《自动控制理论教学课件》二数学模型.ppt

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1、自动控制理论第二讲 控制系统的数学模型2/12/20231第二讲 控制系统的数学模型本章主要包括以下内容l建立系统数学模型的目的建立系统数学模型的目的l物理系统的动态描述数学模型物理系统的动态描述数学模型l建立系统数学模型的一般步骤建立系统数学模型的一般步骤l非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化l传递函数传递函数l控制系统的传递函数控制系统的传递函数l系统方块图及其变换系统方块图及其变换l系统信号流图与梅逊公式系统信号流图与梅逊公式2/12/20232第二讲 控制系统的数学模型建立控制系统数学模型的目的l用于对现存控制系统的研究用于对现存控制系统的研究：控制系统的数学模控制系统的数学模

2、型代表了对系统特性的认识，在对系统知道的更型代表了对系统特性的认识，在对系统知道的更多时还可以修改和扩展模型。多时还可以修改和扩展模型。l在实际系统尚不存在时，可以借助模型来预测设在实际系统尚不存在时，可以借助模型来预测设计思想和不同控制策略的效果计思想和不同控制策略的效果：从而避免建造试从而避免建造试验系统所带来的费用浪费，以及由此所带来的危验系统所带来的费用浪费，以及由此所带来的危险。险。l控制系统数学模型的建立对控制系统的研究（分析）与设计（综合）具有重要意义。2/12/20233第二讲 控制系统的数学模型物理系统的动态描述数学模型l每一个自动控制系统都是由若干元件组成的。每个元件在每一

3、个自动控制系统都是由若干元件组成的。每个元件在系统中都有各自的功能，它们相互配合，就构成了一个完系统中都有各自的功能，它们相互配合，就构成了一个完整的控制系统，共同实现对某个物理量（整的控制系统，共同实现对某个物理量（被控制量被控制量）的控）的控制，而满足所要求的特定规律。制，而满足所要求的特定规律。l如果把控制系统中各物理量（如果把控制系统中各物理量（变量变量）之间的关系用数学表）之间的关系用数学表达式描述出来，就得到了此控制系统的达式描述出来，就得到了此控制系统的数学模型数学模型。l在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间关系的

4、数学方程称为间关系的数学方程称为静态模型静态模型。l各变量在动态过程中的数学方程，称为各变量在动态过程中的数学方程，称为动态模型动态模型。在自动。在自动控制系统的分析中，主要是研究动态模型。控制系统的分析中，主要是研究动态模型。2/12/20234第二讲 控制系统的数学模型l在自然界里，许多物理系统，无论是机械的、电气的、在自然界里，许多物理系统，无论是机械的、电气的、液压的，还是气动的、热力的，都可以通过微分方程来液压的，还是气动的、热力的，都可以通过微分方程来加以描述。加以描述。l在微分方程中，各变量的导数表示了它们随时间变化的在微分方程中，各变量的导数表示了它们随时间变化的特性，如一阶导

5、数表示速度，二阶导数表示加速度等。特性，如一阶导数表示速度，二阶导数表示加速度等。因此微分方程完全可以描述系统的动态特性。因此微分方程完全可以描述系统的动态特性。l微分方程微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种。是物理系统数学模型中最基本的一种。2/12/20235第二讲 控制系统的数学模型l系统的数学模型可以用系统的数学模型可以用实验法实验法和和分析法分析法建立。建立。l试验法试验法：对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统对实际系统加入一定形式的输入信号，求取系统的输出响应，然后对这些输入输出数据进行处理，从而的输出响应，然后对这些输入输出数据进行处理，从而获得系统的数学模型。获得系统

6、的数学模型。l分析法分析法：根据系统内部的变化机理，从元件或系统所依据根据系统内部的变化机理，从元件或系统所依据的物理或化学规律出发，建立数学模型并经实验验证。的物理或化学规律出发，建立数学模型并经实验验证。l机械系统的牛顿定律、能量守恒定律，电学系统的基尔霍机械系统的牛顿定律、能量守恒定律，电学系统的基尔霍夫定律等，都是建立系统数学模型所依据的基础。夫定律等，都是建立系统数学模型所依据的基础。l对系统的微分方程求解，就可以获得系统在外部控制作用对系统的微分方程求解，就可以获得系统在外部控制作用下的动态响应。下的动态响应。2/12/20236第二讲 控制系统的数学模型l同一个控制系统的数学模型

