《概率论期末复习资料》概率论(三版).ppt

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1、 第三版 复复 习习 随机事件的主要概念随机事件的主要概念 为了帮组大家理解所学概念，现把第一节的有关结为了帮组大家理解所学概念，现把第一节的有关结论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：论与事件的关系和运算的对应情况列举如下：符号符号集合论集合论概率论概率论全集全集样本空间：必然事件样本空间：必然事件空集空集不可能事件不可能事件中的点（或称元素）中的点（或称元素）样本点本点单点集单点集基本事件基本事件 第三版的子集的子集A A事件事件A A集合集合A A包含在集合包含在集合B B中中事件事件A A包含于事件包含于事件B B中中集合集合A A与集合与集合B B相等相等事件事件A A与事件与事件

2、B B相等相等集合集合A A与集合与集合B B的并的并事件事件A A与与B B至少有一个至少有一个发生生集合集合A A与集合与集合B B的交的交事件事件A A与事件与事件B B同同时发生生集合集合A A的余集的余集事件事件A A的的对立事件立事件集合集合A A与集合与集合B B的差的差事件事件A A发生而生而B B不不发生生集合集合A A与与B B没有公共元素没有公共元素事件事件A A与与B B互不相容（互斥）互不相容（互斥）第三版12随机事件的概率一、概率和频率解释 二、从频率的性质看概率的性质 三、概率的公理化定义 四、概率测度的其他性质 第三版从直观上来看，事件从直观上来看，事件A的概率

3、的概率P(A)是指事件是指事件A A发生的可能性发生的可能性P(A)如何确定，如何确定，应具有何种性质应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？向目标射击，命中目标的概率有多大？事件的概率事件的概率 第三版概率是事件发生可能性的数量指标。即在多次重复后，某结果出现的比率。概率应有如下特征：(1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。(2)符合一般常情，可能性大时，概率也大。一般叙述可能性时用百分比

4、。以后为方便更多地用0到1之间的小数。即0P(A)1且P()=1P()=0 第三版历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义（3）公理化定义（1）统计定义（2）古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出 第三版 频率频率一、概率和频率解释 第三版如如:Dewey G.Dewey G.统计了约统计了约438023438023个英语单词个英语单词 中各字母出现的频率中各字母出现的频率,发现各字母出现发现各字母出现 的频率不同：的频率不同：A:0.0788 B:0.0156 C:0.0268 D:0.0389E:0.1268 F:0.0256 G:0.0187 H:

5、0.0573I:0.0707 J:0.0010 K:0.0060 L:0.0394M:0.0244 N:0.0706 O:0.0776 P:0.0186Q:0.0009 R:0.0594 S:0.0634 T:0.0987U:0.0280 V:0.0102 W:0.0214 X:0.0016Y:0.0202 Z:0.0006 第三版频率的性质频率的性质(1)0 fn(A)1；(2)fn()1，fn()=0；(3)可加性：若AB ，则 fn(AB)fn(A)fn(B).必然事件的频率为必然事件的频率为1 1，不可能事件的频率为，不可能事件的频率为0 0。第三版 概率的统计定义：概率的统计定义：在

6、相同条件下重复进行的在相同条件下重复进行的 n 次试验次试验中中,事件事件 A 发生的频率稳定地在某一常发生的频率稳定地在某一常数数 p 附近摆动附近摆动,且随且随 n 越大摆动幅度越越大摆动幅度越小小,则称则称 p 为事件为事件 A 的概率的概率,记作记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观优点：直观 易懂易懂缺点：粗糙缺点：粗糙 模糊模糊不便不便使用使用 第三版提示 大量重复投掷一枚均匀硬币 出现正面和反面的频率会接近一个稳定值1/2 可见频率的稳定值与事件发生的可能性大小存在内在必然的联系 一方面频率的稳定性说明事件发生的可能性大小确实是一种客观存在 另一方面 频率的稳定值

7、对事件发生的可能性大小提供了经验解释 定义11(概率的直观定义)随机事件A发生的可能性大小的度量(数值)称为事件A发生的概率 记作P(A)第三版说明 一个事件A发生的可能性的大小概率 在经验上表现为大量重复试验中事件A发生的频率的稳定值 因而频率的稳定值为概率的含义提供了一种经验上的直观 但其本身并不是概率的本质 不能作为概率的定义 一个事件的概率是由事件本身固有的、由其本质特征所决定的 频率的稳定值是概率的外在的必然表现 当进行大量重复试验时 频率会接近稳定值 因而 频率可用来作为概率的估计 就好比是测定概率的“尺子”随着试验次数的增加 测定的精度会越来越高 第三版提示 同频率一样 记事件A

