三重积分及其计算.pptx

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1、2023/2/14 5:201其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同若极限存在，则称函数可积若函数在闭区域上连续，则一定可积由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质三重积分的物理背景以 f(x,y,z)为体密度的空间物体的质量下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。第1页/共26页2023/2/14 5:202二、在直角坐标系中的计算法二、在直角坐标系中的计算法 如果我们用三族平面 x =常数，y=常数,z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体其体积为故在直角坐标系下的面积元为三重积分可写成和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算具体可分为先单后

2、重和先重后单第2页/共26页2023/2/14 5:203先单后重先单后重第3页/共26页2023/2/14 5:204也称为先一后二，切条法（先z次y后x ）注意注意用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。第4页/共26页2023/2/14 5:205化三次积分的步骤投影，得平面区域穿越法定限，穿入点下限，穿出点上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法例1 将化成三次积分其中 为长方体，各边界面平行于坐标面解将 投影到xoy面得D，它是一个矩形在D内任意固定一点（x,y)作平行于 z 轴的直线交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m （l m)第5页/共26页2023

3、/2/14 5:206oxyzmlabcdD。(x,y)例2 计算其中 是三个坐标面与平面 x+y+z=1 所围成的区域第6页/共26页2023/2/14 5:207Dxyzo解画出区域D第7页/共26页2023/2/14 5:208解第8页/共26页2023/2/14 5:209第9页/共26页2023/2/14 5:2010第10页/共26页2023/2/14 5:2011 除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分先重后单，就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分若 f(x,y,z)在 上连续介于两平行平面 z=c1 ,z=c2 (c1

4、 c2 )之间用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域则先重后单先重后单第11页/共26页2023/2/14 5:2012 易见，若被积函数与 x,y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算 尤其当 f(x,y,z)与 x,y 无关时第12页/共26页2023/2/14 5:2013第13页/共26页2023/2/14 5:2014例5 计算解故第14页/共26页2023/2/14 5:2015例6解一解二 先单后重将 投影到 xoy 面得D先重后单第15页/共26页2023/2/14 5:2016（用极坐标，用对称性）

5、此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法第16页/共26页2023/2/14 5:2017三、小结三、小结三重积分的定义和计算（计算时将三重积分化为三次积分）在直角坐标系下的体积元素第17页/共26页2023/2/14 5:2018思考题思考题选择题:第18页/共26页2023/2/14 5:2019练练 习习 题题第19页/共26页2023/2/14 5:2020第20页/共26页2023/2/14 5:2021第21页/共26页2023/2/14 5:2022练习题答案练习题答案第22页/共26页2023/2/14 5:2023精品课件！第23页/共26页2023/2/14 5:2024精品课件！第24页/共26页2023/2/14 5:2025第25页/共26页2023/2/14 5:2026谢谢大家观赏！第26页/共26页