华师大版九年级数学上册第24章解直角三角形课件.ppt

《华师大版九年级数学上册第24章解直角三角形课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华师大版九年级数学上册第24章解直角三角形课件.ppt（152页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.1 测量测量1.能够借助刻度尺等工具进行测量.（重点）（重点）2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度.(重点)3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.（难点）学习目标 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题你能设计出一种测量的方案吗？观察与思考新课引入新课引入要求要求：（1）画出测量图形；（2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量的数据)；（3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式.用不同的方案进行测量新课讲解新课讲解旗杆影长ABCDEF

2、标杆影长影长法影长法比例式:新课讲解新课讲解人平面镜平面镜法平面镜法比例式:新课讲解新课讲解ABCDEFGH标杆法标杆法人标杆比例式:AB=AE+EB新课讲解新课讲解DABE1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角BAC=34；C2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；3.量出测倾器的高度AD=1.5米.34你能利用这你能利用这些数据算出些数据算出旗杆的高度旗杆的高度吗？吗？测倾器法测倾器法新课讲解新课讲解DABE1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角BAC=34；C2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE=l0米；3.量出测倾器的高度AD=1.5米.34BCA(精确到0.1米)你知道

3、计算的方法吗？新课讲解新课讲解DABE实际上，我们利用图中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系C我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？34本章主要探究的内容就是直角三角形中的边角关系新课讲解新课讲解某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；沿河岸直走20步有一树C，继续前行20步到达D处；从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；测得DE的长就是河宽AB请你证明他们做法的正确性新课讲

4、解新课讲解例题【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可说明其做法的正确性【证明】如图，由做法知：在RtABC和RtEDC中，RtABCRtEDC（ASA），AB=ED，即他们的做法是正确的新课讲解新课讲解1.利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻，物高与影长成比例.2.利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理.3.构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角相等.课堂总结课堂总结第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.2 直角三角形的性质直角三角形的性质1.理解直角三角形及在实际生活中的应用.（重点）2.经历直角三角形的

5、性质的猜想、演绎推理、证明过程，体会 探究过程中的乐趣.（难点）学习目标问题1什么是直角三角形？有一个内角是直角直角的三角形叫直角三角形直角三角形可表示为：RtABCACB斜边直角边直角边想一想：想一想：直角三角形的两个锐角有什么关系？三边之间有什么关系？问题引入问题引入（1）直角三角形的两个锐角_；互余（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和_斜边的 平方.等于下面我们探索直角三角形的其他性质.问题2你知道我们学过了直角三角形的哪些性质？问题引入问题引入1.在RtABC中，两锐角的和AB=？AB=902.在ABC中，如果AB=90，那么ABC是直角三角形吗？是3.在RtABC中，AB、AC

6、、BC之间有什么关系？AB2=AC2+BC2ABC直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半问题引导1新课讲解新课讲解任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？我们来验证一下！ABCD探究归纳新课讲解新课讲解直角三角形的性质之一在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.数学语言表述为：在RtABC中CD是斜边AB上的中线,CDADBD AB.（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)CBAD新课讲解新课讲解ABCD证明：思路引导：中线辅助线作法：将中线延长一倍.延长CD到点E，使DE=CD，连结AE、BE.

7、ECD是斜边AB的中线，AD=BD.又DE=CD，四边形ACBE是平行四边形.又ACB=90，ACBE是矩形，CE=AB.如图，RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线.求证：CD=AB.新课讲解新课讲解例11.1.已知已知RtRtABCABC中，斜边中，斜边ABAB=10cm=10cm，则斜边上的中线的长为，则斜边上的中线的长为_._.2.2.如图，在如图，在RtRtABCABC中，中，CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线CDACDA=80=80，则则A A=_=_，B B=_.=_.5cm5cm50504040练一练新课讲解新课讲解RtABC中，ACB=90，A=30，求

8、证：BC=AB.证明：作斜边上的中线CD，则CD=AD=BD=AB.（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）A=30B=60CDB是等边三角形，BC=BD=AB.CBAD对此，你对此，你能得出什能得出什么结论？么结论？直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半新课讲解新课讲解2例21.如图，在ABC中，若BAC=120，AB=AC,ADAC于点A，BD=3，则BC=_.9随堂即练随堂即练2.如图，C=90，B=15，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D,BD=16cm，则AC的长为_.8cm随堂即练随堂即练3.如图，在ABC中，BD、CE是高，M、N分别是BC、ED的中点，试