7、可以有许多不同的形式。如对连同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式。如对连续系统，除了续系统，除了微分方程微分方程外，还有外，还有传递函数传递函数、频率特性频率特性等。等。l各种数学模型之间可以互相转换，采用那种数学模型取决于各种数学模型之间可以互相转换，采用那种数学模型取决于建立数学模型的目的和控制方法。建立数学模型的目的和控制方法。l对于一个具体的系统，其内部结构、元件参数、特性以及外对于一个具体的系统，其内部结构、元件参数、特性以及外部干扰等，总是错综复杂的，为了在分析系统中，既不包罗部干扰等，总是错综复杂的，为了在分析系统中，既不包罗万象，把系统数学模型搞得很复杂，又不忽略主要因

8、素，而万象，把系统数学模型搞得很复杂，又不忽略主要因素，而失去系统的准确性，必须对系统有全面透彻的了解。失去系统的准确性，必须对系统有全面透彻的了解。l一个合理的数学模型应当既能准确地反映系统的动态特性，一个合理的数学模型应当既能准确地反映系统的动态特性，又具有较简单的形式。又具有较简单的形式。2/12/20237第二讲 控制系统的数学模型l为了建立合理的数学模型，通常都进行一定的简化和线性为了建立合理的数学模型，通常都进行一定的简化和线性化。应当特别重视在建立数学模型过程中所作的化。应当特别重视在建立数学模型过程中所作的假设假设。l实际系统都在不同程度上存在非线性和分布参数特性，如实际系统都

9、在不同程度上存在非线性和分布参数特性，如果这些因素对系统特性的影响不大时，可将其忽略不计。果这些因素对系统特性的影响不大时，可将其忽略不计。例如：例如：在低频工作时，可不计弹簧质量、导线的分布电容等；但在高频工作时就不能忽略这些因素的影响。当工作点在磁化曲线或放大器特性的线性段时，可将它们看做线性的；但当工作点在大范围内变动超出线性段时，采用线性化的模型就会带来较大误差。l必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围，否则可能必须注意建立数学模型的前提条件和适用范围，否则可能得出错误的结论。得出错误的结论。2/12/20238第二讲 控制系统的数学模型系统数学模型建立实例2/12/20239第二讲

10、 控制系统的数学模型RLC串联电路示意图由电阻R、电感L、电容C组成的R-L-C电路，输入量为ur（t），输出量为uc（t），求该电路的微分方程（数学模型）2/12/202310第二讲 控制系统的数学模型RLC串联电路的数学模型l根据基尔霍夫定律：根据基尔霍夫定律：l消去中间变量：消去中间变量：l此即此即R-L-C电路的数学模型（输入输出模型），它描述了电路的数学模型（输入输出模型），它描述了输入输入ur（t）和输出和输出uC（t）之间的动态关系。之间的动态关系。2/12/202311第二讲 控制系统的数学模型机械平移系统示意图l由弹簧质量阻尼器组成的机械由弹簧质量阻尼器组成的机械平移系统，外

11、力平移系统，外力f（t）为输入信号，为输入信号，位移位移y（t）为输出信号，列写其运为输出信号，列写其运动方程式。动方程式。lk弹簧的弹性系数；弹簧的弹性系数；m运动部运动部件的质量；件的质量；阻尼器的粘性摩擦阻尼器的粘性摩擦系数；系数；2/12/202312第二讲 控制系统的数学模型机械平移系统的特点l在机械系统中，通常研究在机械系统中，通常研究力（或转矩）与位移（或角力（或转矩）与位移（或角位移）位移）的因果关系。的因果关系。l组成机械系统的基本元件有：组成机械系统的基本元件有：弹簧（或弹性轴）、阻弹簧（或弹性轴）、阻尼器和运动部件尼器和运动部件。l阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置，所产生

12、的阻力阻尼器是一种产生粘性摩擦阻力装置，所产生的阻力与运动速度成正比。阻尼器不储存能量，它将动能转与运动速度成正比。阻尼器不储存能量，它将动能转化为热能消耗掉。化为热能消耗掉。2/12/202313第二讲 控制系统的数学模型机械平移系统的基本关系l假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：l设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：l阻尼器的阻尼力为：阻尼器的阻尼力为：2/12/202314第二讲 控制系统的数学模型机械

