一支声学波和一支光学波 总的格波数目为总的格波数目为2N：原子的数目原子的数目:2Nq的取值的取值晶格格波晶格格波晶格振动晶格振动利用

36、独立简谐振子描述格波的独立模式，这就是声子概念的由来。声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子。拉格朗日函数拉格朗日函数正则动量正则动量 从上述可知它们满足经典力学哈密顿正则方程。因此从上述可知它们满足经典力学哈密顿正则方程。因此xp既是既是谐振子坐标，又是正则坐标，因而称之为简正坐标。谐振子坐标，又是正则坐标，因而称之为简正坐标。正则方程正则方程哈密顿方程哈密顿方程能量本征值能量本征值本征态函数本征态函数厄密多项式厄密多项式系统能量本征值系统能量本征值系统本征态函数系统本征态函数N个原子组成的晶体个原子组成的晶体系统薛定谔方程系统薛定谔方程4.4三维晶格的振动模 三维晶格的振动三维晶格的振动

37、三维复式格子三维复式格子各原子偏离格点的位移各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目晶体的原胞数目原子的质量原子的质量第第l个原胞的位置个原胞的位置原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置 一个原胞中有一个原胞中有n个原子个原子第第k个原子运动方程个原子运动方程 原子在三个方向上的位移分量原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有一个原胞中有3n个类似的方程个类似的方程原子位移方程的解原子位移方程的解将方程解代回将方程解代回3n个运动方程个运动方程 3n个线性齐次方程个线性齐次方程 系数行列式为零条件，得到系数行列式为零条件，得到3n个个3n个线性齐次方程个线性齐次方程长波极限长波极限3个个 趋于一致趋于

38、一致 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波支声学波3n3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相 对运动对运动3n3支光学波支光学波结论结论 晶体中一个原胞中有晶体中一个原胞中有n个原子组成个原子组成 有有3支声学波和支声学波和3n3支光学波支光学波波矢波矢 波矢空间的波矢空间的3个基矢个基矢三维晶格中的波矢三维晶格中的波矢 倒格子基矢倒格子基矢 3个系数个系数采用波恩卡曼边界条件采用波恩卡曼边界条件波矢波矢波矢空间一个点占据的体积波矢空间一个点占据的体积 倒格子原胞体积倒格子原胞体积状

39、态密度状态密度波矢的取值波矢的取值_ h1h2h3 原子振动波函数原子振动波函数波矢改变一个倒格矢波矢改变一个倒格矢 不同原胞之间相位联系不同原胞之间相位联系 原子振动状态一样原子振动状态一样k的取值限制在一个倒格子原胞中的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区第一布里渊区 个取值个取值对应于一个波矢对应于一个波矢q 3支声学波和支声学波和3n3支光学波支光学波总的格波数目总的格波数目 晶体中原子的坐标数目晶体中原子的坐标数目晶格振动总的能量晶格振动总的能量 晶格振动能量量子晶格振动能量量子 声子声子_Phonon声子谱的中子散射实验测定 确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法 晶

40、格振动的频率和波矢间的关系晶格振动的频率和波矢间的关系 晶格振动的振动谱晶格振动的振动谱晶格振动的振动谱测定方法晶格振动的振动谱测定方法 中子非弹性散射中子非弹性散射 光子与晶格的非弹性散射光子与晶格的非弹性散射 X射线散射射线散射布里渊散射和拉曼散射布里渊散射和拉曼散射1 中子非弹性散射中子非弹性散射 入射晶体时中子的动量和能量入射晶体时中子的动量和能量出射晶体后中子的动量和能量出射晶体后中子的动量和能量 能量守恒能量守恒能量守恒能量守恒动量守恒动量守恒倒格子矢量倒格子矢量声子的准动量声子的准动量 中子的能量中子的能量 0.020.04 eV 声子的能量声子的能量 10 2 eV测得各个方位

