数字信号处理.pptx

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1、2.1引言我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。第1页/共219页2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变换不相同，但都是线性

2、变换，一些性质是相同的。2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义序列x(n)的傅里叶变换定义为（2.2.1）第2页/共219页p(t)tT理想抽样()第3页/共219页()p(t)第4页/共219页DTFTijr=1P34 式（2.2.5）P46 图（2.4.1）P24 图（1.5.3）c)第5页/共219页数字频率归一化频率Fs=1000Hz,则100Hz对应0.2Fs=2000Hz,则100Hz对应0.1第6页/共219页FT为Fourier Transform的缩写。FTx(n)存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：（2.2.2）X(ej)的傅里叶反变换为（2.2

3、.3）离散时间傅里叶变换正变换为DTFT离散频率傅里叶变换DFFT?第7页/共219页【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解（2.2.4）当N=4时，其幅度与相位随频率的变化曲线如图2.2.1所示。第8页/共219页图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线 第9页/共219页2.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质1 FT的周期性在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：(2.2.5)观察上式，得到傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。为整数第10页/共219页图2.2.2cosm 的波形第11页/共219页2 线性设X1(e

4、j)=FTx1(n),X2(ej)=FTx2(n),那么(2.2.6)式中,a，b是常数。第12页/共219页3时移与频移设X(ej)=FTx(n),那么(2.2.7)(2.2.8)第13页/共219页4 FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。设序列xe(n)满足下式：（2.2.9）则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示：e-eveno-oddr-reali-image第14页/共219页将上式两边n用n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：（2.2.10）（2.2.11）

5、第15页/共219页上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：（2.2.12）将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。第16页/共219页 5 时域卷积定理设 y(n)=x(n)*h(n)则 Y(ej)=X(ej)H(ej)（2.2.31）证明第17页/共219页令k=nm，则第18页/共219页6 频域卷积定理设y(n)=x(n)h(n)则(2.2.32)证明(2.2.33)第19页/共219页交换积分与求和的次序，得到：(2.2.34)该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时服从卷积关系。

6、第20页/共219页7 帕斯维尔（Parseval）定理（2.2.35）证明 第21页/共219页表2.2.1序列傅里叶变换的性质定理 第22页/共219页tDFTT第23页/共219页例2 设计一如图数字低通滤波器求单位冲击响应 第24页/共219页设fs=2000Hz则截止频率fc=?第25页/共219页傅氏变换一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换00t第26页/共219页离散时间离散时间傅里叶变换傅里叶变换DTFTDTFT1.正变换:2.反变换:离散频率傅里叶变换DFFTDFFT0t-00-0第27页/共219页时域离散化频域离散化一个周期内抽样N个点扩展到整个频域P75 式3.1

7、.1-2P40 式2.3.1P41 式2.3.3第28页/共219页DTFTDFSDFT共轭/周期特性 FFT分析系统周期离散理解方式1理解方式2第29页/共219页采样间隔T0sT0信号的周期0信号的角频率Ts采样间隔时域s频谱的周期0采样间隔频域频率分辨率第30页/共219页0,1,.,N-1含义01N-12数字频率：采样频率：采样角频率：信号角频率：第31页/共219页2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式因为周期序列不满足（2.2.2）式绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数()，其FT可以用公式表示出来。第32页/共21

8、9页2.3.1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下:(2.3.1)为求系数ak，将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和，即第33页/共219页式中(2.3.2)第34页/共219页(2.3.2)式的证明作为练习请读者自己证明。因此(2.3.3)式中，k和n均取整数。因为，l取整数,即是周期为N的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足ak=ak+lN。第35页/共219页令 ,并将(2.3.3)式代入，得到:(2.3.4)式中，也是以N为周期的周期序列,称为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。第3