13、平移系统的数学模型l根据牛顿定律：根据牛顿定律：可得可得l此即机械平移系统以外力此即机械平移系统以外力f（t）为输入信号，位移为输入信号，位移y（t）为输出信号的运动方程式，即数学模型为输出信号的运动方程式，即数学模型2/12/202315第二讲 控制系统的数学模型相似系统l电系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统，但它电系统和机械平移系统虽然是不同的物理系统，但它们的微分方程却具有相同的形式，称为们的微分方程却具有相同的形式，称为相似系统相似系统。l相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路的动态特性研究机械系统的动态特性。的动态特性研究机械

14、系统的动态特性。l由于电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因此由于电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因此常采用电子电路来模拟其它实际系统，这种方法称为常采用电子电路来模拟其它实际系统，这种方法称为电子模拟技术电子模拟技术。l通过数字计算机求解系统的微分方程（或状态方程）通过数字计算机求解系统的微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性，称为来研究实际系统的动态特性，称为计算机仿真技术计算机仿真技术。2/12/202316第二讲 控制系统的数学模型恒定磁场他激直流电动机示意图u（t）电枢电压，为控制输入；ml（t）作用在电动机轴上的总负载转矩，为扰动输入；（t）电动机的转角，为输出量。

15、假设电机轴上总转动惯量J是常数，各种机械转矩全部归并到负载转矩中，传输轴是刚性轴，电动机电枢电路的电阻、电感全部归并到电枢总电阻R、电感L中。2/12/202317第二讲 控制系统的数学模型恒定磁场他激直流电动机的基本关系l根据基尔霍夫定律、牛顿定律、直流电机特性：根据基尔霍夫定律、牛顿定律、直流电机特性：R，L电枢回路总电阻和总电感，电枢回路总电阻和总电感，H；i电枢电流，电枢电流，A；e电动机反电势，电动机反电势，V；u电枢电压，电枢电压，V；Ce电势系数，电势系数，V.s/rad；J电动机轴上总转动惯量，电动机轴上总转动惯量，kg.m2；m，ml电磁转矩、负载转矩，电磁转矩、负载转矩，N

16、.m；Cm转矩系数，转矩系数，N.m/A。2/12/202318第二讲 控制系统的数学模型恒定磁场他激直流电动机的数学模型l方程联立求解，消去中间变量方程联立求解，消去中间变量i，e，m：l 电动机的机电时间常数，电动机的机电时间常数，s；l 电动机的电磁时间常数，电动机的电磁时间常数，s；l 电枢电压作用系数，电枢电压作用系数，rad/(V.s)l 负载转矩作用系数，负载转矩作用系数，)。2/12/202319第二讲 控制系统的数学模型l若系统的输出量为转速若系统的输出量为转速n（r/min），），：l则则l不同物理系统可以有相同形式的数学模型；不同物理系统可以有相同形式的数学模型；l同一系

17、统如果所选的输入量、输出量不同时，数学模同一系统如果所选的输入量、输出量不同时，数学模型会不同。型会不同。2/12/202320第二讲 控制系统的数学模型建立系统数学模型的一般方法l由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的，因此由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的，因此要正确建立系统的运动方程式，首先必须研究系统中要正确建立系统的运动方程式，首先必须研究系统中各个元件的运动方程式，以及这些元件在控制系统中各个元件的运动方程式，以及这些元件在控制系统中相互联系时的彼此影响等。相互联系时的彼此影响等。l在列写系统和各元件的运动方程式时，一般需将系统在列写系统和各元件的运动方程式时，一般需将系统

18、划分成若干环节以使问题简化。划分成若干环节以使问题简化。l所谓环节，是指可以组成独立的运动方程式的某一部所谓环节，是指可以组成独立的运动方程式的某一部分。环节可以是一个元件，也可能是一个元件的一部分。环节可以是一个元件，也可能是一个元件的一部分或者由几个元件组成。分或者由几个元件组成。2/12/202321第二讲 控制系统的数学模型建立系统数学模型的一般步骤l分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定待研究系统的待研究系统的输入量输入量和和输出量输出量。l将系统划分为将系统划分为单向环节单向环节，并确定各个环节的输入量和，并确定各个环节的输入量

19、和输出量。输出量。（所谓单向环节是指其后面的环节无负载效（所谓单向环节是指其后面的环节无负载效应，即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有应，即后面环节存在与否对当前环节的动态特性没有影响）影响）l根据支配系统动态特性的规律，从系统的输入端开始，根据支配系统动态特性的规律，从系统的输入端开始，依次列写组成系统依次列写组成系统各环节的运动方程式各环节的运动方程式，组成联立方，组成联立方程组。程组。2/12/202322第二讲 控制系统的数学模型l对联立方程组进行对联立方程组进行简化简化、线性化和增量化线性化和增量化，并消去中，并消去中间变量，得到只包含系统输入量和输出量的方程式，间变量，得到只