41、上入射中子和散射中子的能量差测得各个方位上入射中子和散射中子的能量差 确定声子的频率确定声子的频率 从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近，测从反应堆出来的慢中子的能量与声子的能量接近，测 定中子散射前后能量变化，直接给出声子能量的信息定中子散射前后能量变化，直接给出声子能量的信息 根据入射中子和散射中子方向的几何关系根据入射中子和散射中子方向的几何关系 确定声子的波矢确定声子的波矢 得到声子的振动谱得到声子的振动谱2 光子与晶格的非弹性散射光子与晶格的非弹性散射 入射光子的频率和波矢入射光子的频率和波矢散射光子散射光子 作用过程满足作用过程满足能量守恒能量守恒动量守恒动量守恒 入射光子受

42、到声子散射，变成散射光子，与此同时在入射光子受到声子散射，变成散射光子，与此同时在 晶格中放出，或者吸收一个声子晶格中放出，或者吸收一个声子 固定入射光的频率和入射方向，测量不同方向的散固定入射光的频率和入射方向，测量不同方向的散 射光的频率，可以得到声子的振动谱射光的频率，可以得到声子的振动谱 入射光子受到声子散射，在晶格中放出一个声子入射光子受到声子散射，在晶格中放出一个声子 或者吸收一个声子或者吸收一个声子1)光子与长声学波声子相互作用光子与长声学波声子相互作用 光子的布里渊散射光子的布里渊散射 长声学波声子长声学波声子光子的频率光子的频率如果光子波矢与声子波矢大小近似相等如果光子波矢与

43、声子波矢大小近似相等 可见光光子的波矢可见光光子的波矢 105 cm-1 光子被长声学波声子散射，人射光子与散射光子的光子被长声学波声子散射，人射光子与散射光子的 波矢大小近似相等波矢大小近似相等长声学波声子的波矢近似地写成长声学波声子的波矢近似地写成 不同角度方向测得散射光子的频率，得到声子频率不同角度方向测得散射光子的频率，得到声子频率声子的波矢声子的波矢声子振动谱声子振动谱散射光和入射光的频率位移散射光和入射光的频率位移 布里渊散射布里渊散射2)光子与光学波声子的相互作用光子与光学波声子的相互作用 光子的拉曼散射光子的拉曼散射 能量守恒能量守恒动量守恒动量守恒 光子的拉曼散射限于光子与长

44、光学波声子的相互作用光子的拉曼散射限于光子与长光学波声子的相互作用 可见光或红外光波矢很小可见光或红外光波矢很小 要求声子的波矢必须很小要求声子的波矢必须很小散射光和入射光频率位移散射光和入射光频率位移3 X光非弹性散射光非弹性散射 X光光子具有更高的频率光光子具有更高的频率(波矢可以很大波矢可以很大)，可以用来研，可以用来研 究声子的振动谱究声子的振动谱 X射线的能量射线的能量 10 4 eV 远远大于声子能量远远大于声子能量 10 2 eV 在实验技术上很难精确地直接测量在实验技术上很难精确地直接测量X光在散射前后的光在散射前后的 能量差，因此确定声子的能量是很困难的能量差，因此确定声子的

45、能量是很困难的 4.5离子晶体的光频模与电磁波耦合 极化：电介质内的正、负电荷做微观的相对移动，结极化：电介质内的正、负电荷做微观的相对移动，结果在电介质内部或表面出现带电的现象果在电介质内部或表面出现带电的现象 P=Pe/V式中式中Pe 是分子电偶极矩，是分子电偶极矩，V 是电介质内宏观小、是电介质内宏观小、微观大的体积元。微观大的体积元。P=0E 实验表明，在各向同性电介质中的任一点，实验表明，在各向同性电介质中的任一点，极化强度极化强度P和电场和电场E的方向相同且大小成正比的方向相同且大小成正比 波长很长的光学波：长光学波波长很长的光学波：长光学波晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动

