一元二次方程的解法-公式法.pptx

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1、我们把我们把b2-4ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式的根的判别式,通常用通常用表示表示.总结提高判别式定理判别式定理当当b2-4ac0时时,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根当当b2-4ac=0时时,方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根当当b2-4ac0时时,方程没有实数根方程没有实数根当当b2-4ac0时时,方程有两个实数根方程有两个实数根第1页/共32页若方程有两个若方程有两个 不相等的实数根不相等的实数根,则则b2-4ac0 总结提高判别式逆定理判别式逆定理若方程有两个若方程有两个 相等的实数根相等的实数根,则则b2-4a

2、c=0若方程没有实数根若方程没有实数根,则则b2-4ac0若方程有两个若方程有两个 实数根实数根,则则b2-4ac0第2页/共32页 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式两个不相等实根两个不相等实根两个相等实根两个相等实根无实数根无实数根（1）（2）（3）0=00（4）00两个实数根两个实数根两个不相等实根两个不相等实根两个相等实根两个相等实根无实数根无实数根（1）（2）（3）（4）第3页/共32页应用应用1.不解方程判断方程根的情况：不解方程判断方程根的情况：(1)x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数为常数)(2)x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数为常数)=4(k2-

3、4k+4)=4(k-2)2解：解：=4 k2-16k+16 0方程有两个不等实根方程有两个不等实根解：解：=m2-4m+8=m2-4m+4+4=(m-2)2+4 0方程有实根方程有实根含有字母系数时，将含有字母系数时，将配方后判断配方后判断 第4页/共32页1 1、不解方程，判断根的情况、不解方程，判断根的情况.(1)2x2-4x-5=0;(2)x2-(m+1)x+m=0.=56 0方程有两个不相等的实数根；当m-1=0时，0方程有两个相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；当m-10时，解：解：第5页/共32页2 2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、根据方程根的情况，确定待定系数的

4、取值范围.例:k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.解：一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.k0，又=4-12k 4-12k 0，解得 当当方程有实数根.且且 k0 时，第6页/共32页例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:a=2,b=5,c=-3,b2-4ac=52-42(-3)=491、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。x=即 x1=-3,用公式法解一元二次方用公式法解一元二次方程的一般步骤：程的一般步骤：求根公式:X=4、写出方程的解：x1=?,x2=?3、代入求根公式:X=(a0,b2-4ac0)(a0,b2-4ac0)x2=

5、第7页/共32页填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a=a=，b=b=，c=c=.b b2 2-4ac=-4ac=.x=x=.=.即 x x1 1=,x,x2 2=.35-252-43(-2)49-2-2求根公式:X=1.1.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(1)x(1)x2 2+2x=5+2x=5(a0,b2-4ac0)做一做第8页/共32页例2 用公式法解方程：x x2 2 x-=0 x-=0解：方程两边同乘以3 3,得 2 x2 x2 2-3x-2=0 -3x-2=0 x=即 x1=2,x2=-例3 用公式法解方程：x x2 2+3=2 x+3=2 x 解：移项，得x

6、2 2-2 x+3=0-2 x+3=0a=1a=1，b=-2 b=-2 ，c=3c=3b b2 2-4ac=(-2 -4ac=(-2 )2 2-413=0-413=0 x=x=x x1 1=x=x2 2=当当 时，一时，一元二次方程有两个相等元二次方程有两个相等的实数根。的实数根。b2-4ac=0a=2，b=-3，c=-2.b2-4ac=(-3)2-42(-2)=25.第9页/共32页2.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(4)(4)4x4x2 2-3x+2=0-3x+2=0随堂练习当当 时，一元时，一元二次方程没有实数根。二次方程没有实数根。b2-4ac0第10页/共32页用公式法解一

7、元二次方程的一般步骤：3、代入求根公式:2、求出 的值，1、把方程化成一般形式，并写出 的值。4、写出方程的解：特别注意特别注意:当当 时时,方程无实数解方程无实数解;第11页/共32页3、练习、练习:用公式法解方程用公式法解方程:x2 2-2 x+2=0.1、方程、方程3 x x2 2+1=2 x+1=2 x中，中，b2-4ac=.2、若关于、若关于x的方程的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则n=.动手试一试吧！动手试一试吧！0-1或或4第12页/共32页1、m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解有两个

8、相等的实数解 思考题第13页/共32页 思考题2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)。当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？第14页/共32页课堂心得课堂心得本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？想一想 记一记 问一问我还有哪些疑点？课下可要多交流呦！解一元二次方程时应先化为一般形式，然后利用公式法求得方程的根.这是解一元二次方程的通法.用公式法解一元二次方程时,必须把方程化为一般形式才能正确确定出 a、b、c.在代入公式求解前,要先计算b2-4 a c的值.第15页/共32页(1)、若关于、若关于x的一元二次方程的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=