20、包含系统输入量和输出量的方程式，即系统的输出模型。即系统的输出模型。l将该方程式化为标准形式。即将与输入量有关的各项将该方程式化为标准形式。即将与输入量有关的各项放在方程的右边，而与输出量有关的各项放在方程的放在方程的右边，而与输出量有关的各项放在方程的左边，并将各导数项按降幂排列。左边，并将各导数项按降幂排列。2/12/202323第二讲 控制系统的数学模型非线性数学模型的线性化l工程实践中遇到的系统和元件的输入输出特工程实践中遇到的系统和元件的输入输出特性或多或少存在着非线性。例如：性或多或少存在着非线性。例如：放大器在大信号输入时输出出现饱和；放大器在大信号输入时输出出现饱和；磁化曲线有

21、饱和和磁滞回环；磁化曲线有饱和和磁滞回环；齿轮传动中有间隙。齿轮传动中有间隙。l为了便于研究，对非线性程度不严重的系统，为了便于研究，对非线性程度不严重的系统，总是尽可能地将非线性数学模型转换成近似的总是尽可能地将非线性数学模型转换成近似的线性模型。线性模型。2/12/202324第二讲 控制系统的数学模型应用小偏差线性化方法应注意的问题l所得的数学模型只有在所取的平衡工作点附近的小范围所得的数学模型只有在所取的平衡工作点附近的小范围内才能保证线性化的准确性。内才能保证线性化的准确性。l通过小偏差线性化方法，通常得到的是经过简化、线性通过小偏差线性化方法，通常得到的是经过简化、线性化、增量化的

22、微分方程，即使变量前省去了化、增量化的微分方程，即使变量前省去了“”，也，也应将变量理解为增量。经过增量化以后，相当于把坐标应将变量理解为增量。经过增量化以后，相当于把坐标原点移到平衡工作点这时各变量的初始条件为零。原点移到平衡工作点这时各变量的初始条件为零。l当系统有本质非线性特性时（非线性特性有间断点、转当系统有本质非线性特性时（非线性特性有间断点、转折点和非单值关系），不能采用小偏差线性化方法。折点和非单值关系），不能采用小偏差线性化方法。2/12/202325第二讲 控制系统的数学模型微分方程的求解与不足l微分方程是在时间域里描述控制系统动态性能的数学模型。微分方程是在时间域里描述控制

23、系统动态性能的数学模型。l在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出特性。这种方法比较直观，特别是借助于电子计算机，输出特性。这种方法比较直观，特别是借助于电子计算机，可迅速准确地求得结果。然而不用计算机，则求解微分方程，可迅速准确地求得结果。然而不用计算机，则求解微分方程，特别是高阶微分方程的计算工作相当复杂。特别是高阶微分方程的计算工作相当复杂。l在时间域里直接求解微分方程，难于找出微分方程的系数在时间域里直接求解微分方程，难于找出微分方程的系数（由组成系统的元件的参数决定）对方程解（一般为系统的（由组成系统的元件的参数决定

24、）对方程解（一般为系统的被控制量被控制量输出量）的影响的一般规律，一旦求得的结果不输出量）的影响的一般规律，一旦求得的结果不满足要求，便无法从解中找出改进方案。因此这种方法不便满足要求，便无法从解中找出改进方案。因此这种方法不便于对系统进行分析和设计。于对系统进行分析和设计。2/12/202326第二讲 控制系统的数学模型传递函数传递函数l在在拉氏变换拉氏变换的基础上，引入描述线性定常系统的基础上，引入描述线性定常系统（或元件）在（或元件）在复数域中的数学模型传递函数复数域中的数学模型传递函数，不仅可以表征系统的动态性能，而且可以借以研不仅可以表征系统的动态性能，而且可以借以研究系统的结构或参

25、数变化对系统性能的影响。究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。l在经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，在经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，都是在传递函数基础上建立起来的。都是在传递函数基础上建立起来的。2/12/202327第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换l工程技术上常用傅立叶方法分析线性系统，因为任何周期工程技术上常用傅立叶方法分析线性系统，因为任何周期函数都可展开为含有许多正弦分量的傅氏级数，而任何非函数都可展开为含有许多正弦分量的傅氏级数，而任何非周期函数可表示为傅氏积分，从而可将一个时间域的函数周期函数可表示为傅氏积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数傅

