一次函数教学研究.ppt

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1、一次函数教学研究一次函数教学研究 -刘志英刘志英(一)本章的主要内容n本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质和应用举例，用函数观点再认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组。n全章共包括三节：n111变量与函数n112一次函数n113用函数观点看方程（组）与不等式n其中，111节是全章的基础部分，112节是全章的重点内容，113节是引申的内容。（二）本章知识结构框图(三)本章的学习目标：n1以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世

2、界中变化规律的重要数学模型；n2结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；n3理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题；n4通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。(四)本章是初中数学的重点也是难点。n函数是中学数学的核心内容，是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、微积分等都与函数知识

3、有直接的联系。函数在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的,函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义，函数的教学非常重要。n函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，所以它也是本章的难点 (五五)课本在知识结构安排上是循序渐进螺旋上升的n课本按照“一次”和“二次”的数量关系，使方程和函数交替出现，即按一次方程（组）、一次函数、二次方程、二次函数的顺序螺旋上升。这样分阶段地不断深化对方程和函数的理解，克服了以前集中讲解不易理解消化的病.

4、n为了克服提前安排函数内容带来的“难点提前”的问题，教材在正式出现函数概念之前，结合代数式、方程、不等式等内容，渗透函数中变化与对应的思想，为理解函数概念做了必要的准备。(六六)课本提供了丰富的函数例证，课本提供了丰富的函数例证，帮助学生形成函数概念帮助学生形成函数概念 n对于函数的认识，课本按照了初步认识一般函数（函数概念、表示法）特殊函数（一次函数、反比例函数、二次函数）的线索展开。在讲授函数概念以及具体的函数时，都注意采用实例。采用的实例注意联系学生当前实际，提供解析式、表格、图象等“多元联系表示函数”的方法,如提供了路程与时间，售票数与票房收入，弹簧长度与悬挂重物质量，圆面积与半径，心

5、电图，人口数与年份，气温与时间等等实际问题 (六六)课本提供了丰富的函数例证，课本提供了丰富的函数例证，帮助学生形成函数概念帮助学生形成函数概念n抽象概念的学习从具体例证开始，理解抽象概念需要具体例证的支持。课本从典型实例出发引入函数概念，不仅有利于体现“函数模型”的思想，也有利于学生从各种运动变化的具体实例中理解函数的变化对应的思想，利于函数概念的形成。采用解析式、表格、图象等“多元联系表示”呈现具体实例，有利于学生抽象概括出函数概念的核心，避免了产生“只有解析式表示的才是函数”的误解。n比如:引入或解释函数等概念，例如通过候鸟飞行问题引入正比例函数，通过登山问题引入一次函数，n(七七)课本

6、安排上加强了函数与相关内容课本安排上加强了函数与相关内容的联系，用函数观点统领相关内容。的联系，用函数观点统领相关内容。n 函数、方程、不等式都可以认为是刻画数量之间的关系的，突出它们之间的联系教科书上相关位置专门设置小节，讲授函数与方程、不等式的联系，从函数角度提高对方程、不等式等内容的认识。“用函数观点看方程（组）与不等式（包括一次函数与一元一次方程一次函数与二元一次方程一次函数与一元一次不等式三个小节）”(八八)教学中要重点抓住函数的概教学中要重点抓住函数的概念念 n抓住函数概念核心，加强概念形成的教学抓住函数概念核心，加强概念形成的教学n 函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，这是

7、函数概念的核心问题。在初中阶段学习的函数概念，是从运动变化的观点出发，用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数”。它主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。(八八)教学中要重点抓住函数的概念教学中要重点抓住函数的概念 n 函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点。学生初次接触函数概念时，涉及到很多复杂的层次，包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）

8、存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。导致了学生在概括函数概念时出现障碍。另外，学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点。(八八)教学中要重点抓住函数的概念教学中要重点抓住函数的概念 n为了帮助学生形成函数概念，教学中要注意“举三反一”通过给学生大量客观世界中反映这种变化规律的实例（解析式的

9、、图象的、表格的），使学生有一个经过分析、综合、比较而概括出函数概念“单值对应”的本质属性。在此基础上，再“举一反三”用学生得到的函数概念再去看其他的对应问题，是不是符合函数概念。在这一过程中，要注意恰当地使用反例，巩固学生对于函数概念的理解。n。(八八)教学中要重点抓住函数的概念教学中要重点抓住函数的概念 n同样，对于特殊的函数（如正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等），也要注意把握其概念的核心，理解概念是一切数学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。所以对于函数概念教学的重要性要有充分的认识，要舍得花时间、花力气(八八)教学中要重点抓住函数的概念教学中要重点抓住函

