不等式的性质与不等式证明.ppt

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1、1不等式的定义：不等式的定义：若若；2不等式的性质：不等式的性质：推论：若推论：若ab，且，且cd，则，则a+cb+d（同向，可加性）（同向，可加性）（1）（对称性）（对称性）（2）（传递性）（传递性）（3）（加法不变性）（加法不变性）（4）；（乘法单调性）（乘法单调性）3不等式的证明的方法：不等式的证明的方法：比较法、综合分析法、反证法、数学归纳法等比较法、综合分析法、反证法、数学归纳法等推论推论1：若：若ab0，且，且cd0，则，则acbd 推论推论2：若：若ab0，则，则 （，且，且 n1）推论推论3：若：若ab0，则，则 （，且，且 n1）1理解不等式的性质，能够对性质进行证明理解不等

2、式的性质，能够对性质进行证明4能根据不等式的性质判定一些命题或已知不等式的正确能根据不等式的性质判定一些命题或已知不等式的正确 错误，能正确使用特殊值法，判断不等式的正误错误，能正确使用特殊值法，判断不等式的正误 3掌握证明不等式的几种基本方法，会证明一些简单的不掌握证明不等式的几种基本方法，会证明一些简单的不等式等式2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数的定理，并会简单的应用们的几何平均数的定理，并会简单的应用如果如果a、b、c满足满足cba且且ac0，那么下列选项，那么下列选项中不一定成立的是（中不一定成立的是（）

3、1（04北京）北京）Dac(ac)0Bc(ba)0AabacCc(ba)0正确正确 分析：分析：ac0说明说明a、c异号，又异号，又cba a0，c0Abc，a0 abac正确正确Bc0，ba0D中中ac0，ac0 ac(ac)0正确，只有正确，只有C中中ba，由于，由于b未说明是否大于零未说明是否大于零 不一定成立不一定成立c0，则则 也不一定成立也不一定成立选（选（C）设设a0，b0，则下列不等式中不恒成立的是（，则下列不等式中不恒成立的是（）2（04湖南）湖南）BCDAa0，b0分析：分析：，（A）成立）成立 则则又又，（C）成立）成立又又 时，时，两边平方得两边平方得 显然成立显然成立

4、（D）成立）成立在（在（B）中，）中，若若ab，则，则ab0 应恒成立应恒成立 但从上式看出，但从上式看出，a与与b之间尚有制约性之间尚有制约性 选（选（B）3（04湖北）湖北）A若若 ，则下列不等式中不正确的是（，则下列不等式中不正确的是（）DCB分析：分析：0ba1，A，B显然成立显然成立 ba1，则成立，则成立 若令若令 检验，检验，D不成立不成立选（选（D）若若 ab0，则下列结论中正确的命题是（，则下列结论中正确的命题是（）4（99上海）上海）A 和和 均不能成立均不能成立B 和和 均不能成立均不能成立C 和和 均不能成立均不能成立D 和和 均不能成立均不能成立 分析：分析：ab0

5、，各，各A、B、D中的中的 不能成立不能成立又又b0，b0aba 又又ab0，（C）中）中 不成立不成立 又又ab0，则则 成立成立 对于对于 若成立，则若成立，则abb0 a2b0这个结论不一定成立，这个结论不一定成立，因此，只有（因此，只有（B）中两个结论均不成立）中两个结论均不成立 选（选（B）设设 a，b为实数，则为实数，则 ab0 是是 （）（）5（01上海春）上海春）A充分不必要条件充分不必要条件B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件D不充分也不必要条件不充分也不必要条件分析：分析：有条件有条件ab0，可推出，可推出 ，但从但从 不一定能推出不一定能推出ab0，只能是，只

6、能是 条件条件ab0只能定只能定 的充分不必要条件的充分不必要条件 选（选（A）1注注意意不不等等式式的的性性质质中中左左侧侧表表示示实实数数的的运运算算 性性质质，右右式式反反映映的的是是实实数数的的大大小小顺顺序序，合合 起起来来即即为为实实数数运运算算性性质质与与大大小小顺顺序序之之间间的的 关关系系这这是是不不等等式式一一章章的的理理论论基基础础，是是不不等等 式式性性质质的的证证明明，证证明明不不等等式式和和解解不不等等式式的的主主 要依据要依据2比比较较两两个个实实数数a与与b的的大大小小，归归结结为为判判断断它它 们们的的差差ab的的符符号号，这这又又必必然然归归结结到到实实数数

