函数极限连续课件.pptx

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1、高等数学的研究内容：高等数学的特点：以大学本科所学为限，它主要包含：解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。线性代数：研究如何解线性方法组及有关的问题。高等代数：研究方程式的求根问题。微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题等。概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。第1页/共93页首先，理解概念。概念反映的是事物的本质,弄清楚它是如何定义的、有什么性质。高等数学的学习方法：其次，掌握定理。定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。第三,在弄懂

2、例题的基础上作适量的习题。第四，理清脉络。要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，第2页/共93页所用的工具是极限，函数的性质连续。函数 极限 连续微积分研究的对象是函数，微积分的历史：牛顿，莱布尼茨calculus微积分的研究内容：第3页/共93页第1章 函数、极限和连续对给定的数a及任意的正数，称集合为点a的邻域，记作 1.1 函数1.集合2.区间3.绝对值4.邻域邻域表示方法:一、基本概念点a的去心邻域:第4页/共93页设在某变化过程中有两个变量x和y,变量x在如果对D中每个确定的x，给定的数集D中取值，变量y按照一定的法则总有唯一确定的数值1.定义1.1.1与之对应，则称变量y

3、是变量x的函数，记作D:定义域，x自变量，y：因变量二.函数概念y=f(x)第5页/共93页3.单值函数，多值函数2.绝对值函数，分段函数，二.性质三.反函数 其定义域为D,值域为W，有界性、单调性、奇偶性、周期性记作x=f-1(y),给定函数y=f(x)，如果对于W中任一值y=y0，必定在D中有唯一的x0,使f(x0)=y0,我们说在W上确定了y=f(x)的反函数，定义1.1.2第6页/共93页四.初等函数1.基本初等函数(六种)（1）常数函数（6）反三角函数（3）指数函数（5）三角函数（2）幂函数（4）对数函数由F(x,y)=0 确定的函数y=f(x)6.隐函数第7页/共93页2.复合函数

4、若函数y=f(u)，而u=g(x)，且u=g(x)的值域包含在y=f(u)的定义域内，则通过变量u,y就是x的函数，记作y=fg(x),而u 称为中间变量称这个函数为y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数 第8页/共93页3.初等函数由基本初等函数通过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的且能用一个解析式子表示的函数均为初等函数均为初等函数研究复合函数，经常需要将一个复合函数分解成几个简单函数的形式。第9页/共93页例分解复合函数为几个简单函数的形式第10页/共93页2.极坐标方程圆心在O，半径为a的极坐标方程：r=a 3.极坐标与直角坐标系的关系五、极坐标1.极坐标系圆心在（a,0)，

5、半径为a的极坐标方程：第11页/共93页1.2 极限极限1.数列的极限按照一定顺序排列出来的一列数记作称为数列数列中的每一个数叫作数列的项第n 项un 叫作通项一、极限的概念极限的概念第12页/共93页例如例如一尺之棒，日取其半，万世不竭。庄子天下篇载一段话即一尺长的木棒,每天取下它的一半,每天取下它的长度是一个数列,当n时,无限趋于常数0,但永远不等于0.这就是万世不竭.第13页/共93页极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术：通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近

6、某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，An，当n的极限数列的极限的产生 再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；依次循下去可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，An，：有序数列。第14页/共93页定义定义1.2.11.2.1 则称数列则称数列 xn 或（或（）记为记为若数列若数列 xn 没有极限，则称数列没有极限，则称数列 xn 发散。发散。设设 xn 是一个数列，是一个数列，aa为常数为常数，如果对于如果对于任意给定的正数任意给定的正数 ，总可以找到正整数总可以找到正整数 ，使得当，使得当 时，时，恒有恒有 当当

7、 时以时以 a a为极限，为极限，第15页/共93页 几何意义：总存在着整数N，使当 时所有的点xn都落在点a的 邻域 之内，而只有有限个（至多 个）落在邻域之外定义定义1.2.11.2.1 第16页/共93页例例 证明分析：证第17页/共93页例例 证明证：因要使若取正整数由定义知结论成立第18页/共93页定义定义1.2.21.2.22.函数的极限(1).自变量趋于无穷大时函数的极限第19页/共93页几何意义几何意义第20页/共93页例 证明分析由定义知结论成立第21页/共93页则得数列极限的定义。特例 数列极限结论结论当x 取自然数n.第22页/共93页设函数f(x)在x0的某邻域内有定义

8、，记作（可除外）a为一常数，(2).自变量趋于有限值时的函数极限定义1.2.3第23页/共93页例 证明证 对于任意给定的正数因为欲使只要第24页/共93页注注 意意1）意为从 x0 两侧无限接近x02）即使函数f(x)在x0点无定义，仍可考虑的存在问题思考：若函数f(x)在x0 有定义3）由定义知：，x0 为任意实数是否一定成立第25页/共93页设函数f(x)在x0的右方某邻域内有定义，a为一常数。记作左右极限定义1.2.4第26页/共93页例例 5 5 第27页/共93页例例 6 6第28页/共93页第29页/共93页（3 3）函数极限和数列极限的关系）函数极限和数列极限的关系第30页/共

