《高等数学教学课件汇编》第五章1无穷级数的敛散性.ppt

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1、无穷级数的敛散性机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第五章 定义定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和级数的和,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、无穷级数的有关概念一、无穷级数的有关概念 当级数收敛时,称差值为级数的余项余项.则称无穷级数发散发散.显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2

2、).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数(1)发散;技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、级数的基本性质二、级数的基本性质 性质性质1.若级数收敛于 S,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛,证证:令则这说明收敛,其和为 c S.说明说明:级数各项乘以非零常数后其敛散

3、性不变.即其和为 c S.机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证证:令则这说明级数也收敛,其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.证证:将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下

4、页 返回 结束 性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证:设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质5.（级数收敛的必要条件）（级数收敛的必要条件）设收敛级数则必有证证:可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上事实上,假设调和级数收敛于 S,则但矛盾!所以假设不真.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.判断下面级数的敛散性：解解:令则故从而这说明上述级数 发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束