9、6页/共219页用(2.3.5)将（2.3.4）式和（2.3.5）式重写如下：(2.3.6)(2.3.7)代替(2.3.1)式中的ak,得到第37页/共219页（2.3.6）式和（2.3.7）式称为一对DFS。（2.3.5）式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k,k=0,1,2,N1,幅度为。基波分量的频率是2/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS系数表示它的频谱分布规律。【例2.3.1】设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS。解按照（2.3.6）式,有第38页/共219页其幅度特性如

10、图2.3.1(b)所示。第39页/共219页图2.3.1例2.3.1图 第40页/共219页2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中，其傅里叶变换是在=0处的单位冲激函数，强度是2，即（2.3.8）对于时域离散信号，2/0为有理数，暂时假定其FT的形式与（2.3.8）式一样，即是在0处的单位冲激函数，其强度为2。但由于n取整数，下式成立：第41页/共219页r取整数因此 的FT为 (2.3.9)(2.3.9)式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。但这种假定如果成立，则要求按照（2.2.4）式的逆变换必须存在，且唯一等于 ，下面进行验证。按照逆

11、变换定义，（2.2.4）式右边第42页/共219页观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数(0)，等式右边为，因此得到下式：证明了（2.3.9）式确实是的FT，前面的暂时假定是正确的。第43页/共219页图2.3.2的FT 第44页/共219页对于一般周期序列，按（2.3.6）式展成DFS，第k次谐波为，类似于复指数序列的FT，其FT为因此的FT如下式：第45页/共219页式中，k=0,1,2,N1。如果让k在区间变化，上式可简化成（2.3.10）式中(2.3.10)式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明的是，上面公式中的()表示单位冲激函数，而(n)表示单位脉冲序列，由于括弧中

12、的自变量不同,因而不会引起混淆。表2.3.2中综合了一些基本序列的FT。第46页/共219页表2.3.2基本序列的傅里叶变换 第47页/共219页表中u(n)序列的傅里叶变换推导如下：令(2.3.11)(2.3.12)对(2.3.12)式进行FT，得到:第48页/共219页对(2.3.11)式进行FT，得到：【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。解将例2.3.1中得到的代入（2.3.10）式中，得到：其幅频特性如图2.3.3所示。第49页/共219页图2.3.3例2.3.2图第50页/共219页对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用

13、单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。【例2.3.3】令为有理数，求其FT。解将用欧拉公式展开：按照（2.3.9）式，其FT推导如下：第51页/共219页（2.3.13）(2.3.13)式表明，cos0n的FT是在=0处的单位冲激函数，强度为，且以2为周期进行延拓，如图2.3.4所示。第52页/共219页 图2.3.4cos0n的FT 第53页/共219页2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号，傅里叶变换也不同，如果时域离散信号是由某模拟信号采样得

14、来，那么时域离散信号的傅里叶变换和该模拟信号的傅里叶变换之间有一定的关系。下面推导这一关系式。公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采样得到的时域离散信号和模拟信号的关系，而理想采样信号和模拟信号的关系用（1.5.2）式表示，重写如下:第54页/共219页对上式进行傅里叶变换,得到:第55页/共219页令=T，且x(n)=xa(nT)，得到：（2.4.1）或者写成：（2.4.2）式中(2.4.2)式也可以表示成（2.4.3）第56页/共219页图2.4.1模拟频率与数字频率之间的定标关系第57页/共219页DTFTFT拉氏变换能否 离散化?第58页/共219页第59页/共21

15、9页拉氏变换序列的Z变换 Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部相对。第60页/共219页=0,0,即S S平面的虚轴 r=1,r=1,即Z Z平面单位圆0,即S的左半平面 r0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外j j0 0 0 00DTFT第61页/共219页=0=0，S S平面的实轴，=0 0，Z Z平面正实轴；=0 0(常数)，S:S:平行实轴的直线，=0 0T,Z:T,Z:始于 原点的射线；S:S:宽 的水平条带，单位圆内.0jImZReZ(2).与的关系（=T）第62页/共219页2.5序列的Z变换在模拟信号系统中，用傅里叶变换进行频域分析，拉普拉斯变换可作为傅里叶变换的推

16、广，对信号进行复频域分析。在时域离散信号和系统中，用序列的傅里叶变换进行频域分析，Z变换则是其推广，用以对序列进行复频域分析。因此Z变换在数字信号处理中同样起着很重要的作用。第63页/共219页2.5.1Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为 （2.5.1）式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在、之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式：（2.5.2）defdef第64页/共219页这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。（2.