9、93页 定理1.2.4（极限的保序性）定理1.2.2（极限的唯一性）如果又则必有A=B 3.数列极限的性质极限的性质定理1.2.3（数列收敛的必要条件）收敛数列必有界推论 无界数列必发散定理1.2.5（极限的保号性）推论 第31页/共93页 4.函数极限的性质极限的性质定理1.2.6（极限的唯一性）定理1.2.7（极限存在的必要条件）定理1.2.8（极限的保序性）定理1.2.9（极限的保号性）第32页/共93页注意注意 不要把无穷小与很小的数混为一谈！不要把无穷小与很小的数混为一谈！定义定义1.2.5 1.2.5 5.无穷小与无穷大无穷小与无穷大第33页/共93页注：1）无穷小是一个变量，而不

10、是绝对值很小的常数因而0是无穷小2）特别地，当 时，满足无穷小的定义，3）当 （或 ）时，函数与零无限制地逼近第34页/共93页定义1.2.6定理1.2.10问题：无穷大量与无界函数有什么区别？2、无穷大第35页/共93页二、极限的运算法则与性质定理1.2.21.2.2推论1 1 1 1、极限的运算法则第36页/共93页1 1）若有限个函数的极限存在，2 2）上面各定理对于数列同样正确3 3）上面各定理的极限过程为 或注 1 1）例1若则和的极限 等于极限的和注意：第37页/共93页若且则例2注 2）第38页/共93页注 3）若则则应消去零因子后，再求极限例3若注 4）例4注 5）对于无理分式

11、，若是先恒等变形，再求极限第39页/共93页例5例6例7第40页/共93页例8注 6）例9第41页/共93页第42页/共93页 (3)有界函数与无穷小之积仍为无穷小.无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷大？思考：无穷大量与无穷小量的乘积是否为无穷小？2、无穷小的运算性质推论 (1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.(2)有限个无穷小的乘积仍为无穷小.第43页/共93页 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 定理定理1.2.3 设设第44页/共93页例9有关数列极限的题目第45页/共93页例10例11第46页/共93页例12第47页/共93页 1.3 1.3 极限存在准则 两个重要极限一、极

12、限存在准则准则1 1*准则1 1如果数列 及 满足下列条件则数列 的极限存在且 （夹逼准则）第48页/共93页例1xn第49页/共93页单调有界数列必有极限.单调增数列单调减数列单调数列的变化趋势例2准则第50页/共93页二、两个重要极限由数学归纳法证明得第51页/共93页证：作单位圆则S AOB即交OB的延长线于D D 由于所以过点A 作圆的切线,S AOD0,设 nxn+1.有界，由准则，此数列 有极限。第59页/共93页再考虑x-,设 x=-(y+1),则第60页/共93页结论：第61页/共93页例2例3例1第62页/共93页注意例1例4第63页/共93页无穷小的比较第64页/共93页一

13、、无穷小的比较定义1.2.71.2.7第65页/共93页二、无穷小主部和无穷小的阶第66页/共93页例1第67页/共93页例2第68页/共93页三、等价无穷小代换定理定理1.3.1定理1.3.1证定理1.3.2第69页/共93页例3 求例4第70页/共93页注意 等价无穷小代换不能在加减法中适用等价无穷小代换不能在加减法中适用.例第71页/共93页总 结第72页/共93页1.4连续一、函数的连续性注意增量第73页/共93页定义1.4.1二.函数连续的定义反之,称函数在 x0 处间断,且将x0叫作函数的间断点 第74页/共93页连续性的等价定义第75页/共93页定义第76页/共93页,第77页/

14、共93页例2例3第78页/共93页第79页/共93页三、间断点定义3第80页/共93页间断点分类例第81页/共93页例5第82页/共93页二、连续函数的运算法则定理1.4.1和差积商的连续性定理1.4.2反函数的连续性第83页/共93页复合函数的连续性例6即若则定理1.4.3第84页/共93页初等函数连续性1、基本初等函数在其定义域上连续.2、初等函数在其定义区间上连续.3、初等函数在其定义区间上求极限即求该点的函数值.4、初等函数求连续区间即求定义区间.例7第85页/共93页第86页/共93页三、闭区间上连续函数的性质1、最大值和最小值定理定义最大值和最小值.定理1.4.4(最大值和最小值定

15、理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有第87页/共93页几何说明：第88页/共93页例如在上连续但无最大最小值1）若在开区间上连续，注意：2）若在上有定义，但有间断点，则在区间上不一定达到最大值。则在区间上不一定达到最大最小值。第89页/共93页例如3）最大值最小值可能不唯一4）最大值最小值可在区间内或区间端点处取得5）定理仅指出最值的存在，并没指出在何处取得。推论（有界性定理）推广：第90页/共93页2、介值定理定理1.4.5(介值定理)推论1在闭区间上连续的函数推论2(根的存在定理,零点定理)必取得介于其最大值与最小值之间的任何值.第91页/共93页例2第92页/共93页感谢您的欣赏！第93页/共93页