26、立叶变换。变换为频率域的函数傅立叶变换。l工程实践中，常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不工程实践中，常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不能满足傅氏变换的条件，如果对这种函数稍加处理，一般能满足傅氏变换的条件，如果对这种函数稍加处理，一般都能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普拉斯变换。都能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普拉斯变换。l拉氏变换是求解线性微分方程的简捷工具，同时也是建立拉氏变换是求解线性微分方程的简捷工具，同时也是建立系统传递函数的数学基础。系统传递函数的数学基础。2/12/202328第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的定义l以时间以时间t为自变量、定义域为为自变量、定义域

27、为t 0的的函数函数f（t）的拉氏变换）的拉氏变换定义为：定义为：式中：式中：s为复变量，为复变量，s j；l一个函数一个函数f（t）可以进行拉氏变换的充分条件（狄里赫利）可以进行拉氏变换的充分条件（狄里赫利条件）是：条件）是：在在t0时，时，f（t）0；在在t 0的任一有限区间内，的任一有限区间内，f（t）是分段连续的；）是分段连续的；积分积分 。l在工程实际中，上述条件通常是满足的。在工程实际中，上述条件通常是满足的。F（s）称为象函）称为象函数，数，f（t）称为原函数。）称为原函数。2/12/202329第二讲 控制系统的数学模型常用函数的拉普拉斯变换l单位阶跃函数：单位阶跃函数：l单位

28、阶跃函数的拉氏变换：单位阶跃函数的拉氏变换：l幅度为幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为：的阶跃函数的拉氏变换为：2/12/202330第二讲 控制系统的数学模型l单位脉冲函数单位脉冲函数：（幅值：（幅值1/t0与作用时间与作用时间t0的乘积等于的乘积等于1）l单位脉冲函数的拉氏变换：单位脉冲函数的拉氏变换：2/12/202331第二讲 控制系统的数学模型l当冲击函数的幅值为当冲击函数的幅值为A/t0，与作用时间的乘积，与作用时间的乘积等于等于A时：时：2/12/202332第二讲 控制系统的数学模型l单位斜坡函数单位斜坡函数：l单位斜坡函数的拉氏变换：单位斜坡函数的拉氏变换：l斜率为斜率为A的斜坡

29、函数的拉氏变换为：的斜坡函数的拉氏变换为：2/12/202333第二讲 控制系统的数学模型l指数函数指数函数：l指数函数的拉氏变换：指数函数的拉氏变换：2/12/202334第二讲 控制系统的数学模型l正弦函数正弦函数：l正弦函数的拉氏变换：正弦函数的拉氏变换：l余弦函数余弦函数的拉氏变换：的拉氏变换：2/12/202335第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-线性定理线性定理若若g（t）f1（t）f2（t）则则G（s）F1（s）F2（s）即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。若若g（t）Af（t）则则G（s）AF（s）即函数的即函数的

30、A（实数）倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的（实数）倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的A倍。倍。2/12/202336第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-衰减定理衰减定理l若g（t）f（t）eat 则G（s）F（sa）。A为实数2/12/202337第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-延迟定理延迟定理l若g（t）f（ta），则G（s）easF（s）。即一个函数是另一个函数延时即一个函数是另一个函数延时a后再现，则它的象后再现，则它的象函数是另一个函数象函数的函数是另一个函数象函数的eas倍。倍。2/12/202338第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-比例定理比例定理l若

31、若g（t）f（t/a），则），则G（s）aF（as）。）。即若一个函数在时间上展宽（或压缩）即若一个函数在时间上展宽（或压缩）a倍，则它的象函数在复平倍，则它的象函数在复平面上向原点将收缩（或伸展）面上向原点将收缩（或伸展）a倍。当倍。当a1时，时，g（t）将被压缩。）将被压缩。2/12/202339第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-时间时间t乘函数乘函数f（t）2/12/202340第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-微分定理微分定理若若 则则 。当初始条件当初始条件f（0）0时，时，G（s）sF（s）。）。2/12/202341第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的