9、说明：MNDE.解：连结EM、DM.BD、CE是高，M是BC中点，在RtBCE和RtBCD中，EM=DM.又N是ED的中点，MNEDNMDEBCA，BC21DMBC21EM=随堂即练随堂即练性质1直角三角形两个锐角互余性质2直角三角形的勾股定理性质3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质4直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半课堂总结课堂总结第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.3 锐角三角函数锐角三角函数第1课时锐角三角函数1.理解锐角三角函数的定义.（重点）2.掌握三角函数之间的关系并会计算.（难点）学习目标1.在RtABC中，C=90，AB=10，BC=6，AC=_.2.在

10、RtABC中，C=90，A=30，AB=10cm,则BC=，理由是.8530所对直角边是斜边的一半问题引入问题引入探究：探究：任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，AA，那么与有什么关系能解释一下吗？ABCABC锐角三角函数定义及三角函数之间的关系新课讲解新课讲解在图中，由于CC90，AA，所以RtABCRtABC这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比也是一个固定值新课讲解新课讲解如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine），记作sinA即例如，当A30时，我们有当A45时，我们有ABCcab对边斜

11、边在图中A的对边记作aB的对边记作bC的对边记作c引出定义：新课讲解新课讲解如图，在RtABC中，C90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？B对边aAC邻边b斜边c探究归纳新课讲解新课讲解任意画RtABC 和RtABC，使得CC90，BB，那么与有什么关系能解释一下吗？ABCABC在图中，由于CC90，BB，所以RtABCRtABC.新课讲解新课讲解这就是说，在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，B的对边与斜边的比也是一个固定值当锐角B的大小确定时，B的邻边与斜边的比也是固定的，我们把B的邻边与斜边的比叫做B的余弦（

12、cosine），记作cosB，即引出定义：知识归纳知识归纳1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.如图：在RtABC中，C90，正弦余弦新课讲解新课讲解 探究：探究：当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？新课讲解新课讲解在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个固定值.BCBCACAC所以探究探究2：如图，RtABC和RtABC，C=C=90，A=A=，问：有什

13、么关系？由于C=C=90，A=A=，所以RtABCRtABCACBCACBC与即ACBCACBC新课讲解新课讲解如图,在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA.一个角的正切表示定值、比值、正值.知识归纳知识归纳ABC思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；可以大于1.知识延伸知识延伸1.如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，图中sinB可由哪两条线段比求得.DCBA解：在RtABC中，在RtBCD中，因为B=ACD，所以 提示：提示：

14、求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值.随堂即练随堂即练2.如图，在RtABC中，C90，AB=10，BC6，求sinA、cosA、tanA的值解：又ABC610，.，.随堂即练随堂即练3.如图，在RtABC中，C90，cosA，求sinA、tanA的值解：ABC设AC=15k，则AB=17k所以.，随堂即练随堂即练4.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.完成下列填空.ABCD(1)tanA=AC()CD()(2)tanB=BC()CD()BCADBDAC随堂即练随堂即练5.如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA，求：sinA、cosB的值ABC8解

15、：.，.随堂即练随堂即练在RtABC中=abtanA=课堂总结课堂总结定义定义中应该注意的几个问题:1.sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA、tanA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA、tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.课堂总结课堂总结第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.3 锐角三角函数锐角三角函数第2课时特殊角的三角函数值1.掌握特殊锐角的三角函数值.（重点）2.掌握30，45，60角的三角函数值的推导过程并会计 算.（难点）学习目标1.在RtABC中，C=90，cos

16、A=,BC=8，则AB=_，AC=_，sinB=_，ABC的周长是_.2.在RtABC中，C=90，B=45，则A=_，设AB=k（k0），则AC=_，BC=_，sinB=sin45=_，cosB=cos45=_，tanB=tan45=_.10624451问题引入问题引入 探究：探究：两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值306045 45特殊角的三角函数新课讲解新课讲解1设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，另一条直角边长30，.新课讲解新课讲解设两条直角边长为a，则斜边长6045，.，.，新课讲解新课讲解30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下

17、表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数304560sinacosatana知识归纳知识归纳求下列各式的值：（1）cos260sin260（2）解：（1）cos260sin2601.（2）0.特殊三角函数值的运用新课讲解新课讲解2例1操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30，并已知目高为1.65米然后他很快就算出旗杆的高度了.1.65米10米?30你想知道小明怎样算出的吗？新课讲解新课讲解例21.如图，在ABC中，A=30，求AB.ABCD解：过点C作CDAB于点DA=30，.，.，.，.随堂即练随堂即练2.