9、0有有两个实数根，则两个实数根，则m的取值范围是的取值范围是（）A、m 0 B、m 0 C、m 0 且且m1 D m 0且且m1解：由题意，得 m-10 =（2m)2-4（m-1）m0解之得，m0且m1，故应选DD应用应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围：根据方程根的情况判断某一字母取值范围第16页/共32页(3)m为何值时为何值时,关于关于x的一元二次方程的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？有两个不等实根？解：解：=(2m+1)2-4m2=4m+1若方程有两个不等实根，则若方程有两个不等实根，则 04m+1 0m m-1/4-1/4对吗？m m-1/4 -1

10、/4 且且m0m0注意二次项系数第17页/共32页问题三问题三求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：=-（m+7）2-49（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2+36不论m取何值，均有（m-11）20（m-11）2+360，即0不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式第18页/共32页3 3、证明字母系数方程有实数根或无实数根、证明字母系数方程有实数根或无实数根 例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0有两个不相等的实数根.把判别式

11、配方解：0方程有两个不相等的实数根；第19页/共32页问题问题四四：解含有字母系数的方程。：解含有字母系数的方程。解：当当a=0时，时，-5x+1=0 x=1.当a0时，方程为一元二次方程.第20页/共32页【例5】已知：a、b、c是ABC的三边，若方程 有两个等根，试判断ABC的形状.解：利用解：利用 0，得出，得出a=b=c.ABC为等边三角形为等边三角形.典型例题解析第21页/共32页例例6.一元二次方程一元二次方程有有两个两个实数根实数根,则则m的取值范围是的取值范围是_变第22页/共32页2、选择题、选择题（请用最快的速度，把请用最快的速度，把“有两个实数根有两个实数根”的方的方程和

12、程和“没有实数根没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）的方程的序号选入相应的括号内）（1）（2）（3）（4）（5）（6）有两个实数根的方程的序号是（）没有实数根的方程的序号是（）（5）（3）（2）（6）（4）（1）任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根a、c异号，一元二次方程有两个不相等的实数根第23页/共32页求根公式:X=一、由配方法解一般的一元二一、由配方法解一般的一元二次方程次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 (a0)(a0)若若 b b2 2-4ac0-4ac0得得这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果第24页/共32

13、页这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:X=(a0,b2-4ac0)4、写出方程的解:x1=?,x2=?第25页/共32页这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果四、计算一定要四、计算一定要细心细心，尤其是，尤其是计算计算b b2 2-4ac-4ac的值和代入公式时，的值和代入公式时，符号符号不要弄错。不要弄错。三三、当、当 b b2 2-4ac=0-4ac=0时，一元二次时，一元二次方程有方程有两个相

14、等两个相等的实数根。的实数根。当当 b b2 2-4ac-4ac0 0时，一元二次时，一元二次方程有方程有两个不相等两个不相等的实数根。的实数根。当当 b b2 2-4ac-4ac0 0时，一元二次时，一元二次方程方程没有没有实数根。实数根。第26页/共32页1、一元二次方程的一般形式是什么？、一元二次方程的一般形式是什么？2、解一元二次方程有哪四种方法？、解一元二次方程有哪四种方法？一般形式一般形式缺一次项缺一次项缺常数项缺常数项缺一次项及常数项缺一次项及常数项 公式法是由配方法推导而得到 公式法是解一元二次方程的通法.凡形如凡形如 ax2+c=0 (a0,ac0)或或 a(x+p)2+q=

15、0 (a0,aq0)的一元二次方程都可用直接开平方法解的一元二次方程都可用直接开平方法解.配方法、公式法适用于所有一元二次方程;先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.公式法是解一元二次方程的通法.第27页/共32页解一元二次方程的方法有哪几种？根解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择解法的，并与同学交流解法的，并与同学交流.公式法公式法是解一元二次方程的是解一元二次方程的通法通法.配方法、公式法适用于所有一元二次方程;因式分解法适用于某些一元二次方

16、程 开平方法适用于缺项的一元二次方程;第28页/共32页课时训练课时训练1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 ()A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根D2.方程x2-3x+1=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.只有一个实数根A3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ()A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0C 第29页/共32页4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是 ()A.当k=1/2时，方程两根互为相

17、反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=1时，方程两根互为倒数 D.当k1/4时，方程有实数根D课时训练课时训练5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ()A.m1 B.m1且m0 C.m1 D.m1且m0D第30页/共32页7.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则k=.28.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。解：解：=-(3m-1)2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 (m-1)2=1,即即 m12，m20(二次项系数不为二次项系数不为0，舍去，舍去)。当当m=2时，原方程变为时，原方程变为2x2-5x+30，x3/2或或x=1.6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根，则k的取值范围是 ()A.k1 B.k1 C.k1A第31页/共32页谢谢您的观看！第32页/共32页