《空间向量的正交分解及其坐标表示》.ppt

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1、空间向量的正交分解空间向量的正交分解及其坐标表示及其坐标表示由平面向量基本定理知,平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示.arbrarbr=x +yarbr那么，对于空间的任意一个向量,有没有类似的结论呢?xyzQPO一、空间向量基本定理：空间向量基本定理：如图，设 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O。对于空间任意一个向量 ,设点Q为点P在 所确定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在 所确定的平面上，存在实数 z，使得 ,而在 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前数对(x,y)，使得 .kzOQOP+=kOQ,从而，有：我们称 为向量 在 上的分向量。

2、由此可知，如果 是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一个向量 ，存在一个有序实数组x,y,z,使得xyzQPO 在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的 向量,能得到类似的结论吗？空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ,存在有序实数组x,y,z，使得 叫做空间的一个基底，都叫做基向量。思考：空间所有向量的集合 ,x,y,zR思考思考:基底应注意什么呢基底应注意什么呢?1.任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底2.三个基向量每一个都不能为零向量3.一个基底是指一个向量组,一个基向量是指一个向量二、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOe3PPPe1e2

3、例例1 设设 且且 是空是空间的一个基底间的一个基底,给出下列向量组给出下列向量组 ,其中可以作为空间的基底的向量组有其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个分析分析:能否作为空间的基底能否作为空间的基底,即是判即是判断给出的向量组中的三个下向量是断给出的向量组中的三个下向量是否共面否共面,由于由于 是不共面的向是不共面的向量量,所以可以构造一个平行六面体所以可以构造一个平行六面体直观判断直观判断A1AD1C1B1DCB设 ,易判断出答案C例题讲解：例题讲解：BANCOMQP例例2、如图，、如图，M，N分别是四面体分别是四面体OABC的边的边OA，BC

4、的中点，的中点，P，Q是是MN的三等分点。用向量的三等分点。用向量 表示表示 和和 。变式空间四边形空间四边形OABC中中,M在在OA上上,OM=3MA,N在在BC上上,且且BN=2NC,设设 ,用向量用向量 表示表示CBMNOA小结：小结：1、选定空间不共面的三个向量作为基向、选定空间不共面的三个向量作为基向量量,并用它们表示出指定的向量并用它们表示出指定的向量,是用向是用向量解决立体几何问题的基本要求；量解决立体几何问题的基本要求；2、求解时要结合已知和所求观察图形、求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式联想相关的运算法则和公式,就近表示所就近表示所需向量需向量,再对照目标进行调整再对照目标进行调整,直到符合直到符合要求要求.作业作业：课本：课本P98P98：10 1110 11