一阶逻辑基本概念.pptx

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1、1所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用命题逻辑来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题，则有P，QR第1页/共34页2然而，(PQ)R并不是永真式，故上述推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论，问题在哪里呢?问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。对此，命题逻辑是无能为力的。第2页/共34页3命题逻辑的局限性单用一个字母表示一个命题，描述不深刻，揭示不出原子命题内部的含义；命题演算对命题中量的概念无法表示。有些简单的推理问题，在命题

2、逻辑中无法解决；问题出在各命题之间的逻辑关系不是体现在简单命题之间，而是体现在构成简单命题的内部成分之间，所以在必要对简单命题作进一步细分。在研究某些推理时，对原子命题进一步分析出其中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓词逻辑（或称为一阶逻辑）的基本内容。第3页/共34页42.1一阶逻辑基本概念2.2一阶逻辑合式公式及解释2.3一阶逻辑等值式第二章 一阶(谓词)逻辑第4页/共34页52.12.1一阶逻辑基本概念 （个体词、谓词和量词）在命题逻辑中，命题是具有真假意义的陈述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。在一阶逻辑中，为揭示命题

3、内部结构及其不同命题的内部结构关系，就按照这两部分对命题进行分析，并且把主语称为个体词或客体，把谓语称为谓词。第5页/共34页6例如：吴华是大学生，用P表示，李明是大学生，用Q表示。“是大学生”用A（x）表示：x是大学生，命题符号含有个体词变量。a表示吴华，A（a）表示吴华是大学生。b表示李明，A（b）表示李明是大学生。相当于“是大学生”，用A（）来表示，这就是谓词。第6页/共34页7例：张三比李四高，用H（x,y）表示x比y高。a:张三b:李四 H（a,b）：张三比李四高 H（b,a）：李四比张三高 x,y,a,b表示个体，H（,）是谓词，这个谓词涉及了两个个体，是二元谓词。第7页/共34页

4、8.个体词、谓词和命题的谓词形式定义2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个体词；用以描述个体词的性质或个体词间关系的部分，称为谓词。个体词，是指可以独立存在的事物，它可以是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。表示具体或特定的客体的个体词，称为个体常元，以a，b，c或带下标的ai，bi，ci表示；表示抽象或泛指的个体词，称为个体变元，以x，y，z或xi，yi，zi表示。第8页/共34页9个体域：个体变项的取值范围。（分有限集合和无限集合）全总个体域：由宇宙间的一切事物组成。第9页/共34页10谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体性质；当与两个或两个以上个体相联系时，它刻划了

5、个体之间的关系。表示具体性质或关系的谓词，称为谓词常元；表示抽象或泛指的性质或关系的谓词，称为谓词变元，都用大写英文字母，如P，Q，R，或其带上、下标来表示。第10页/共34页11例如，在命题“张明是位大学生”中，“张明”是个体，“是位大学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。设S(x)：x是位大学生，c：张明，则“张明是位大学生”可表示为S(c)，或者写成S(c)：张明是位大学生。又如，在命题“武汉位于北京和广州之间”中，武汉、北京和广州是三个个体，而“位于和之间”是谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设P(x,y,z)：x位于y和z之间，a：武汉，b：北京，c：广州，则P(a，b，c)

6、：武汉位于北京和广州之间。第11页/共34页12注：区分：谓词与运算。虽都是自变量取自个体域上的函数，但函数值不同，运算的函数值是个体，谓词的函数值是真值。第12页/共34页13定义2.1.2 一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有次序的个体常项(如a1，a2，an)表示成P(a1，a2，an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。应注意的是，命题的谓词形式中的个体出现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否则真值会有变化。如上述例子中，P(b,a,c)是假。第13页/共34页14.原子谓词公式原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，比如在谓词右侧的圆括号内的n个个体常项被替换成个体变项

7、，如x1,x2,xn，这样便得了一种关于命题结构的新表达形式，称之为n元原子谓词。定义2.1.3 由一个谓词(如P)和n个体变项(如x1，x2，xn)组成的P(x1，x2，xn)，称它为n元原子谓词或n元命题函数，简称n元谓词。而个体变项的论述范围，称为个体域或论域。第14页/共34页15当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元谓词，。特别地，当n=0，称为零元谓词。零元谓词是命题，这样命题与谓词就得到了统一。第15页/共34页16n元谓词不是命题，只有其中的个体变项用特定个体或个体常项替代时，才能成为一个命题。但个体变项在哪些论域取特定的值，对命题的真值极有影响。例如，令S(x)：x是大

8、学生。若x的论域为某大学的计算机系中的全体同学，则S(x)是真的；若x的论域是某中学的全体学生，则S(x)是假的；若x的论域是某剧场中的观众，且观众中有大学生也有非大学生的其它观众，则S(x)是真值是不确定的。第16页/共34页17通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在一起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定义了全总论域，为深入研究命题提供了方便。当一个命题没有指明论域时，一般都从全总论域作为其论域。而这时又常常要采用一个谓词如P(x)来限制个体变项x的取值范围，并把P(x)称为特性谓词。第17页/共34页18.量词利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不能用符号来很准确地表达某些命题