32、性质-微分定理微分定理l若若 则则l当当f（0）0，f（1）（0）0，f（n1）（0）0时，时，2/12/202342第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-积分定理积分定理l若若 则则 。当初始条件当初始条件g（0）0时，时，。2/12/202343第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-积分定理积分定理l若若 则则f1（0）在在t0处的值；处的值；f2（0）在t0处的值；2/12/202344第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-初值定理初值定理l若函数若函数f（t）在）在t0处无脉冲分量，则函数的初值为：处无脉冲分量，则函数的初值为：2/12/202345第二讲 控制

33、系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-终值定理终值定理l若函数若函数F（s）在虚轴及右半平面没有极点，但极限存在，）在虚轴及右半平面没有极点，但极限存在，则原函数的终值为：则原函数的终值为：2/12/202346第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-卷积定理卷积定理l若函数若函数f1（t）与）与f2（t）当）当t0时都等于零，则称积分时都等于零，则称积分 为为f1（t）卷积）卷积f2（t），记作），记作f1（t）*f2（t）；）；同样称积分同样称积分 为为f2（t）卷积）卷积f1（t），记作），记作f2（t）*f1（t）。）。l若若f1（t）与）与f2（t）均满足狄里赫利条件，则卷积的拉氏

34、变换）均满足狄里赫利条件，则卷积的拉氏变换等于两函数拉氏变换之积。即等于两函数拉氏变换之积。即2/12/202347第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯变换的性质-卷积定理卷积定理 2/12/202348第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯反变换l由拉氏变换的象函数由拉氏变换的象函数F（s）求原函数）求原函数f（t）的运算称）的运算称拉氏反变换。拉氏反变换。l求解复杂，不便于工程应用。求解复杂，不便于工程应用。l对于大多数控制系统，可避免积分，而是利用部分分对于大多数控制系统，可避免积分，而是利用部分分式展开，化象函数为拉氏变换表中包含的形式，查表式展开，化象函数为拉氏变换表中包含的形式，查表得到

35、原函数。得到原函数。2/12/202349第二讲 控制系统的数学模型l在控制系统中，拉氏变换在控制系统中，拉氏变换F（s）可写成下列一般形式：）可写成下列一般形式：l因式分解：因式分解：l只包含不同实极点的情况只包含不同实极点的情况l包含共轭复数极点的情况包含共轭复数极点的情况l包含多重极点的情况包含多重极点的情况2/12/202350第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯反变换只包含不同实极点l实例2/12/202351第二讲 控制系统的数学模型 2/12/202352第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯反变换包含共轭复数极点 l实例 2/12/202353第二讲 控制系统的数学模型l 2/12/

36、202354第二讲 控制系统的数学模型拉普拉斯反变换包含多重极点2/12/202355第二讲 控制系统的数学模型 2/12/202356第二讲 控制系统的数学模型利用拉氏变换求解微分方程l考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为方程变换为s域的代数方程。域的代数方程。l求解微分方程，得到微分方程在求解微分方程，得到微分方程在s域的解。域的解。l求求s域的拉氏反变换，即得到微分方程的解。域的拉氏反变换，即得到微分方程的解。微分方程微分方程解（解（T域）域）求解代数方程代数方程解（解（S域）域）求解正变换反变换2/12/2023

37、57第二讲 控制系统的数学模型l例：例：l求解：求解：2/12/202358第二讲 控制系统的数学模型控制系统的传递函数l对一个线性定常系统（或元件），在零初始条件对一个线性定常系统（或元件），在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比值，叫做该系统（或该元件）的的比值，叫做该系统（或该元件）的传递函数传递函数。2/12/202359第二讲 控制系统的数学模型R-L-C电路的传递函数l微分方程：微分方程：l设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得：设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得：lR-L-C电路的传递函数：电路的传递函数：2/12/2

38、02360第二讲 控制系统的数学模型一般系统的传递函数l传递函数的定义传递函数的定义：对于线性定常系统（元件），在零：对于线性定常系统（元件），在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比值。变换的比值。l一般系统的微分方程：一般系统的微分方程：2/12/202361第二讲 控制系统的数学模型l拉氏变换（零初始条件）：拉氏变换（零初始条件）：l系统的传递函数：系统的传递函数：lD(s)特征多项式；系统的阶次特征多项式；系统的阶次2/12/202362第二讲 控制系统的数学模型l系统的输入输出与传递函数的关系：系统的输入输出与传递函数的

