《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布5-7节.ppt

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1、2023/2/1212023/2/1212023/2/121 在实际问题中，可能遇到多个随机变量的在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：情形，如：1)射击问题中射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐对于弹着点往往需要横坐标和纵坐标描述标描述;2)研究学龄前儿童的发育情况，观察身高研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等体重等;3)具体评价产品的质量具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺可能有多个评价指标如尺寸寸,外形外形,外包装等外包装等.第五节第五节 二维随机变量二维随机变量2023/2/1222023/2/1222023/2/1221）定义：）定义：设设 E 是一个随机试

2、验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是S=e，设设 X=X(e)和和 Y=Y(e)是定义在是定义在 S 上的随机变量。上的随机变量。由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机，叫做二维随机向量，或二维随机变量。向量，或二维随机变量。SeX(e)Y(e)一、一、二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数2023/2/1232023/2/1232023/2/123注注 意意 事事 项项2023/2/1242023/2/1242023/2/1241）定义定义3.联合分布函数联合分布函数yo(x,y)(X,Y)2）几何意义）几何意义2023/2/1252023/2

3、/1252023/2/1253 3）一个重要的公式）一个重要的公式yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)2023/2/1262023/2/1262023/2/126 定义定义 若若X,Y均均为离散随机变量，则为离散随机变量，则(X,Y)为为二维离散随机变量二维离散随机变量,且且二、二维离散随机变量1.二维离散随机变量的联合分布律二维离散随机变量的联合分布律为为(X，Y)的分布律或联合分布律的分布律或联合分布律.2023/2/1272023/2/1272023/2/127YX其中其中2023/2/1282023/2/1282023/2/128 例

4、例1 一枚硬币一面刻有数字一枚硬币一面刻有数字1，另一面刻有数字，另一面刻有数字2.将硬将硬币抛两次，以抛两次，以X表示第一次、第二次出表示第一次、第二次出现的的数字之和数字之和.以以Y表示第一次出表示第一次出现的数字减去第二次出的数字减去第二次出现的数字，求（的数字，求（X,Y）的分布律，）的分布律，P(X+Y2).解：解：所有样本点所有样本点(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)X Y-101201/4031/401/4401/40对应的对应的X取值为：取值为：2，3，3，4 Y取值为：取值为：0，-1，1，02023/2/129三、二维连续随机变量1.二维连续随机变量二维连续随机

5、变量 定义定义 设设X,Y均均为连续随机变量，为连续随机变量，2023/2/1210 联合概率密度联合概率密度的的性质：性质：这个公式非常重要！这个公式非常重要！n几何解释几何解释几何解释几何解释随机事件的概率随机事件的概率=曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 2023/2/1211例例3(1)试确定常数试确定常数k；(2)求概率求概率P(YX/2).11O xy解解(1)由由2023/2/1212例例3(2)求概率求概率P(YX/2).解解(2)事件事件YX/2=(X,Y)D2023/2/1213例例 42023/2/12142023/2/12152023/2/1216x+y=12023/2/12

6、17 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的一个整体，来讨论其取值规律的.问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 第第6节节 边缘分布边缘分布2023/2/1218一、二维离散型一、二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布X的边缘分布的边缘分布Y的边缘分布的边缘分布2023/2/1219设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例1X Y0123010/506/50

7、4/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：解：求随机变量求随机变量X与与Y的边缘概率函数。的边缘概率函数。X Y0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/5012023/2/1220二、二维连续随机变量的边缘分布二、二维连续随机变量的边缘分布的边缘密度函数：的边缘密度函数：求随机变量求随机变量 X()xfX()xXPxFX=由由()-+-=xdxdyyxf，=P(Xx,-Y+)2023/2/1221同理，由同理，由()yYPyFY=()-+

8、-=ydvdxvxf，=P(-X0,则则自然地引出如下定理：自然地引出如下定理：(2)若若PX=xi0,则则在在 X=xi 条件下条件下Y 的条件的条件分布律分布律2023/2/1227条件分布律条件分布律具有分布律的以下具有分布律的以下特性特性：10 P X=xi|Y=yj 0；即条件分布律是分布律。即条件分布律是分布律。2023/2/1228设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例1X Y0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/5

9、01/501解：解：求求(1)随机变量随机变量X在在Y=0条件下的条件分布。条件下的条件分布。2023/2/1229设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例1X Y0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/501求求(2)随机变量随机变量Y在在X=1条件下的条件分布。条件下的条件分布。解：解：Y0123pY|X(y|1)9/2210/223/220则则Y在在X=1条件下的条件分布为条件下的条件分布为2023/2/1230(2)(

10、2)(2)(2)若若若若X X X X的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度f fX X X X(x x)0,)0,)0,)0,且在点且在点且在点且在点x x处连续处连续处连续处连续,则则则则Y Y Y Y在在在在X=X=X=X=x x条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度n定理定理定理定理 设二维连续随机变量（设二维连续随机变量（设二维连续随机变量（设二维连续随机变量（X,YX,YX,YX,Y）的联合概率）的联合概率）的联合概率）的联合概率密度密度密度密度f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点（在点（在点（在点（x,y

11、)x,y)x,y)x,y)处连续。处连续。处连续。处连续。(1)(1)(1)(1)若若若若Y Y Y Y的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度f fY Y Y Y(y y)0,)0,)0,)0,且在点且在点且在点且在点y y y y处连续处连续处连续处连续,则则则则X X X X在在在在Y=yY=yY=yY=y条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度二、连续随机变量的二、连续随机变量的条件分布条件分布2023/2/1234由由 所围成的区域上服从所围成的区域上服从 设设G是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其其面积为面积为A,若二维随

12、机变量若二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度具有如下概率密度,则称则称(X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.现设现设(X,Y)在在例例2解：解：均匀分布均匀分布.求条件概率密度求条件概率密度 yoy=x21G 3 2023/2/12351.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数2.二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数3.二维连续随机变量的联合概率密度和二维连续随机变量的联合概率密度和分布函数分布函数内容小结2023/2/1236习题二(P70)：13,14,15，17,19,20,21,作业作业2023/2/1237思考题2023/2

13、/1238备用题备用题1.解解解解2023/2/1239XY0 1 2 31300002023/2/12402.解解2023/2/12412023/2/12422023/2/12433.3.设随机事件设随机事件A,B满足满足求求(X,Y)的分布列的分布列.解解2023/2/1244所以所以(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为2023/2/1245所以所以(X,Y)的联合分布列为的联合分布列为2023/2/12464.4.在长为在长为a的线段的中点的两边随机地各取的线段的中点的两边随机地各取独立，它们的联合密度函数为独立，它们的联合密度函数为Y为线段中点右边所取点到端点为线段中点右边所取点到端

14、点0的距离，的距离，一点，求两点间的距离小于一点，求两点间的距离小于a/3的概率的概率.记记X为线段中点左边所取点到端点为线段中点左边所取点到端点0的距离，的距离，解解OxaXY2023/2/1247图图2.2的阴影部分，因此，所求概率为的阴影部分，因此，所求概率为xyO图图2-22023/2/12485.5.设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为解解故故 k=1/8.2023/2/1249xyO12234x+y=4图图2-42023/2/12506.6.设随机变量设随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为解解(1)由联合密度的性质知由联合密度的性质知2023/2/1251(2)求求(X,Y)落在区域落在区域D内的概率，使用公式内的概率，使用公式2023/2/1252于是有于是有