线性代数ppt课件__第二章-矩阵及其运算.ppt

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1、第二章 矩阵及其 运算11 矩矩 阵阵线性方程组与矩阵的对应关系线性方程组与矩阵的对应关系23简记为简记为其中数其中数称为称为的第的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素,的的(i,j)元素。元素。4同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等：矩阵相等：5一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵零矩阵零矩阵(Zero Matrix):注意：注意：不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作零矩阵记作 或或 .6行矩阵行矩阵(Row Matrix):列矩阵列矩阵(Column Mat

2、rix):只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵称为行矩阵(或行向量或行向量).).只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵(或列向量或列向量)7方阵方阵(Square Matrix):是是 3 阶方阵阶方阵.行数与列数都等于行数与列数都等于n 的矩阵，的矩阵，称为称为 n 阶方阵阶方阵(或或 n 阶矩阵阶矩阵),记作记作An8对角阵对角阵(Diagonal Matrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。主对角线以外的元素都为零的方阵。9数量矩阵数量矩阵(Scalar Matrix):主对角元素全为非零常数主对角元素全为非零常数 k，其余元素全为零的其余元素全为零的方阵方阵。10单位

3、矩阵单位矩阵(Identity Matrix):主对角元素全为主对角元素全为1 1，其余元素都为零的方阵。，其余元素都为零的方阵。记作记作:11例例3：从变量从变量到变量到变量的的线性变换线性变换.其中其中为常数为常数.12线性变换与矩阵之间的对应关系线性变换与矩阵之间的对应关系.恒恒等等变变换换单单位位阵阵132 矩阵的基本运算矩阵的基本运算一、一、矩阵的加法矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 A与与B 的和记作的和记作A+B，规定为规定为定义定义214注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算才能进行加法运算.15负负矩阵：矩阵

4、：称为矩阵称为矩阵 A的负矩阵。的负矩阵。16矩阵加法满足的运算规律矩阵加法满足的运算规律:17二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘定义定义31819数乘矩阵满足的运算规律：数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的又称为矩阵的线性运算线性运算.设设 A,B为为mn 矩阵，矩阵，l l,m m 为数为数20定义定义4 4并把此乘积记作并把此乘积记作 C=AB三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 ms 矩阵，矩阵，是是一个一个 sn 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵与矩阵 B的乘积是一个的乘积是一个 mn 矩阵矩阵

5、，其中，其中ss2122例：例：2324251.矩阵乘法不满足交换律矩阵乘法不满足交换律注意：注意：设A 左乘左乘 BB 右乘右乘 A262.矩阵乘法不满足消去律矩阵乘法不满足消去律设但注意：注意：2728矩阵乘法满足的运算规律：矩阵乘法满足的运算规律：29若若 A是是 n 阶方阵，阶方阵，则则 为为A的的 次幂，即次幂，即 方阵的幂：方阵的幂：并且并且30方阵的多项式：方阵的多项式：31例例.设设求求3233四四.矩阵的转置矩阵的转置定义定义:把矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例:34转置矩

6、阵满足的运算规律：转置矩阵满足的运算规律：35例例5：已知：已知36解解1：37解解2：38对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵对称阵:设设 A 为为 n 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 A 称为对称阵称为对称阵.39反对称阵反对称阵:设设 A 为为 n 阶方阵，若满足阶方阵，若满足 ，即，即则则 称称 A 为反对称阵为反对称阵.显然显然,反对称阵的主对角元都是零。反对称阵的主对角元都是零。40例例注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵41五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：由定义：由 n 阶方阵阶方阵 A

7、的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 A 的行列式，记作的行列式，记作|A|或或 det A42运算规律：运算规律：注：虽然注：虽然 但但43定义：定义：行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵称为矩阵称为矩阵 A 的伴随矩阵的伴随矩阵.4445性质：性质：463 逆矩阵逆矩阵定义：定义：设设 A是是 n 阶矩阵，若存在阶矩阵，若存在 n 阶矩阵阶矩阵 B 使使AB=BA=E则称则称 A是是 可逆的可逆的，并称，并称 B 是是 A的逆矩阵，的逆矩阵，47若若 A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵

8、是唯一的。记记 A的逆矩阵为的逆矩阵为48定理定理1:证明：证明：n 阶方阵阶方阵 A可逆充要条件是可逆充要条件是|A|0,且且当当 A可逆时可逆时,A可逆可逆,存在存在B,使得使得 AB=E 于是于是|A|B|=|E|=1,|=1,即即|A|0 49若若|A|0,则称则称 A为为奇异矩阵奇异矩阵(退化矩阵退化矩阵)若若|A|0,则称则称 A为为非奇异矩阵非奇异矩阵(非退化矩阵非退化矩阵)|A|0,50推论：推论：证明：证明：2/12/202351方阵方阵 A 的逆矩阵的求法的逆矩阵的求法:52例如例如,53例例54例例5556可逆矩阵的运算规律可逆矩阵的运算规律:57注：注：5859例：例：

9、60解解6162于是于是63例：例：解方程解方程64解：解：方程两端方程两端左左乘矩阵乘矩阵65方程两端方程两端右右乘矩阵乘矩阵66例：例：设设解方程解方程解：解：6768例例：所以所以 A可逆，且可逆，且证：证：69所以所以 可逆，可逆，70例例：设设 Ax=b,A是是 n 阶可逆阵阶可逆阵,714 矩阵的分块法矩阵的分块法 矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段。手段。具体做法是：将矩阵具体做法是：将矩阵 A 用若干条纵线和横用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的一个子块，以子块为元素的矩阵称为的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.72例：例：7374分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则75767778798081(一一)分块对角矩阵的行列式具有下述性质分块对角矩阵的行列式具有下述性质:82(三三)83例：例：设设84解解:85则则86又又87于是于是88例：例：设设解：解：8990(1)加法加法:(2)数乘数乘:(3)乘法乘法:分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。919293