39、关系：l传递函数的方块图：传递函数的方块图：G(S)G(S)R(S)R(S)Y(S)Y(S)传递函数的方块图传递函数的方块图2/12/202363第二讲 控制系统的数学模型传递函数的性质l系统（或元件）的传递函数也是描述其动态特性的数学模型系统（或元件）的传递函数也是描述其动态特性的数学模型的一种，它和系统（元件）的运动方程式是相互的一种，它和系统（元件）的运动方程式是相互一一对应一一对应的。的。若给定了系统（或元件）的运动方程式，则与之对应的系统若给定了系统（或元件）的运动方程式，则与之对应的系统的传递函数便可唯一地确定。的传递函数便可唯一地确定。l传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是

40、系统传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统固有的固有的特性特性，与输入信号类型及大小无关，与初始条件无关。，与输入信号类型及大小无关，与初始条件无关。l传递函数和微分方程一样，是从实际物理系统中抽象出来的，传递函数和微分方程一样，是从实际物理系统中抽象出来的，它只反映系统中输出信号和输入信号之间的变化规律，而它只反映系统中输出信号和输入信号之间的变化规律，而不不表征系统的物理结构表征系统的物理结构。不同物理结构的系统，可以有相同的。不同物理结构的系统，可以有相同的传递函数。同一个系统中，不同物理量之间对应的传递函数传递函数。同一个系统中，不同物理量之间对应的传递函数也不相同。也不相同。

41、2/12/202364第二讲 控制系统的数学模型l由于传递函数的分子分母多项式的各项系数是由系统的由于传递函数的分子分母多项式的各项系数是由系统的物理参数组成的，而物理参数总是实数，所以各多项式物理参数组成的，而物理参数总是实数，所以各多项式的的系数均为实数系数均为实数。l由于实际系统总有惯性，且系统信号的能量总是有限的，由于实际系统总有惯性，且系统信号的能量总是有限的，因此实际系统中有因此实际系统中有n m。l传递函数的零极点形式：传递函数的零极点形式：2/12/202365第二讲 控制系统的数学模型l传递函数的拉氏变换是系统的脉冲响应。传递函数的拉氏变换是系统的脉冲响应。R(s)=L（t）

42、1C(s)=G(s)R(s)=G(s)L-1C(s)=L-1G(s)=g(t)l系统的脉冲响应系统的脉冲响应g(t)与系统的传递函数与系统的传递函数G(s)有单值对应有单值对应关系，都可以用于表征系统的动态特性。关系，都可以用于表征系统的动态特性。2/12/202366第二讲 控制系统的数学模型典型环节的传递函数l线性系统的传递函数：线性系统的传递函数：2/12/202367第二讲 控制系统的数学模型l分子、分母具有零根：分母sv；l分子、分母具有实数根：2/12/202368第二讲 控制系统的数学模型l分子、分母具有共轭复根：分子、分母具有共轭复根：2/12/202369第二讲 控制系统的数

43、学模型l系统传递函数：系统传递函数：2/12/202370第二讲 控制系统的数学模型l放大环节（比例）：放大环节（比例）：Kl一阶微分环节：一阶微分环节：l二阶微分环节：二阶微分环节：l积分环节：积分环节：l惯性环节：惯性环节：l振荡环节：振荡环节：2/12/202371第二讲 控制系统的数学模型典型环节的传递函数比例环节l输出量以一定比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后。输出量以一定比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后。l运动方程式：运动方程式：l传递函数：传递函数：l实例：实例：电位器电位器：输入电压输出电压：输入电压输出电压共射极晶体管放大器共射极晶体管放大器：输入电流输出电流：输入电流

44、输出电流集成运算放大器集成运算放大器：输入电压输出电压：输入电压输出电压测速机测速机：转速电压：转速电压齿轮箱齿轮箱：主动轴转速从动轴转速：主动轴转速从动轴转速2/12/202372第二讲 控制系统的数学模型典型环节的传递函数惯性环节l输出量变化落后于输入量变化（含有储能元件）输出量变化落后于输入量变化（含有储能元件）l运动方程式：运动方程式：l传递函数：传递函数：l实例：实例：悬臂弹簧悬臂弹簧：左端输入位移右端输出位移：左端输入位移右端输出位移RC滤波器滤波器：电源电压电容电压：电源电压电容电压他激直流发电机他激直流发电机：激磁电压电势：激磁电压电势2/12/202373第二讲 控制系统的数