8、发生的概率为P(A)随着A取遍任意事件 P(A)则可视为定义在全体事件构成的集合 即事件域F上的一个函数 二、从频率的性质看概率的性质概率的性质 根据概率的频率解释 概率可视为频率的稳定值 从而应具有频率的相应性质 即 (1)P()1 (2)对任意事件A 有P(A)0 (3)对任意可数个两两不相容的事件A1 A2 An 有 第三版 我们注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质,在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义三、概率的公理化定义 19331933年，前苏联数学家柯尔莫戈罗夫在年，前苏联数学家柯尔莫戈罗夫在综合前人成果的基础

9、上，抓住概率共有特综合前人成果的基础上，抓住概率共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概性，提出了概率的公理化定义，为现代概率论的发展奠定了理论基础率论的发展奠定了理论基础.第三版概率的公理化的定义概率的公理化的定义(3)(3)可列可加性可列可加性:设设 (2)(2)规范性规范性(1)(1)非负性非负性两两互不相容两两互不相容设设 是给定的试验是给定的试验E的样本空间，对其中的任意一的样本空间，对其中的任意一个事件个事件A，规定一个实数，规定一个实数P(A)，若，若P(A)满足：满足：则则则称则称P(A)P(A)为为事件事件A A的概率的概率.第三版 (1)(1)不可能事件不可能事件的概率为

10、零的概率为零,即即P()=0.P()=0.(2)(2)有限可加性有限可加性：设：设A A1 1,A,A2 2,A,An n 是是n n个两两互不相容个两两互不相容的事件的事件,即即A Ai iA Aj j ,(i,(i j),i,jj),i,j1,2,n,1,2,n,则有则有 P(A P(A1 1AA2 2AAn n)P(A P(A1 1)P(AP(A2 2)+P(A)+P(An n).).四、概率测度的其他性质 第三版(5)互补性互补性：P(A)1 P(A).(6)加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1,A2,An的情形.

11、2，3是6，7特例 第三版 例110 观察某地区未来5天的天气情况 记Ai为事 件“有i天不下雨”(i0 1 2 3 4 5)已知P(Ai)iP(A0)(i1 2 3 4 5)求下列各事件的概率 (1)5天均下雨(2)至少一天不下雨(3)至多三天不下雨 显然A0 A1 A5是两两不相容事件 且 A0A1A2A3A4A5 从而 1P()P(A0A1A2A3A4A5)P(A0)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)P(A0)P(A0)2P(A0)3P(A0)4P(A0)5P(A0)16 P(A0)解 于是可求得 第三版 例110 观察某地区未来5天的天气情况 记Ai为事件“有i天不下雨

12、”(i0 1 2 3 4 5)已知P(Ai)iP(A0)(i1 2 3 4 5)求下列各事件的概率 (1)5天均下雨(2)至少一天不下雨(3)至多三天不下雨 已求得 解 记(1)(2)(3)中三个事件分别为A B C 则 0 第三版得：得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，例例1 1 AB=AB=，P(A)=0.6P(A)=0.6，P(A+B)=0.8P(A+B)=0.8，求求 B B的逆事件的概率。的逆事件的概率。所以，所以，P P（）=1-0.2=0.8=1-0.2=0.8解解:由由P(A+B)=P(A)+P(

13、B)-P(AB)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)思考思考 在以上条件下，在以上条件下，P P（A-BA-B）=？第三版例2:王敏捷参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2)至少有一类问题能答出的概率 (3)两类问题都答不出的概率 第三版解解 事件A,B分别表示“能答出甲,乙类问题”(1)(2)(3)第三版1.1.P(A)=0.4P(A)=0.4，P(B)=0.3P(B)=0.3，P(A+B)=0.6P(A+B)=0.6，2.2.求

14、求P(A-B).P(A-B).2.P(A)=0.72.P(A)=0.7，P(A-B)=0.3P(A-B)=0.3，求，求P(-AB)P(-AB)1 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.1,1 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.1,所以所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.32 P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)2 P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6 =1-0.7+0.3=0.6课堂练习课堂练习解：解：第三版13古典概型与几何概型一、古典概型二、几

15、何概型 第三版古典概型的几类基本问题 第三版 第三版 第三版 第三版 抽球问题抽球问题 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。引例 第三版解:设A-取到一红一白 第三版在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。过多的交代实际背景。第三版说明一、古典概型 这两个条件在数学上可表述为 (1)样本空间有限 记1 2 n (2)每一

16、个基本事件的概率相同 即 P1P2 Pn 要计算事件发生的可能性，对随机试验有一定要求。(1)每次试验只有有限个可能的试验结果。(2)每次试验中，各基本事件发生的可能性相同。这种试验称为古典概型试验。第三版 (1)样本空间有限 记1 2 n (2)每一个基本事件的概率相同 即 P1P2 Pn 古典概型 古典概型是指满足下面两个假设条件的概率模型 古典概型的概率计算公式 设是古典概型样本空间 则对任意事件A 有 第三版 第三版 第三版 第三版 分组问题分组问题30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均分名学生平均分成成3组，求：组，求：（1）每组有一名运动员的概率；）每