18、求下列各式的值：（1）12sin30cos30（2）3tan30tan45+2sin60（3）解：（1）12sin30cos30（2）3tan30tan45+2sin60随堂即练随堂即练.随堂即练随堂即练3.在RtABC中，C90，求A、B的度数BAC解：由勾股定理，得A=30B=90 A=9030=60，.随堂即练随堂即练30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数304560sinacosatana对于sin与tan，角度越大，函数值也越大；（为锐角）对于cos，角度越大，函数值越小.课堂总结课堂总结第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.3 锐角三角函数锐角三

19、角函数第3课时用计算器求锐角三角函数值1.会用计算器求锐角三角函数值.（重点）2.会用计算器根据三角函数值求锐角度数.（重点）学习目标1.同学们,前面我们学习了特殊角30、45、60的三角函数值,一些非特殊角(如17、56、89等)的三角函数值又怎么求呢?问题引入问题引入 A1.6mDBE20m42C2.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42（如图），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？这里的tan42是多少呢？问题引入问题引入求sin18第一步：按计算器键；sin第二步：输入角度值18；屏幕显示结果sin18=0

20、.309016994.（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）用计算器求锐角三角函数值新课讲解新课讲解1例1第一步：按计算器键，tan求tan3036.第二步：输入角度值30，分值36（可以使用键），屏幕显示答案：0.591398351第一种方法：第一种方法：第二种方法：第二种方法：第一步：按计算器键，tan第二步：输入角度值30.6（因为303630.6）屏幕显示答案：0.591398351新课讲解新课讲解例2认识：认识：如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角根据三角函数值求锐角度数新课讲解新课讲解2 已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还可以

21、接着按键，进一步得到A3078.97.第一步：按计算器键，SHIFTsin第二步：然后输入函数值0.5018屏幕显示答案：30.11915867（按实际需要进行精确）新课讲解新课讲解例3用计算器求下列锐角三角函数值；（1）sin20=，cos70=；（2）tan38=，tan802543=.sin35=，cos55=；sin1532=，cos7428=.分析结果，你能得出什么猜想，你能说明你的猜想吗？练一练练一练0.3420.3420.5740.5740.2680.2680.0555.930新课讲解新课讲解1.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.2.余弦值随着角度的增大（或减小）而

22、减小（或增大）.3.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.4.若+=90，那么sin=cos；cos=sin .知识归纳知识归纳1.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：（1）sinA=0.6275，sinB0.0547；（2）cosA0.6252，cosB0.1659；（3）tanA4.8425，tanB0.8816.A=385157.3，B=388.32A=511811.27，B=80271.72A=781955.74，B=412357.84随堂即练随堂即练2.下列各式中一定成立的是（）A.tan75tan48tan15B.tan75tan48tan15C.cos75c

23、os48cos15D.sin75sin48sin15A随堂即练随堂即练1.我们可以用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角.3.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）;余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）;正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.课堂总结课堂总结第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.4 解直角三角形解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用1.会运用勾股定理解直角三角形.（重点）2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三 角形.（重点）3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点）学习

24、目标BACcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_；(2)锐角之间的关系：A+B=_；(3)边角之间的关系：sinA=_，cosA=_，tanA=_.在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？c290思考引入思考引入探究：探究：比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在RtABC中，C90，BC5.2m，AB54.5m.所以A528可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角你愿意试着计算一下吗？ABCABC已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用新课讲

25、解新课讲解1要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50a75.现有一个长6m的梯子，问：（1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1）？这时人是否能够安全使用这个梯子？（2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？新课讲解新课讲解例1对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在RtABC中，已知AC2.4，斜边AB6，求锐角a的度数由于利用计算器求得a66因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66.由506675可知，这时使用这个梯子是安全的ABC

