插值、拟合与数值微积分建模案例课件.pptx
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1、插值、拟合与数值微积分建模案例1、估计水塔的水流量估计水塔的水流量2、录像机计数器的用途录像机计数器的用途3、汽车刹车距离汽车刹车距离问问 题题估计水塔的水流量估计水塔的水流量某某地地区区用用水水管管理理机机构构需需要要对对居居民民的的用用水水速速度度(单单位位时时间间的的用用水水量量)和和日日总总用用水水量量进进行行估估计计。现现有有一一居居民民区区,其其自自来来水水是是由由一一个个圆圆柱柱形形水水塔塔提提供供,水水塔塔高高12.2m12.2m,塔塔的的直直径径为为17.4m17.4m。水水塔塔是是由由水水泵泵根根据据水水塔塔中中的的水水位位自自动动加加水水,一一般般水水泵泵每每天天工工作作
2、两两次次,按按照照设设计计,当当水水塔塔中中的的水水位位降降至至最最低低水水位位,约约8.2m8.2m时时,水水泵泵自自动动启启动动加加水水;当当水水位位升升高到最高水位,约高到最高水位,约10.8m10.8m时,水泵停止工作。时,水泵停止工作。表表1 1给出的是某一天的测量数据,测量了给出的是某一天的测量数据,测量了2828个时刻的个时刻的数据,但由于水泵正向水塔供水,有三个时刻无法测到数据,但由于水泵正向水塔供水,有三个时刻无法测到水位(表中用水位(表中用表示),试建立数学模型,来估计居民表示),试建立数学模型,来估计居民的用水速度和日用水量。的用水速度和日用水量。表表1 1 水塔中水位原
3、始数据水塔中水位原始数据 分析分析日用水量日用水量用水速度用水速度每个时刻水塔中水的体积每个时刻水塔中水的体积 每个时刻水塔中水的体积?每个时刻水塔中水的体积?居民的用水速的?居民的用水速的?日用水量?日用水量?思考思考数值微分模型假设模型假设 影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求;水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小;水泵充水速度恒定,且远大于水塔的水流速度;水塔的水流量与水泵状态独立;水流量曲线是一条连续光滑的曲线;表1数据是准确的;表表2 2 水塔中水的体积水塔中水的体积(其中d为水塔中水的高度,r为底面半径)模型建立与求解模型建立与求解 图图1 1 水
4、塔中水体积的散点图水塔中水体积的散点图 图图2 2 水塔中水流速度的散点图水塔中水流速度的散点图 图图3 3 预测水塔中未知的流速预测水塔中未知的流速 图图4 4 样条插值得到的水流速度曲线样条插值得到的水流速度曲线结果结果模型检验模型检验返回模型稳定性分析模型稳定性分析运用数值求积公式可得问问题题在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为4450,问剩下的一段还能否录下,问剩下的一段还能否录下1小时的节目?小时的节目?要求要求不仅回答问题,而且建立计数器读数与不仅回答问题,而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。录像带转过时间的关系。思考思考计
5、数器读数是均匀增长的吗?计数器读数是均匀增长的吗?录像机计数器的用途录像机计数器的用途经试验,一盘标明经试验,一盘标明180分钟的录像带从头分钟的录像带从头走到尾,时间用了走到尾,时间用了184分,计数器读数从分,计数器读数从0000变到变到6061。录像机计数器的工作原理录像机计数器的工作原理主动轮主动轮压轮压轮0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头计数器计数器录像带录像带录像带运动方向录像带运动方向录像带运动录像带运动右轮盘半径增大右轮盘半径增大;问题分析问题分析观察观察 计数器读数增长越来越慢!计数器读数增长越来越慢!计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢;右轮转速右轮转速(角速度角速度
6、)不是常数不是常数;录像带运动速度录像带运动速度(线速度线速度)是常数是常数.录像带的运动速度是常数录像带的运动速度是常数 v;计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比,记成正比,记 m=kn;录像带厚度(加两圈间空隙)为常数录像带厚度(加两圈间空隙)为常数 w;空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r;时间时间 t=0 时读数时读数 n=0.建模目的建模目的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系(设(设v,k,w,r为已知参数)为已知参数)模型假设模型假设模型建立模型建立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法1.右轮盘转第右轮盘转第 i 圈的半径为圈
7、的半径为r+wi,m圈的总长度圈的总长度等于录像带在时间等于录像带在时间t内移动的长度内移动的长度vt,所以所以请解释?2.考察右轮盘面积的考察右轮盘面积的变化,等于录像带厚度变化,等于录像带厚度乘以转过的长度,即乘以转过的长度,即3.考察考察t到到t+dt录像带在录像带在右轮盘缠绕的长度,有右轮盘缠绕的长度,有模型建立模型建立思思 考考3 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果模型中有待定参数模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法。一种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法。思思 考考参数估计参数估计另一种确定参数的方法另一种确定参数的方法测试分析测试分析
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