7、 运运算算的的符符号号法法则则因因此此，实实数数运运算算的的符符号号 法则是学习不等式的基础法则是学习不等式的基础3复复习习不不等等式式的的性性质质时时，要要注注意意将将不不等等式式 的的性性质质与与等等式式的的性性质质类类比比注注意意它它们们之之 间间的的区区别别，主主要要表表现现在在与与数数相相乘乘（除除）时时，不不等等式式两两边边所所乘乘（除除）的的数数的的符符号号 不同，结论是不同的不同，结论是不同的4在均值不等式的复习中，在均值不等式的复习中，与与 成立的条件是不同的前成立的条件是不同的前 者只要求者只要求a，b为实数，而后者要求为实数，而后者要求a，b 为正数，这两个公式都是带有符

8、号的不为正数，这两个公式都是带有符号的不 等式因此对其中等式因此对其中“当且仅当当且仅当时取时取 号号”这句话的含义要搞清楚这句话的含义要搞清楚 5能利用能利用“均值不等式均值不等式”证明的不等式，证明的不等式，用用 其它证明方法一样可证因此，均值不其它证明方法一样可证因此，均值不 等式就是利用这些方法证明的，要利用等式就是利用这些方法证明的，要利用 均值不等式求函数的极值时，一定要注均值不等式求函数的极值时，一定要注 意不等式使用的条件及等号能否成立，意不等式使用的条件及等号能否成立，不可乱用不可乱用6不等式证明的方法很多，要注意恰当选不等式证明的方法很多，要注意恰当选 择方法，可使证明简化

9、择方法，可使证明简化例例1已知已知比较比较A、B、C、D的大小的大小 分析：分析：本题考查两个实数的大小，如果两个两个相比较，需本题考查两个实数的大小，如果两个两个相比较，需比较比较 次，运算量比较大由于给定次，运算量比较大由于给定，所以可令，所以可令 采用特殊值办法，先猜出大小，采用特殊值办法，先猜出大小，再证再证 解：解：，令令 由此知由此知 可猜测可猜测CABD CA AB BD综上：综上：CABD 本题我们采用了赋值法（特本题我们采用了赋值法（特殊值法），先行猜想，使问题得殊值法），先行猜想，使问题得以简化、明朗注意赋值法是解以简化、明朗注意赋值法是解选择题、开放题等常用的方法，选择题

10、、开放题等常用的方法，它可将复杂问题简单化，是我们它可将复杂问题简单化，是我们常用的数学思想常用的数学思想 例例2设设 ，且，且 ，试比较，试比较 与与 的大小的大小 分析：分析：比较两个数的大小，可用比较两个数的大小，可用“作差比较法作差比较法”、“作商比较法作商比较法”前者依靠前者依靠 AB 与与 0 的关系判断的关系判断 A，B 大小，而后者则靠大小，而后者则靠 （b0）与）与 1 的关系来确定的关系来确定 a，b大小，前者适用于多项式型，大小，前者适用于多项式型，后者适合指数型或对数性此题适合用作商比较，利用同底数后者适合指数型或对数性此题适合用作商比较，利用同底数幂的运算法则幂的运算

11、法则 解：解：当当 ab0 时，时，ab0，所以所以 则则 ，当当 ba0时，时，ab0，综上所述，对于不相等的正数综上所述，对于不相等的正数 a、b 都有都有 则仍有则仍有 ，使用作商比较时，一定要注使用作商比较时，一定要注意意a0、b0，解题的关键在于，解题的关键在于变形的第二步，得出变形的第二步，得出 注意讨论注意讨论ab，还是，还是ba，一，一般说来，变形越彻底越有利于下般说来，变形越彻底越有利于下一步的判断一步的判断 例例3解答下列各题：解答下列各题：1已知：已知：，求函数，求函数 的最大值的最大值 2已知：已知：，且，且 ，求，求 的最小值的最小值 3已知：已知：a、b为实常数，求

12、函数的为实常数，求函数的 最小值最小值 1已知：已知：，求函数，求函数 的最大值的最大值 分析：分析：因为因为 ，所以首先要调整符号，又因为，所以首先要调整符号，又因为不是常数，所以对不是常数，所以对 要重新要重新“配凑配凑”解：解：当且仅当当且仅当（不满足（不满足 条件）条件）x=1 时，时，y 有最大值有最大值 1 2已知：已知：，且，且 ，求，求 的最小值的最小值 分析：分析：本题的困难在于如何使用条件本题的困难在于如何使用条件 ，如果从中解出，如果从中解出x或或y，再代入，再代入xy转化为一元函数的最值问题显然是比较复转化为一元函数的最值问题显然是比较复杂的，这时我们可以考虑整体使用条