26、新课讲解在图中的RtABC中，（1）根据A75，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC6=75已知一边和一锐角解直角三角形新课讲解2例2在图中的RtABC中，（2）根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4新课讲解新课讲解由，得问题（2）可以归结为：在RtABC中，已知A75，斜边AB6，求A的对边BC的长问题（2）当梯子与地面所成的角a为75时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m.所以BC60.975.8（m）.由计算器求得sin750.97.ABC新课讲解新课讲解.事

27、实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素ABabcC解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程方法总结方法总结1.如图，在RtABC中，C90，,解这个直角三角形.解：ABC随堂即练随堂即练,.2.如图，在RtABC中，C90，AC=6，BAC的平分线，解这个直角三角形.DABC6解：因为AD平分BAC随堂即练随堂即练3.在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形；（1）a=30,b=20;解：根据勾股定理,得ABCb=20a=30c随堂即练随堂即练，.在RtA

28、BC中，C90，根据下列条件解直角三角形；(2)B72，c=14.ABCbac=14解：，.4.如下图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米?解：解：如图所示，依题意可知，当如图所示，依题意可知，当B B=60=60时，时，即梯子的长至少3.5米.C CA AB B（2）两锐角之间的关系：AB90.（3）边角之间的关系：（1）三边之间的关系：（勾股定理）.ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：课堂总结课堂总结1数形结合思想.方法：方法：把数学问题

29、转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出直角三角形.2方程思想.3转化（化归）思想.课堂总结课堂总结解题思想与方法小结解题思想与方法小结第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.4 解直角三角形解直角三角形第2课时仰角、俯角问题1.了解仰角、俯角的概念.（重点）2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点）学习目标问题1：在三角形中共有几个元素？问题2：解直角三角形的应用问题的思路是怎样？问题引入问题引入热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到

30、0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，=30,=60.RtABD中，=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BCABCD仰角水平线俯角仰角、俯角问题新课讲解新课讲解例1解：如图，a=30,=60，AD120即这栋楼高约为277.1m.ABCD新课讲解新课讲解，.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形BCD中ACD=90，B

31、C=DC=40m.在RtACD中AB=ACBC=55.240=15.2.即旗杆的高度为15.2m.新课讲解新课讲解，.例21.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=_米.2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米.100100图1图2BCBC随堂即练随堂即练解：依题意可知，在RtADC中所以树高为19.2+1.7220.9(米)3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米，求树

32、高(精确到0.1米）.ADBEC随堂即练随堂即练4.如图3，从地面上的C、D两点测得树顶A仰角分别是45和30，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于（根号保留）5.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为（根号保留）图3图4随堂即练随堂即练铅直线水平线视线视线仰角俯角1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.课堂总结课堂总结3.认真阅读题目，把实际问题去掉情境转化为数学中的几何问题.把四边形问题转化为特殊四边形（矩形或平行四边形）与三角形来解决.2.梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成

33、平行四边形与直角三角形）来处理.课堂总结课堂总结第第2424章章 解直角三角形解直角三角形24.4 解直角三角形解直角三角形第3课时坡度问题1.了解坡度和坡角的概念.（重点）2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点）学习目标在直角三角形中,除直角外,由已知两元素求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形(1)三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；2.解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系:AB90；(3)边角之间的关系:tanAabsinAaccosAbc(必有一边)abc新课引入新课引入水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD

34、的坡度i=12.5，则斜坡CD的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ADBCi=1:2.523m6m坡度问题新课讲解新课讲解例1lhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作.2.坡度（或坡比）坡度通常写成1m的形式，如i=16.如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,即i=hl3.坡度与坡角的关系坡度等于坡角的正切值坡面水平面知识归纳知识归纳1.斜坡的坡度是，则坡角=_度.2.斜坡的坡角是45，则坡比是_.3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_.lh301：1练一练新课讲解新课讲解 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m

35、，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;（2）斜坡CD的坡角（精确到1）.EFADBCi=1:2.523m6m分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C作AD的垂线；新课讲解新课讲解例2垂线BE、CF将梯形分割成RtABE，RtCFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解RtABE和RtCDF求出；斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解RtABE和RtCDF.解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、F,由题意可知EFADBCi=1:2.