9、，例如S(x)表示x是大学生，而x的个体域为某单位的职工，那么S(x)可表示某单位职工都是大学生，也可表示某单位有一些职工是大学生，为了避免理解上的歧义，在一阶逻辑中，需要引入用以刻划“所有的”、“存在一些”等表示不同数量的词，即量词，其定义如下：第18页/共34页19定义2.1.4 符号称为全称量词符，用来表达“对所有的”、“每一个”、“对任何一个”、“一切”等词语；x称为全称量词，称x为指导变项。符号称为存在量词符，用来表达“存在一些”、“至少有一个”、“对于一些”、“某个”等词语；x称为存在量词，x称为指导变项。第19页/共34页20*符号!称为存在唯一量词符，用来表达“恰有一个”、“存

10、在唯一”等词语；!x称为存在唯一量词，称x为指导变项。全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。第20页/共34页21例 试用量词、谓词表示下列命题：所有大学生都热爱祖国；每个自然数都是实数；一些大学生有远大理想；有的自然数是素数。第21页/共34页22解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国，N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，I(x)：x有远大理想，P(x)：x是素数。则例中各命题分别表示为：(x)(S(x)L(x)(x)(N(x)R(x)(x)(S(x)I(x)(x)(N(x)P(x)第2

11、2页/共34页23在该例的解答中，由于命题中没有指明个体域，这便意味着各命题是在全总论域中讨论，因而都使用了特性谓词，如S(x)、N(x)。注：量词与特性谓词的搭配还有一定规律，即全称量词后跟一个蕴含式，而特性谓词作为其前件出现；存在量词后跟一个合取式，特性谓词作为一个合取项出现。说明：命题符号化之前，必须明确个体域的范围。第23页/共34页24如果在解答时，指明了个体域，便不用特性谓词，例如在、中令个体域为全体大学生，则可符号化为：(x)L(x)(x)I(x)在和中的个体域为全部自然数，则可符号化为：(x)R(x)(x)P(x)第24页/共34页25思考：如何将“没有不吃饭的人.”在一阶逻辑

12、中符号化？解：M(x):x是人.F(x):x吃饭.(1)(x)(M(x)F(x)(2)(x)(M(x)F(x)第25页/共34页26（5）所有的正数均可开方。解：1.若个体域为全体正实数R+，S（X）：X可以开方，则命题符号化为：xS（x）2.若个体域为全体实数集R，G（x,y）：xy，则命题符号化为：x(G(x,0）S(x)3.若个体域为全总个体域D,R(x):x是实数，则符号化为：x(R(x)G(x,0)S(x)第26页/共34页27注：1)使用时，特性谓词后用，即(x)(A(x)B(x)表示对所有具有性质A的x，都具有性质B；2)使用时，特性谓词后用,即(x)(A(x)B(x)表示存在着

13、x，具有性质A且具有性质B；在全总个体域讨论某类事物需引入特性谓词；全称量词和存在量词的意义随个体域的不同而不同。第27页/共34页28谓词前加上了量词，称为谓词的量化。若一个谓词中所有个体变项都量化了，则该谓词就变成了命题。这是因为在谓词被量化后，可以在整个个体域中考虑命题的真值了。n n这如同数学中的函数这如同数学中的函数这如同数学中的函数这如同数学中的函数f f(x x)，的值是不的值是不的值是不的值是不确定的，但确定的，但确定的，但确定的，但 可确定其值。可确定其值。可确定其值。可确定其值。第28页/共34页29含量词的谓词的真值规定 说明：不含量词的谓词公式G（x），它不是命题，而是

14、命题函数，其真值依赖于x从个体域中取的个体词的不同而不同。例：D表示某班全体学生，G（x）表示x是男生。则G（李刚）是真，而G（王芳）是假。而 xG（x）与xG（x）是命题了，x仅是一个“指导变项”xG（x）与 yG（y）意义完全相同。xG（x）：全班每个人均是男生。xG（x）：全班存在一个人或（一部分人）是男生。含量词的谓词公式的真值不再依赖于x的选取了。第29页/共34页30（1）xG（x）的真值规定 xG（x）的命题是“对任意xD，均有G（x）”xG（x）的真值为1，当且仅当，对一切xD，G（x）真 值均为1；xG（x）的真值为0，当且仅当，存在x0D，G（x0）真 值为0。第30页/共

15、34页31（2）xG（x）的真值规定xG（x）的命题是“存在一个x0D，使得G（x0）成立”xG（x）的真值为1，当且仅当存在x0D，G（x0）的真值为1。xG（x）的真值为0，当且仅当，对一切xD，G（x）的真值为0。第31页/共34页32注：对于一个谓词，如其每个变量均在量词的管辖下，则该谓词不是命题函数，而是命题了，它有确定的真值了。（闭式）量化命题的真假与论域有关，可借助循环与搜索来思考。(1)如果D是有限集,谓词公式中的量词可以用逻辑联结词来解释。例D=a,b,cxP(x)P(a)P(b)P(c)x P(x)P(a)P(b)P(c)(2)量词不能随便换顺序。对于和这两个量词交换位置,其意义不同了,相应真值也可能改变。第32页/共34页33例：D：自然数全体,G(x,y)：x小于等于y。xyG(x,y)表示任意一个自然数x,总存在自然数y,使得x小于等于y,该命题是真的。yx G(x,y)表示存在一个自然数y,使得对一切自然数x,使x小于等于y,即y是最大的自然数。该命题是假的。第33页/共34页34谢谢大家观赏！第34页/共34页