17、5.1）式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即 （2.5.3）使（2.5.3）式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域为环状域，即第65页/共219页令z=rej，代入上式得到RxrRx，收敛域是分别以Rx和Rx为收敛半径的两个圆形成的环状域(如图 2.5.1 中所示的斜线部分)。当然，Rx可以小到零，Rx可以大到无穷大。收敛域的示意图如图2.5.1所示。图2.5.1变换的收敛域z=rej第66页/共219页常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中

18、没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义（2.2.1）式，很容易得到傅里叶变换和Z变换（ZT）之间的关系，用下式表示：第67页/共219页（2.5.4）式中,z=ej表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。（2.5.4）式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，就可用（2.5.4）式很方便地求出序列的傅里叶变换，条件是收敛域中包含单位圆。【例2.5.1】x(n)=u(n),求其Z变换。解第68页/共219页X(z)存在的条件是|z1|1,因此X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆，因此其傅里叶变换不存在

19、，更不能用（2.5.4）式求傅里叶变换。该序列的傅里叶变换不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换则可以表示出来（见表2.3.2）。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，但在一定收敛域内Z变换是可以存在的。第69页/共219页2.5.2序列特性对收敛域的影响序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛域的一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。1 有限长序列如序列x(n)满足下式：即序列x(n)从n1到n2的序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为其它第70页/共219页设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外

20、，整个z平面均收敛。如果n10，则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：n10,n20时，0|z|n10时，0|z|0时，0|z|第71页/共219页【例2.5.2】求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解 这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出，似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极、零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的傅里叶变换，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果（2.2.5）式是相同的。第72页/共219页2 右序列右序列是指在nn1时

21、，序列值不全为零，而在nn1时，序列值全为零的序列。右序列的Z变换表示为第一项为有限长序列，设n11，其收敛域为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx|z|，Rx是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx|z|。如果是因果序列，收敛域为Rx|z|。第73页/共219页FT拉氏变换Z变换DTFT第74页/共219页【例2.5.3】求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域。解 在收敛域中必须满足|az1|a|。第75页/共219页3 左序列左序列是指在nn2时，序列值不全为零，而在nn2时，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为如果n20,z=0点收敛，z=点不收敛，其收敛域是

22、在某一圆（半径为Rx+）的圆内，收敛域为0|z|Rx+。如果n20，则收敛域为0|z|Rx，则其收敛域为Rx|z|Rx+，是一个环状域；如果Rx+Rx，两个收敛域没有交集，X(z)则没有收敛域，因此X(z)不存在。第78页/共219页【例2.5.5】x(n)=a|n|,a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解第一部分收敛域为|az|1，得|z|a|1;第二部分收敛域为|az1|a|。如果|a|1,两部分的公共收敛域为|a|z|a|1,其Z变换如下式:如果|a|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0aa,求其逆Z变换x(n)。解为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点。显然，F(z)的极

23、点与n的取值有关。第84页/共219页极点有两个：z=a；当n0时，其中z=0的极点和n的取值有关。n0时，z=0不是极点；n0时，z=0是一个n阶极点。因此，分成n0和n0两种情况求x(n)。n0时，F(z)在c内只有1个极点：z1=a；n0时，F(z)在c内有2个极点：z1=a,a2=0（n阶）；所以，应当分段计算x(n)。n0 时，第85页/共219页图2.5.4例2.5.6中n|a1|，对应的x(n)是因果序列；（2）|z|a|，对应的x(n)是左序列；（3）|a|z|a1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a1，

