《线性代数期末复习》吕线代ch.ppt

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1、 CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算回顾回顾:倒数倒数 1 定义定义:设设a是一个数是一个数,若存在数若存在数b,使得使得则称则称b是是a的的倒数倒数,记为记为b=或或 a-1.2 判别判别:数数a有倒数的充要条件是有倒数的充要条件是复习复习:矩阵的概矩阵的概念念 a0.a数本身即为数本身即为1111型矩阵型矩阵 CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算【定义定义2.6】设设A为一个为一个方阵方阵,若存在同若存在同阶阶方阵方阵B,使得使得一一 逆矩阵的概念逆矩阵的概念3 逆逆矩阵矩阵注：注：(1)可逆矩阵必须是可逆矩阵必须是方阵方阵；(2)若方阵若方阵A有

2、逆矩阵，则逆是有逆矩阵，则逆是唯一唯一的的.原因原因:由由AmnBst=BstAmn=E,AB=BA=E,则称则称A是是可逆矩阵可逆矩阵,称称B为为A的逆矩阵的逆矩阵,记为记为B=A-1.原因原因:若若A有两个逆矩阵有两个逆矩阵B和和C,即即AB=BA=E,AC=CA=E,则则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.则则 m=n=s=t.CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算(1)由由EE=E知，单位矩阵知，单位矩阵E可逆，且可逆，且E-1=E；(2)若若A2=E,则则A可逆，且可逆，且A-1=A;例：例：(3)若方阵若方阵A满足满足:A2+2A-E=O.说明说明A可逆可

3、逆,并求并求A-1.解：解：由由 A2+2A-E=O 得得:故由故由逆矩阵的定义逆矩阵的定义知：知：A可逆可逆,且且 A-1=A+2E.注注:求逆矩阵的方法之一求逆矩阵的方法之一:A()=E且且A+2E 利用定义利用定义.()A=E.A+2E CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算【定理定理2.1】设设A是是n阶方阵阶方阵,则则【证明思路证明思路】利用逆矩阵的定义利用逆矩阵的定义.(4)所以由定义知：所以由定义知：AB 可逆可逆,且且(AB)-1=B-1A-1 证毕证毕.B-1A-1(AB)(AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=B-1(A-1A)B

4、=B-1EB =B-1B二二 逆矩阵的性质逆矩阵的性质 (1)若若A可逆可逆,则则A-1也可逆也可逆,且且(A-1)-1=A;(2)若若A可逆可逆,数数k0,则则kA也可逆也可逆,且且(kA)-1=k-1A-1;(3)若若A可逆可逆,则则AT也可逆也可逆,且且(AT)-1=(A-1)T;(4)若若B与与A是同阶可逆矩阵是同阶可逆矩阵,则则AB也可逆也可逆,且且(AB)-1=B-1A-1.=E,=E.运算顺序运算顺序的交换性的交换性 CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算(一一)伴随矩阵：伴随矩阵：1 1 定义定义:设方阵设方阵A=(aij)nn，用用|A|中元素中元素aij的

5、的代数余子式代数余子式 Aij 构成的矩阵构成的矩阵：称为称为A的的伴随矩阵伴随矩阵,记为记为A*.三三 方阵可逆的充要条件方阵可逆的充要条件 注意注意Aij的排列顺序的排列顺序!灰常重要灰常重要!CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算例例:解：解：CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算设设A是是n阶方阵，则阶方阵，则 【证证】同理可得：同理可得：2 性质：性质：证毕证毕.最给力最给力!CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算(二二)方阵可逆的充要条件方阵可逆的充要条件【定理定理2.2】设设A是是n阶阶方阵方阵,则则A可逆的充要条件是可逆的充

6、要条件是【证证】必要性必要性.所以所以|A|0.设设 ,则由则由 得：得：从而从而A可逆，且可逆，且 证毕证毕.充分性充分性.设设A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则AA-1=E，从而，从而|A|A-1|=|E|=1,CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算若若A与与B都是都是方阵方阵,只需满足只需满足AB=E或或BA=E之一之一,则则B=A-1.注注:(1)n阶方阵阶方阵A可逆可逆(2)【证证】(3)定理给了我们一种求逆矩阵的方法定理给了我们一种求逆矩阵的方法:CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算（三）用伴随矩阵求逆矩阵（三）用伴随矩阵求逆矩阵解：解：所以所以A可逆，先计算伴随矩阵可逆，先计算伴随矩阵：例：例：设矩阵设矩阵 ,求其逆矩阵求其逆矩阵A-1.CH2 矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算矩阵及其运算例例.求满足求满足矩阵方程矩阵方程AX=B的矩阵的矩阵X,其中其中解解：故故A可逆，且可逆，且用用A-1左乘左乘方程方程AX=B两边得两边得：XBA-1