46、晶格中的声学波中相邻原子都沿同一方向振动光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动光学波中，原胞中不同的原子相对地作振动 波长很长的声学波：长声学波波长很长的声学波：长声学波离子晶体的长光学波离子晶体的长光学波 正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化正负离子组成的晶体，长光学波使晶格出现宏观极化 离子晶体的光频频率离子晶体的光频频率10-13s-1，波长波长 原胞的线度原胞的线度长光波光频模能够对电磁波的传播产生重要的影响长光波光频模能够对电磁波的传播产生重要的影响1.长光学波的宏观方程长光学波的宏观方程 两种正负离子组成的复式格子两种正负离子组成的复式格子_立方晶体立方晶体 长光学波长光

47、学波 极化波极化波 半波长内，正离子半波长内，正离子组成的布喇菲原胞同向组成的布喇菲原胞同向位移，负离子组成的布位移，负离子组成的布喇菲原胞反向位移喇菲原胞反向位移 晶体出现宏观极化晶体出现宏观极化a)纵模b)横模有效电场：离子晶体的宏观极化产生了一个宏观的极化电场E，作用在某离子的电场不包含该离子自身产生的电场，所以作用在该离子的电场等于整体宏观电场减去该离子产生的电场。对于立方晶格，洛伦兹提出有效电场的大小：离子晶体的极化有两部分组成1）正负离子的相对位移产生的电偶极矩，称为离子位移极化2）离子自身的电子云在有效电场的作用下，其中心与原子核不重合，离子本身也成了电偶极子，这部分称为电子位移

48、极化。离子位移极化一个原胞内的离子位移偶极矩为：一个原胞内的离子位移偶极矩为：对于长光学波，同种原子的位移相同，则：对于长光学波，同种原子的位移相同，则：电子位移极化离子总的位移极化再考虑离子的运动方程再考虑离子的运动方程原胞中的两个正负离子质量原胞中的两个正负离子质量两个正负离子的位移两个正负离子的位移描述长光学波运动的宏观量描述长光学波运动的宏观量 原胞体积原胞体积折合质量折合质量黄昆方程黄昆方程 正负离子相对运动位移产生的极正负离子相对运动位移产生的极 化和宏观电场产生的附加极化化和宏观电场产生的附加极化 离子相对运动的动力学方程离子相对运动的动力学方程 宏观极化强度和宏观电场强度宏观极

49、化强度和宏观电场强度从黄昆方程可以看出，格波与电场耦合在一起，这种从黄昆方程可以看出，格波与电场耦合在一起，这种耦合波具有何种特点？耦合波具有何种特点？横向位移与纵向位移分开：横向位移与纵向位移分开：假定晶体内没有自由电荷：假定晶体内没有自由电荷：将电场分为有旋场与无旋场：将电场分为有旋场与无旋场：将将E、P代入上式，得：代入上式，得：得到纵向位移引起的纵向电场的关系式得到纵向位移引起的纵向电场的关系式由黄昆方程由黄昆方程将上式的有旋场和无旋场分开将上式的有旋场和无旋场分开上式是两个简谐振动方程，可以得到横波振上式是两个简谐振动方程，可以得到横波振动频率和纵波振动频率动频率和纵波振动频率但黄昆

50、方程中的系数但黄昆方程中的系数难以确定难以确定可以通过晶体宏观常数求出可以通过晶体宏观常数求出1)静电场下晶体的介电极化静电场下晶体的介电极化 恒定电场下恒定电场下由黄昆方程由黄昆方程和和 比较比较因为因为2)高频电场下晶体的介电极化高频电场下晶体的介电极化 电场的频率远远高于晶格振动的频率电场的频率远远高于晶格振动的频率通过晶体宏观常数求出黄昆方程中的系数通过晶体宏观常数求出黄昆方程中的系数利戴恩-萨克斯-特勒关系由黄昆方程1）由于一般来说静电介电常数 总是大于光频介电常数 ，所以长光学纵波的频率 总是大于长光学横波的频率2）有些晶体在某一温度下，介电常数即产生了自发极化，原子具有一定质量，