36、523m6mBE=CF=23m，EF=BC=6m.在RtABE中，新课讲解新课讲解，AE=3BE=323=69(m).在RtDCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5（m）.在RtABE中，由勾股定理，得(2)斜坡CD的坡度i=tan=1：2.5=0.4，由计算器可算得即坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡CD的坡角约为22.新课讲解新课讲解.FD=2.5CF=2.523=57.5（m）.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：（1）坡角a和;（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）.BA

37、DFEC6mi=1:3i=1:1.5解：（1）在RtAFB中，AFB=90，在RtCDE中，CED=90，新课讲解新课讲解，.，.例3与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hhll新课讲解新课讲解我们设法“化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.hl新课讲解新课讲解 1.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1、h2、hn,

38、然后我们再“积零为整”，把h1、h2、hn相加，于是得到山高h.2.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容方法归纳方法归纳解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略方法归纳方法归纳1.一段路基的横断面是

39、梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽（精确到0.1,米,）.45304米12米ABCD随堂即练随堂即练解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知DECF4（米），CDEF12（米）在RtADE中，在RtBCF中，同理可得因此ABAEEFBF4126.9322.93（米）即路基下底的宽约为22.93米随堂即练随堂即练45304米12米ABCEFD.，.2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AHBC，坡角ABC74，坝顶到坝脚的距离AB6m为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.

40、1m)随堂即练随堂即练分析将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE、DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE、BF，进而得到AD的长随堂即练随堂即练随堂即练随堂即练利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案课堂总结课堂总结第第2424章章 解直角三角形解直角三角形复习课锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题cabABC知识知识构架构架锐角三角函数（两边

41、之比）知识知识构架构架特殊角的三角函数213011452160知识知识构架构架解直角三角形A B90a2+b2=c2三角函数关系式计算器由锐角求三角函数值由三角函数值求锐角知识知识构架构架简单实际问题数学模型解直角三角形梯形组合图形三角形构建作高转化为直角三角形知识知识构架构架回顾思考回顾思考(2)A的余弦：的余弦：cosA；(3)A的正切：的正切：tanA.回顾思考回顾思考易错点：忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前提是在直角三角形中230、45、60角的三角函数值sin30，sin45，sin60；cos30，cos45，cos60；tan30，tan45，tan60.3解直角三角形

42、的依据(1)在RtABC中，C90，a、b、c分别是A、B、C的对边1 回顾思考回顾思考三边关系：；三角关系：；边角关系：sinAcosB，cosAsinB，tanA，tanB.(2)直角三角形可解的条件和解法条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素a2b2c2A90B回顾思考回顾思考解法：一边一锐角，先由锐角关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题回顾思考回顾思考1.如图，在AB

43、C中，C90，点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC=，求：（1）DC的长；（2）sinB的值分析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在RtACD和RtABC中求得，由ADBC，图中CDBCBD，由此可列方程求出CDABCD随堂即练随堂即练解：（1）设CDx，在RtACD中，cosADC=,又BCCDBD，解得x=6.CD=6.ABCD随堂即练随堂即练.，(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD.在RtACD中，在RtABC中，随堂即练随堂即练.，.解析：要求ABC的周长，先通过解RtADC求出CD和AD的长，然后根据勾股定理求出AB的长随堂即练随堂即练随堂即练随堂即练3.

44、如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39.(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；(2)求大楼的高度CD(精确到1米)随堂即练随堂即练解析：(1)利用ABC是等腰直角三角形易得AC的长；(2)在RtBDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出BE的长，用AB的长减去BE的长度即可随堂即练随堂即练解：解：(1)(1)由题意由题意，得得ACBACB4545，A A9090，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACACABAB610(610(米米)(2)(2)DEDEACAC610.610.在在RtRtBDEBDE

45、中，中，tantanBDEBDE ，BEBEDEDEtan 39tan 39.CDCDAEAE，CDCDABABDEDEtan 39tan 39610-610-610610tan39tan39116(116(米米)即大楼的高度即大楼的高度CDCD约为约为116116米米ABCbac课堂小结课堂小结 解应用题时，先要将实际问题转化为数学问题，找出直角三角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁，从而利用解直角三角形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际情况的答案解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中对于较复杂的图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起，从而达到解题的目的课堂小结课堂小结