均值不等式公开课课件.pptx

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1、2002年第24届国际数学家大会在北京举行 走 进 智 者 挑 战 自 我第1页/共14页 会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。2002年第24届国际数学家大会在北京举行 走 进 智 者 挑 战 自 我第2页/共14页 走 进 智 者 挑 战 自 我第3页/共14页思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些不等关系案中找出一些不等关系？第4页/共14页ab1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、

2、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S=、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？探究：探究：S_S问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？第5页/共14页ADBCEFGHba重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。ABCDE(FGH)ab第6页/共14页思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？证明：（作差法）证明：（作差法）第7页/共14页结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，总有，总有 当且仅当当且仅当a=b时，等号成

3、立时，等号成立文字叙述为文字叙述为:两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍.适用范围：适用范围：a,b R第8页/共14页替换后得到：替换后得到：即：即：即：即：第9页/共14页证明：比较法：比较法：如何证明不等式：如何证明不等式：当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”第10页/共14页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如

4、何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_第11页/共14页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab第12页/共14页1.代数意义：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数1.代数证明:2.几何意义：几何意义：半弦长小于等于半径半弦长小于等于半径（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数2.几何证明:从数列角度看从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项等差中项基本不等式第13页/共14页感谢您的欣赏感谢您的欣赏第14页/共14页