24、因此第90页/共219页最后表示成：x(n)=(anan)u(n)。第91页/共219页（2）收敛域为|z|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况。实际上，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。n0时,第92页/共219页最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(anan)u(n1)（3）收敛域为|a|z|a1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n0和n0两种情况分别求x(n)。n0时，c内只有1个极点：z=a,x(n)=ResF(z),a=an第93页/共219页n0时，c内极点有

25、2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a1，因此x(n)=ResF(z),a1=an最后将x(n)表示为即x(n)=a|n|第94页/共219页2.2.部分分式法 有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式 的和，使各分式具有 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。第95页/共219页2 部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常也用部分分式展

26、开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表（参考表2.5.1）求得各部分的逆变换，再相加便得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式:（2.5.11）（2.5.12）第96页/共219页【例2.5.8】已知,2|z|3，求逆Z变换。解 第97页/共219页第98页/共219页因为收敛域为2|z|2。第二部分极点是z=-3，收敛域应取|z|3。查表2.5.1，得到：x(n)=2nu(n)+(3)nu(n1)注意:在进行部分分式展开时，也用到求留数问题；求各部分分式对应的原序列时，还

27、要确定它的收敛域在哪里，因此一般情况下不如直接用留数法求方便。一些常见的序列的Z变换可参考表2.5.1。第99页/共219页表2.5.1常见序列的Z变换 第100页/共219页2.5.4Z变换的性质和定理下面介绍Z变换重要的性质和定理。1 线性性质设m(n)=ax(n)+by(n)a,b为常数 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Ry|z|Ry+则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z)Rm|z|RxRy+Ry时，则M(z)不存在。第102页/共219页2 序列的移位性质设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则 （2.5.16）第103页/共219页3 序列乘

28、以指数序列的性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+y(n)=anx(n)a为常数则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a1z)|a|Rx|z|a|Rx+因为Rx|a1z|Rx+，得到|a|Rx|z|a|Rx+。证明（2.5.17）第104页/共219页4 序列乘以n的ZT设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则 （2.5.18）证明第105页/共219页因此 第106页/共219页5 复共轭序列的ZT性质设 X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+则ZTx*(n)=X*(z*)Rx|z|Rx+（2.5.19）证明第107页/共219页6 初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(

29、n)，则（2.5.20）证明 因此第108页/共219页7 终值定理若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则（2.5.21）证明因为x(n)是因果序列，x(n)=0,n0,所以第109页/共219页因为(z1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限：第110页/共219页终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示，因为因此 x()=ResX(z),1（2.5.22）如果在单位圆上X(z)无极点，则x()=0。第111页/共219页8 时域卷积定理 设w(n)=x(n)*y(n)X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy

30、(n)Rx|z|Ry+1则W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+（2.5.23）Rw+=minRx+,Ry+Rw=maxRx,Ry第112页/共219页证明W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。第113页/共219页【例2.5.9】已知网络的单位脉冲响应h(n)=anu(n)，|a|1,网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用两种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是Z变换法。（1）第114页/共219页（2）第115页/共219页由收敛域判定 y(n)=0n0n0时，将y(n)表示为第116页/共21

31、9页9 复卷积定理如果ZTx(n)=X(z)Rx|z|Rx+ZTy(n)=Y(z)Ry|z|Ry+w(n)=x(n)y(n)则（2.5.24）W(z)的收敛域为RxRy|z|Rx+Ry+(2.5.25)第117页/共219页（2.5.24）式中平面上，被积函数的收敛域为（2.5.26）证明 第118页/共219页由X(z)的收敛域和Y(z)的收敛域得到：因此 第119页/共219页【例2.5.10】已知x(n)=u(n)，y(n)=a|n|,0|a|1若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)。解 第120页/共219页W(z)的收敛域为|a|z|；被积函数平面上的收敛域为max(