17、组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。第三版解解:设设A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组名运动员集中在一组一般地，把一般地，把n个球随机地分成个球随机地分成m组组(nm),要求第要求第 i 组恰有组恰有ni个球（个球（i=1,m)，共有分法：，共有分法：第三版 第三版 第三版w古典概型的优点古典概型的优点w古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重复试验。第三版1.掷一枚硬币，出现正面的概率解：设硬币是均匀的只有正、反面两个基本事件。若A表示出现正面。解：一般地每位数字有10种选择。基本事件总数是106。事件A表示找

18、到张某，则A只有一个基本事件。2.随意拨一个六位电话号码，正好找到朋友张某的概率。课堂练习课堂练习 第三版3.袋中装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。解：组成试验的基本事件总数事件A表示取到两个白球，基本事件数故另解：若认为取出的两个球有先后次序，则基本事件总数为注意，若认为是取出一个，放回去后再取一个。则基本事件总数是88，A的事件数为55 第三版(1)七个数字全不同的事件A1(2)不含1与0的事件A2(3)两个偶数五个奇数的事件A3解：基本事件总数为107=0.06048=0.20972=0.1644.从0到9十个数字种任取一个，取后放回，再取。先后共取

19、七个数字。求下述事件的概率。第三版关于概率的一些解释(2)概率不会自动“平衡”硬币连现10个正面，下一次是什么？打牌手风很顺，该继续还是停止？连生几个女孩，想生男孩，该继续生吗？(1)古典概率要求很严格.特别是基本事件等可能，这一点很难做到。随机事件在一次试验中是否发生不确定，如硬币真的是均匀的吗？但在大量重复试验中，它的发生却具有统计规律性。第三版(3)对概率的错误估计a、你认为自己买彩票会中奖吗？b、你害怕爱滋病吗？对可怕后果的担忧使人过高估计概率。c、一对夫妇要去买点东西，把婴儿单独留在家中？还是带在汽车上和自己一起去？因为不可控制而错估概率。d、你认为自己买彩票会赚钱吗？过度自信使人低

20、估了风险。第三版说明二、几何概型几何概型 在一个面积为S()的区域中等可能地任意投点 这里“等可能”的确切含义是 点落入中任意区域A的可能性大小与区域A的面积S(A)成正比 而与其位置和形状无关将“点落入区域A”这一事件仍记为A 则有 P(A)tS(A)其中t为常数 于是由 P()tS()1 第三版上式定义的概率通常称为平面区域上的几何概率 二、几何概型几何概型 在一个面积为S()的区域中等可能地任意投点将“点落入区域A”这一事件仍记为A 则有 P(A)tS(A)其中t为常数 于是由 P()tS()1 第三版 例116 某人午觉醒来 发觉表停了 他打开收音机 想听电台报时 设电台每正点时报时一

21、次 求他(她)等待时间短于10 min的概率 以分钟为单位 记上一次报时时刻为0 则下一次报时时刻为60 于是这个人打开收音机的时间必在(0 60)内 记“等待时间短于10 min”为事件A 则有(0 60)A(50 60)解 于是 第三版 例117(会面问题)甲、乙两人相约在7点到8点之间在某地会面 先到者等候另一人20 min 过时就离开 如果每个人可在指定的一小时内任意时刻到达 试求二人能够会面的概率 记7点为计算时刻的0时 以分钟为单位 x y分别记甲、乙到达指定地点的时刻 则样本空间为 (x y)|0 x60 0y60 以A表示事件“两人能会面”则显然有 A(x y)|(x y)|x

22、y|20 解 依题意 这是一个几何概型问题 于是 第三版小小 结结前面介绍了统计概率、古典概型和几何概型三种定义，它们在解决实际问题中起着十分重要的作用，但这三种定义各自有一定的局限性，古典概率定义要求试验的可能总是有限的、互不相容及等可能性的，几何概率虽然克服了试验结果的有限性,但同样要求某种等可能性,而许多实际问题是不具备这些条件的,所以这两种定义都带有局限性;统计概率虽然没有前面两种定义那种局限性,但却建立在大量重复试验的基础上,况且,试验次数n应大到什么程度,频率究竟在什么意义下趋近于概率,没有确切的说明.因此,它在数学上是不严密的.第三版所以,这三种定义都不能作为概率的一般定义,这就促使人们考虑,作为数学的一个分支,也应像代数、几何一样,通过建立公理化系统给出概率的定义,使其具有一般性.苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化结构,抽取了概率的统计定义、古典定义及几何定义中所共有的性质作为概率的公理,给出概率的公理化定义