10、数的概念 n加强加强概念教学的几个基本环节 n概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）n概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）n概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）(八八)教学中要重点抓住函数的概念教学中要重点抓住函数的概念 n概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）n概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。(九)指导学生要抓住几种特殊函数性质的掌握n无论是正比例函数，还是一次函数、反比例函数，学生都要掌握以下内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性等；n 学习方法的“三步曲”画函数图象，观察

11、归纳特征，数学语言描述性质；n 难点要突破：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。（十）课本加强了对知识之间内在联系,务使学生认识体会函数统领作用n由于本章最后部分是以新带故的内容(“用函数观点看方程（组）与不等式（包括一次函数与一元一次方程一次函数与二元一次方程一次函数与一元一次不等式三个小节）”)其中多数内容学生并不生疏，所以这部分内容很适合探究式学习方式，教学中要鼓励学生积极探究，让学生能在经过自己的努力来体验知识间的内在联系。教学中指导学生中掌握以下内容n归纳一元一次方程与一次函数的关系：归纳一元一次方程与一次函数的关系：n(1)(1)从数的角度来看：从数的角度来看：n求求a

12、x+b=0(a,bax+b=0(a,b是常数，是常数，a0)a0)的解的解 当自当自变量变量x x为何值时，一次函数为何值时，一次函数y=ax+by=ax+b的值为的值为0 0n(2)(2)从形的角度来看：从形的角度来看：n求求ax+b=0(a,bax+b=0(a,b是常数，是常数，a0)a0)的解的解 求直求直线线y=ax+by=ax+b与与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标n教学中指导学生中掌握以下内容n一元一次不等式与一次函数的关系：一元一次不等式与一次函数的关系：n(1)(1)从数的角度来看：从数的角度来看：n求求ax+bax+b0 0 或或ax+bax+b0(a,b0(a,b是常数，

13、是常数，a0)a0)的解的解 当自变量当自变量x x为何值时，一次函数为何值时，一次函数y=ax+by=ax+b的值大于的值大于0 0或者小于或者小于0 0n(2)(2)从形的角度来看：从形的角度来看：n求求ax+bax+b0 0或或ax+bax+b0(a,b0(a,b是常数，是常数，a0)a0)的解的解 求直线求直线y=ax+by=ax+b在在x x轴的上方或下方轴的上方或下方的图象所对应的的图象所对应的x x值值教学中指导学生中掌握以下内容n二元一次方程组与一次函数的关系.n每个二元一次方程组都对应两个一次函数,于是也对应两条直线.n(1)从数的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个

14、函数的值相等,以及这个函数值是何值;n(2)从形的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标教学中可以适当补充强调以下内容n1.“一次函数的性质”中无b对函数的图象的影响，但题中有，要补讲：n一次函数ykxb有下列性质：（1）当k0时，y随x的增大而_，这时函数的图象从左到右_；（2）当k0时，y随x的增大而_，这时函数的图象从左到右_.（3）当b0时，这时函数的图象与y轴的交点在：（4）当b0时，这时函数的图象与y轴的交点在：教学中可以适当补充强调以下内容n2.必须必须 学会画一次函数的草图，熟学会画一次函数的草图，熟练掌握求一次函数图像与坐标轴的交练掌握求一次函数图像与坐标轴的交点坐标的

15、方法点坐标的方法,不但平时分析题目有不但平时分析题目有好处，对中考中的许多问题都有用好处，对中考中的许多问题都有用。例如（例如（1 1）y=2x+3y=2x+3不过第不过第 象限；象限；（2 2）函数）函数y=kxy=kx中中y y随随x x的增大而减小，的增大而减小，那么那么y=kx+ky=kx+k不过第不过第 象限等等象限等等.教学中可以适当补充强调以下内容n3.实际问题中k的意义：n这个要根据具体的行程问题，销售问题等总结出来：k在时间、路程的图像中指速度，速度越大图像越陡，速度越小图像越缓。在销售件数、销售金额图像中指单价，单价越贵直线越陡，单价越便宜直线越缓。教学中可以适当补充强调以下内容n4.4.知道常值函数的解析式的一般形式知道常值函数的解析式的一般形式及图形特点。及图形特点。n5.5.强调强调k k相等且相等且b b不等，两直线平行；不等，两直线平行；两直线平行，两直线平行，k k斜率相等且斜率相等且b b不等。不等。n6.6.注意：直线不经过某个象限，要考注意：直线不经过某个象限，要考虑直线可能经过原点，即虑直线可能经过原点，即b b可以等于可以等于0 0。敬请指正