13、件杂的，这时我们可以考虑整体使用条件 解法一：解法一：当且仅当当且仅当 ，且，且 即即 x=4，y=12 故故 x=4，y=12 时时 解法二：解法二：由由 ，得，得 （定值）（定值）又知又知 x1，y9，即即 x=4，y=12 时，时，所以当且仅当所以当且仅当 x1y93 时，时，3已知：已知：a、b为实常数，求函数的为实常数，求函数的 最小值最小值 分析：分析：从函数的解析式的特点看，本题可以展开解为从函数的解析式的特点看，本题可以展开解为关于关于x的二次函数，再通过配方求其最小值但若能的二次函数，再通过配方求其最小值但若能注意到（注意到（xa）（）（bx）为定值，利用变形不等）为定值，利

14、用变形不等式式 即可使本题得解即可使本题得解 解：解：当当 ，即，即 时，时，从以上三个小题，可知从以上三个小题，可知“均值均值不等式不等式”的使用，注意了的使用，注意了“和和”“积积”的转换，达到了的转换，达到了“放缩放缩”目的目的解题时要创设应用均值不等式的解题时要创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立另外还要注意于使等号能够成立另外还要注意“和定积最大，积定和最小和定积最大，积定和最小”例例4已知已知a、b、m、n均为正数，且均为正数，且 ，比较，比较与与 的大小的大小

15、比较两个数（式）的大小，注意利用不等式的性质，比较两个数（式）的大小，注意利用不等式的性质，灵活应用已知条件，本题可采用作差比较法灵活应用已知条件，本题可采用作差比较法 分析：分析：解：解：，且，且a、b、m、n均正均正 ab，mn 即即 故上式分子中故上式分子中 分子分子0，分母，分母0则则即即 现在试题中现在试题中“不等式证明不等式证明”很很少，改为在一定条件下比大小，其少，改为在一定条件下比大小，其解题方法仍同于不等式的证明（只解题方法仍同于不等式的证明（只不过未确定大小）特别注意作差不过未确定大小）特别注意作差比较法中，代数式的恒等变形分比较法中，代数式的恒等变形分解因式，乘法公式的运

16、用解因式，乘法公式的运用 例例5设设p0，q0 且且 ，则，则pq2 分析：分析：欲证欲证pq2，可从其反面入手，证明，可从其反面入手，证明pq2是不可能的是不可能的 证：证：设设pq2，由，由 ，而而 pq2 即即 是不可能的，是不可能的，pq2也是不可能的，也是不可能的，则则 解后思考：解后思考：在证明不等式或比大小时，可以直接证明，也在证明不等式或比大小时，可以直接证明，也 可以利用间接证明的方法，如反证法，从另一可以利用间接证明的方法，如反证法，从另一 个角度考虑，证明有时可以取得更佳的效果个角度考虑，证明有时可以取得更佳的效果 例例 6设设abc1，且，且abc，求证：求证：根据根据

17、 a、b、c 满足的条件，联想到用方程的判别式求满足的条件，联想到用方程的判别式求解，因为给了三个数的和，三个数平方的和，而要证的是解，因为给了三个数的和，三个数平方的和，而要证的是其中一个数的取值范围，所以可用方程思想求解，想到判其中一个数的取值范围，所以可用方程思想求解，想到判别式别式分析：分析：证明：证明：abc1 ab1c 平方，得平方，得 代入代入得得 从从ab1c，联想到，联想到a、b为方程为方程的两实根，又的两实根，又abc 设设 ，则则即即 解出解出 注意不等式与函数，方程注意不等式与函数，方程之间的联系，把不等式的证明之间的联系，把不等式的证明转化为求一个字母转化为求一个字母

18、 c 的取值范的取值范围，使证明变得更加灵活围，使证明变得更加灵活 1下列命题正确的是（下列命题正确的是（）A若若B若若C若若D若若 2已知已知 ，则，则关系是（关系是（）的大小的大小ABCD3不等式不等式 与与 能同时成立的充要条件是（能同时成立的充要条件是（）ABCDD正负不能确定正负不能确定C可能是可能是0B一定是负数一定是负数A一定是正数一定是正数4已知实数已知实数a、b、c满足满足abc0，abc0，则则 的值（的值（）5已知已知 ，则有（则有（）AxyDxy CxyBxy6实数实数 m，n，x，y 满足满足那么那么 mxny 的最大值为（的最大值为（），ABCD 7如果如果x1，那么那么 p，q 的大小关系是的大小关系是 _ pq 提示：提示：8设设 a，b 都是正数，且都是正数，且 ，则，则 与与 的的大大 小关系是小关系是_提示：提示：，若若 ，则则 ，若，若ab，则则 则则 ，9已知已知 ，求证：，求证：原不等式可变形为原不等式可变形为 10已知已知 a、b、c 为互不相等的正数，且为互不相等的正数，且 abc1 求证：求证：a、b、c 均为不等正数，且均为不等正数，且 abc1，又又 ，而，而 ，故不能取等号，故不能取等号，同理同理 ，将以上三式相加得将以上三式相加得则则