《数学物理方法》第八讲.ppt

《《数学物理方法》第八讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学物理方法》第八讲.ppt（35页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、（）前面分离变量得圆盘上热传导分离变量得主要问题（1）（）的级数解法（2）讨论由（）加边界条件构成本征问题与前讨论本征问题的共性（）第三章第三章 二阶常微分方程的级数解法二阶常微分方程的级数解法 本征值问题本征值问题2010.4.2211二阶常微分方程的级数解法二阶常微分方程的级数解法一一.常点邻域内的级数解法常点邻域内的级数解法考虑求解变系数二阶常微分方程考虑求解变系数二阶常微分方程 的解在指定点的解在指定点和和在点在点的邻域内的性质的邻域内的性质的解析性有关。的解析性有关。若若和和都在都在处解析处解析,则称则称为方程为方程 的的常点常点,否则称否则称 之为之为 的的奇点奇点。注注与方程的系

2、数与方程的系数定理定理(柯西定理柯西定理):若若和和在在内解内解析析,则初值问题则初值问题在在内有唯一的解析解内有唯一的解析解且该级数解的收敛半径至少是且该级数解的收敛半径至少是 R.-幂级数解例例2.Legendre2.Legendre方程的级数解法方程的级数解法求如下的求如下的 LegendreLegendre 方程的麦克劳林级数解方程的麦克劳林级数解这相当于方程这相当于方程 中取中取这里这里是参数是参数,可见可见是是 和和的常点。的常点。称之为方程的称之为方程的阶数阶数。则则设方程的解为设方程的解为于是于是比较比较的各次幂系数得的各次幂系数得这样可由这样可由经递推得到经递推得到具体地，具

3、体地，这样得到勒让德方程的级数解这样得到勒让德方程的级数解其中其中据比值判别法知上述幂级数的收敛半径为据比值判别法知上述幂级数的收敛半径为1。一般来讲一般来讲,当当时时,和和右端级数均发散。右端级数均发散。当当时时,对特定的初值，可能使得对特定的初值，可能使得如当如当时时,则则只含有限项。只含有限项。此时若此时若可可使得使得有界。有界。有界。有界。若令若令则可得则可得满足这些条件的解满足这些条件的解是一个多项式，是一个多项式，称之为称之为 2n 阶勒让德多项式阶勒让德多项式，记作记作进一步整理可得进一步整理可得得得令令即即当当时时,则则只含有限项。只含有限项。此时若此时若可可使得使得有界。有界

4、。若令若令可得方程的解可得方程的解称之为称之为 2n+1 阶勒让德多项式阶勒让德多项式。记作记作类似上面的讨论可得类似上面的讨论可得 综上所述综上所述,定解问题定解问题构成本征值问题，构成本征值问题，的本征函数为的本征函数为n 阶勒让德多项式阶勒让德多项式第一类勒让德函数第一类勒让德函数,其统一表达式如下：其统一表达式如下：本征值为本征值为对应对应也称为也称为其中其中勒让德方程的解勒让德方程的解称之为称之为第二类第二类勒让德函数勒让德函数。中中当当时时,为多项式，为多项式，或或另一个仍是无穷级数，另一个仍是无穷级数，关于勒让德多项式的性质和应用将在后面讨论。关于勒让德多项式的性质和应用将在后面

5、讨论。二二.正则奇点附近的级数解法正则奇点附近的级数解法即即设设的不高于一阶的极点的不高于一阶的极点,是是的不高于的不高于是是二阶的极点二阶的极点,其中其中在在处解析处解析,则称则称为方程为方程 的的正则奇点正则奇点。定理定理(fuchs定理定理):若若和和在在内解内解析析,或或则在则在内方程内方程 的基础解系为的基础解系为-广义幂级数解例例1.1.其中其中求求 Bessel 方程方程解：解：方程可改写为方程可改写为因为因为为方程的正则奇点。为方程的正则奇点。设方程有如下形式解：设方程有如下形式解：的级数解。的级数解。则则代入方程得：代入方程得：即即由此得由此得不妨设不妨设可得可得由上式得由上

6、式得分如下情况讨论：分如下情况讨论：(1)此时有此时有由此易得由此易得其中其中考虑到考虑到可知可知取取则可得特解则可得特解此级数解的收敛域为实数集。此级数解的收敛域为实数集。称称为为m m 阶第一类阶第一类Bessel 函数。函数。(2)情况情况1,1,类似过程易得特解类似过程易得特解两个特解两个特解线性无关线性无关,构成基础解系。构成基础解系。情况情况2,则上面关于则上面关于的讨论依然成立。的讨论依然成立。此时此时,为求一个特解为求一个特解,仍取仍取所得特解仍是所得特解仍是此时此时,情况情况3,线性相关线性相关定义第二类定义第二类 Bessel 函数：函数：可以证明可以证明是是 Bessel

7、 方程方程 的特解的特解,且与且与线性无关。线性无关。易见易见,不论不论 m m 取何非负值，取何非负值，都是都是 的特解。的特解。因此因此 有通解有通解定理定理3 3（GaussGauss定理）定理）设设中中在在内解析，内解析，是是的阶数高于一阶的极点，的阶数高于一阶的极点，是方程的非正则奇点，是方程的非正则奇点，内方程的基础解系为内方程的基础解系为 但但或或的阶数高于二阶的的阶数高于二阶的则在则在这时称这时称极点，极点，三三.非正则奇点附近的级数解法非正则奇点附近的级数解法或或 而且可以证明，上述洛朗级数而且可以证明，上述洛朗级数中一定有无穷多项负幂项。中一定有无穷多项负幂项。-洛朗级数解

8、2 2 Sturm-Liouville本征值问题本征值问题一一.Sturm-Liouville 本征值问题本征值问题任意二阶方程任意二阶方程都可化为所都可化为所谓的谓的 Sturm-Liouville 方程方程此方程含有参数此方程含有参数 l l。根据根据的特点的特点,可附加不同的可附加不同的边界条件，使之构成特征值问题。边界条件，使之构成特征值问题。3.3.若若则可附加周期边界条件则可附加周期边界条件Liouville 方程附加上述条件后构成方程附加上述条件后构成 Sturm-Liouville1.1.若若则可附加齐次边界条件，如则可附加齐次边界条件，如2.2.若若则方程存在一特解则方程存在

9、一特解,该解在点该解在点 a 处有处有界界,据据 Liouville 公式公式,方程还存在另一无关特解方程还存在另一无关特解,也在点也在点 a 处有界。处有界。因此可附加自然边界条件因此可附加自然边界条件本征值问题。本征值问题。二二 本征值问题具有如下本征值问题具有如下性质性质：性质性质1.若若均连续均连续,连续或在边界上有连续或在边界上有一阶极点一阶极点,则本征值问题有无穷多个本征值则本征值问题有无穷多个本征值及对应的本征函数。及对应的本征函数。性质性质2.所有本征值均非负。所有本征值均非负。性质性质3.对应于不同本征值对应于不同本征值的本征函数的本征函数在区间在区间上加权正交上加权正交,即即在前述三种边界条件下性质在前述三种边界条件下性质3 结论都成立。结论都成立。性质性质4.本征函数系本征函数系是完备系列是完备系列,即任一具有分段连续的二阶导数和连续一阶即任一具有分段连续的二阶导数和连续一阶导数的函数导数的函数可按此函数系展开为一个可按此函数系展开为一个其中其中绝对收敛且一致收敛的级数：绝对收敛且一致收敛的级数：按本征函数系展开的级数称为广义傅里叶级数。按本征函数系展开的级数称为广义傅里叶级数。