45、学模型典型环节的传递函数积分环节l输出量的变化速度和输入量成正比，即输出量与输入量呈积输出量的变化速度和输入量成正比，即输出量与输入量呈积分关系。分关系。l微分方程式：微分方程式：l传递函数：传递函数：l实例：实例：传动轴传动轴：转速转角：转速转角齿轮齿条传动齿轮齿条传动：齿轮转速齿条位移：齿轮转速齿条位移积分器积分器：输入电流输出电压：输入电流输出电压2/12/202374第二讲 控制系统的数学模型典型环节的传递函数振荡环节l包含两种储能元件，所储能量相互转换。如：位能和动包含两种储能元件，所储能量相互转换。如：位能和动能、电能和磁能。能、电能和磁能。l微分方程：微分方程：l传递函数：传递函

46、数：实例实例1：RLC振荡电路振荡电路：输入电压输出电压：输入电压输出电压实例实例2：质量弹簧阻尼器系统质量弹簧阻尼器系统：外力质量的位移：外力质量的位移2/12/202375第二讲 控制系统的数学模型典型环节的传递函数一阶微分环节l理想微分环节：输出量正比于输入量的导数。理想微分环节：输出量正比于输入量的导数。实例：实例：直流测速机直流测速机（转角电势）（转角电势）l实际微分环节实际微分环节实例：实例：RC串联微分电路串联微分电路（电源电压电阻电压）（电源电压电阻电压）2/12/202376第二讲 控制系统的数学模型l典型一阶微分环节（典型一阶微分环节（一阶比例加微分环节一阶比例加微分环节）

47、实例：RC并联微分电路（输入电压输出电流）l电位计测量角位移测速发电机测量角速度电位计测量角位移测速发电机测量角速度（角位移总（角位移总输出电压）输出电压）2/12/202377第二讲 控制系统的数学模型典型环节的传递函数二阶微分环节l微分方程式：微分方程式：l传递函数：传递函数：2/12/202378第二讲 控制系统的数学模型典型环节的传递函数延迟环节l延迟环节（时滞环节）：延迟环节（时滞环节）：输出量经延迟后才复现输入量。实例1：晶闸管整流装置（控制电压输出电压）实例2：传输带（输入流量输出流量）2/12/202379第二讲 控制系统的数学模型方块图及其变换方块图及其变换l系统的方块结构图

48、（结构图或方块图）：将各个环节用带有传递函数的方块表示，再把各个环节之间按信息传递方向用箭头相连。l系统的方块结构图不仅直观而形象地表明了系统信号的作用原理，而且定量地描述了系统的动态特性，是系统原理方块图与数学方程的结合，是用图形表示的数学模型。2/12/202380第二讲 控制系统的数学模型方块图简化规则l串联：l并联：l反馈：l单位反馈连接：2/12/202381第二讲 控制系统的数学模型定义定义l前向通道传递函数G(s)：输出量输出量Y(s)/作用误差信号作用误差信号E(s)l反馈通道传递函数H(s)：反馈信号反馈信号F(s)/输出量输出量Y(s)l开环传递函数G0(s)=G(s)H(

49、s)：反馈信号反馈信号F(s)/作用误差信号作用误差信号E(s)l闭环传递函数W(s)：输出量输出量Y(s)/输入量输入量R(s)2/12/202382第二讲 控制系统的数学模型典型反馈控制系统结构图2/12/202383第二讲 控制系统的数学模型典型反馈控制系统的传递函数l控制作用下的闭环传递函数：控制作用下的闭环传递函数：l扰动作用下的闭环传递函数：扰动作用下的闭环传递函数：2/12/202384第二讲 控制系统的数学模型l控制作用下的误差传递函数：控制作用下的误差传递函数：l扰动作用下的误差传递函数：扰动作用下的误差传递函数：2/12/202385第二讲 控制系统的数学模型信号流图l信号

50、流图是表示一组联立线性代数方程的网络图，也是一种用图形表示的数学模型。l信号流图由节点和支路组成。l信号流图可由系统的方块图按对应关系得到；也可按微分方程绘制。2/12/202386第二讲 控制系统的数学模型系统的方块图和信号流图的对应关系2/12/202387第二讲 控制系统的数学模型信号流图术语节点：节点：圆圈变量圆圈变量支路：支路：连接两个节点的有向线段连接两个节点的有向线段输入支路：输入支路：指向节点的支路指向节点的支路输出支路：输出支路：离开节点的支路离开节点的支路源节点（输入节点）：源节点（输入节点）：只有输出支路的节点（输入量）只有输出支路的节点（输入量）汇节点（输出节点）：汇节