不定积分概念和第一类换元法.ppt

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1、第四章微分法微分法:积分法积分法:互逆运算互逆运算不定积分 已知已知 F(x),第四章第四章不定积分不定积分暨南大学珠海学院基础部暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲苏保河主讲二、二、基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第四章第四章不定积分不定积分暨南大学珠海学院基础部暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲苏保河主讲一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例:一个质量为一个质量为 m 的质点的质点,下沿直线运动下沿直线运动,因此问题转化为因此问题转化为:已知已知求求在变力在变力试求质点

2、的运动速度试求质点的运动速度根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,加速度加速度定义定义 1.若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F(x)及及 f(x),满足满足在区间在区间 I 上的一个上的一个则称则称 F(x)为为 f(x)如引例中如引例中,的一个原函数为的一个原函数为 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲原函数原函数.问题问题:1.在什么条件下在什么条件下,一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在?2.若原函数存在若原函数存在,它如何表示它如何表示?定理定理1.的原函数存在的原函数存在.(下章证明下章证明)因为初等函数在定义区间上连续，因为初等函数在定义区间

3、上连续，所以所以初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲定理定理 2 一个原函数都可记为一个原函数都可记为(C 为任意常数为任意常数).证证 又知又知故故即即即即暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲定义定义 2 在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为上的不定积分上的不定积分,其中其中 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;若若则则(C 为任意常数为任意常数)C 又称又称为为积分常数积分常数不可丢不可丢!例如例如,记作记作注注暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海

4、学院苏保河主讲不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的原函数的图形称为的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.的的积分曲线积分曲线.暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例1 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.解解 所求曲线过点所求曲线过点(1,2),故有故有因此所求曲线为因此所求曲线为暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲二、二、基本积分表基本积分表 注注 从不定积分定义可知从不定积分定义可

5、知:或或或或(k 为常数为常数)暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲或或或或暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例2 求求解解 原式原式=例例3 求求解解 原式原式=暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲三、不定积分的性质三、不定积分的性质推论推论 暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例4 求求解解 原式原式=暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例5 求求解解 原式原式=例例6 求求解解 原式原式=暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例7 求

6、求解解 原式原式=暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲第二节第一类换元法第四章第四章不定积分不定积分暨南大学珠海学院基础部暨南大学珠海学院基础部苏保河主讲苏保河主讲第一类换元法第一类换元法定理定理1则有换元公式则有换元公式(也称也称配元法配元法即即,凑微分法凑微分法)暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例1 求求解解 令令则则故故原式原式=解法解法2(直接凑微分直接凑微分):暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲想到公式想到公式例例2 求求解解令令则则想到公式想到公式暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲原式原式例例2 求求解法解法

7、2(直接凑微分直接凑微分):想到公式想到公式暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例3 求求想到想到解解暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例4 求求解解类似可得类似可得暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例5 求求解解 原式原式=暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万万能能凑凑幂幂法法暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例6 求求解解 原式原式=暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例7 求求 解解 原式原式=例例8 求求解解 原式原式=暨南大学珠海学院

8、苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲例例9 求求解法解法1解法解法2 两法结果一样两法结果一样暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲内容小结内容小结1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表 2.直接积分法直接积分法利用利用恒等变形恒等变形,及及基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分积分性质积分性质3.第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法)暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲作作 业业P204 1(2,4,6,8,10,11,13,14);2(2,6,8,9,11,13

9、,14,16,18).P190 1(3,5,13,14,16,18,20,21,23,24,25,26);2;4*.暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲下次课内容下次课内容:不定积分的第一类换元法不定积分的第一类换元法 第五章第一节第五章第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 1 若若是是的原函数的原函数,则则提示提示 已知已知课外练习课外练习暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲2 若若的导函数为的导函数为则则的一个原函数的一个原函数是是().提示提示B由题意由题意其原函数为其原函数为暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲3 已知已知求求 A,B.解解 等式两边对等式两边对 x 求导求导,得得暨南大学珠海学院苏保河主讲暨南大学珠海学院苏保河主讲