32、|a|,0)|min(|a1|,|z|)，平面上极点：a、a1和z，c内极点：z=a。令第121页/共219页10 帕斯维尔（Parseval）定理设X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+RxRy1那么（2.5.27）第122页/共219页平面上，c所在的收敛域为利用复卷积定理可以证明上面的重要的帕斯维尔定理。证明令w(n)=x(n)y*(n)按照（2.5.24）式得到：第123页/共219页按照（2.5.25）式，RxRy|z|Rx+Ry+;按照假设，z=1在收敛域中，将z=1代入W(z)中，则有第124页/共219页因此 如果x(n)和y(n)都满足绝

33、对可和，即单位圆上收敛，在上式中令=ej，得到:令x(n)=y(n)，得到：第125页/共219页（2.5.28）上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕斯维尔定理（2.2.34）式是相同的。（2.5.28）式还可以表示成下式：（2.5.29）注意：上式中X(z)收敛域包含单位圆，当x(n)为实序列时，X(ej)=X*(ej)。第126页/共219页2.5.5利用Z变换解差分方程在第1章中介绍了差分方程的递推解法，下面介绍Z变换解法。这种方法将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。设N阶线性常数差分方程为（2.5.30）()()(1)()第127页/共219页x(t)y(t)第128页/共21

34、9页【例2.5.11】差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)。y(n)=by(n-1)+x(n)差分方程传递函数频率响应第129页/共219页数字系统函数的描述方法差分方程传递函数频率响应卷积第130页/共219页传递函数的零极点形式对应的频率响应第131页/共219页=0,0,即S S平面的虚轴 r=1,r=1,即Z Z平面单位圆0,即S的左半平面 r0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外j j0 0 0 00DTFT第132页/共219页Z变换分析系统举例零极点与数字滤波器特性的关系第133页/共219页分析零点对幅频特性的影响第134页/共219页分析零点对幅频特性的影响第135页

35、/共219页Fs=2000HzH0 x(n)y(n)第136页/共219页第137页/共219页分析零点对幅频特性的影响第138页/共219页零点附近频率衰减极点附近频率加强仅仅靠零点滤波器效果不理想第139页/共219页2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性2.6.1频率响应函数与系统函数设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列(n)的响应输出称为系统的单位脉冲响应h(n)。对h(n)进行傅里叶变换,得到：一般称H(ej)为系统的频率响应函数，或称系统的传输函数，它表征系统的频率响应特性。|H(ej)|称为幅频特性函数，()称为相频特性函数。（2.6.1）第140页/共219页将h(n

36、)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程（1.4.2）式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式 （2.6.2）如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，则H(ej)与H(z)之间的关系如下：(2.6.3)第141页/共219页H(ej)表示系统对特征序列ejn的响应特性,这也是H(ej)的物理意义所在，下面具体阐述。若系统输入信号X(n)=ejn,则系统输出信号为即第142页/共219页上式说明，单频复指数信号ejn通过频率响应函数为H(ej)的系统后，输出仍为单频复指数序列，其幅度放大|H(ej)|倍，相移为()。为了加深读者对H(

37、ej)物理意义的理解，下面以大家熟悉的正弦信号为例进行讨论。当系统输入信号x(n)=cos(n)时，求系统的输出信号y(n):因为第143页/共219页所以，利用上面的结论可得到:设h(n)为实序列，则H*(ej)=H(ej),|H(ej)|=|H(ej)|,()=(),故第144页/共219页由此可见，线性时不变系统对单频正弦信号cos(n)的响应为同频正弦信号，其幅度放大|H(ej）|倍，相移增加()，这就是其名称“频率响应函数”、“幅频响应”和“相频响应”的物理含义。如果系统输入为一般的序列x(n)，则H(ej)对x(n)的不同的频率成分进行加权处理。对感兴趣的频段，取|H（ej)|=1

38、，其他频段|H(ej)|=0,则Y(ej)=X(ej)H（ej),就实现了对输入信号的滤波处理。第145页/共219页因果（可实现）系统其单位脉冲响应h(n)一定是因果序列，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求,这里是 存在的条件,对照Z变换与傅里叶变换的关系可知，系统稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|0r12.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性第146页/共219页系统稳定第147页/共219页function stab(A)%sta

39、b:系统稳定性判定函数，A是 H(z)的分母多项式系数向量disp(系统极点为：)P=roots(A)%求H(z)的极点，并显示disp(系统极点模的最大值为：)M=max(abs(P)%求所有极点模的最大值，并显示if M1 disp(系统稳定),else,disp(系统不稳定),end第148页/共219页请注意，这里要求H(z)是正幂有理分式。给H(z)的分母多项式系数向量A赋值，调用该函数，求出并显示系统极点，极点模的最大值M，判断M值，如果M1,则显示“系统稳定”，否则显示“系统不稳定”。如果H(z)的分母多项式系数A=22.980.172.3418 1.5147，则调用该函数输出如

40、下:P=0.90000.7000+0.6000i0.70000.6000i0.9900系统极点模的最大值为：M=0.9900系统稳定。第149页/共219页【例2.6.1】已知，分析其因果性和稳定性。解H(z)的极点为z=a,z=a1，如图2.5.5所示。（1）收敛域为a1|z|:对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(anan)u(n)（参考例2.5.7），这是一个因果序列，但不收敛。（2）收敛域为0|z|a:对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(anan)u(n1)（参考例2.5.7），这是一个非因果且不收敛的序列。第1

41、50页/共219页图2.6.1例2.6.1图示 第151页/共219页（3）收敛域为a|z|a1:对应一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。下面分析如同例2.6.1这样的系统的可实现性。H(z)的三种收敛域中，前两种系统不稳定，不能选用；最后一种收敛域，系统稳定但非因果，还是不能具体实现。因此严格地讲，这样的系统是无法具体实现的。第152页/共219页但是我们利用数字系统或者说计算机的存储性质，可以近似实现第三种情况。方法是将图2.6.1(a)从N到N截取一段，再向右移，形成如图2.6.1(b

42、)所示的h(n)序列，将h(n)作为具体实现的系统单位脉冲响应。N愈大，h(n)表示的系统愈接近h(n)系统。具体实现时，预先将h(n)存储起来，备运算时应用。这种非因果但稳定的系统的近似实现性，是数字信号处理技术比模拟信息处理技术优越的地方。说明：对一个实际的物理实现系统，其H(z)的收敛域是唯一的。第153页/共219页2.6.3利用系统的极零点分布分析系统的频率响应特性将(2.6.2)式因式分解，得到：式中，A=b0/a0,cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的

43、影响。（2.6.4）第154页/共219页将(2.6.4)式分子、分母同乘以zN+M，得到：（2.6.5）设系统稳定，将z=ej代入上式，得到频率响应函数（2.6.6）第155页/共219页在z平面上，ejcr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量表示，同样，ejdr用由极点指向ej点B的向量表示，如图2.6.2所示，即和分别称为零点向量和极点向量，将它们用极坐标表示：将和表示式代入(2.6.7)式，得到：第156页/共219页（2.6.7）（2.6.8）(2.6.9)第157页/共219页系统的频响特性由(2.6.8)式和(2.6.9)式确定。当频率从0变化到2时，这些向量的终点B沿单位

44、圆逆时针旋转一周，按照(2.6.8)式和(2.6.9)式，分别估算出系统的幅频特性和相频特性。例如图2.6.2表示了具有一个零点和两个极点的频率特性。第158页/共219页图2.6.2频响的几何表示法第159页/共219页按照(2.6.8)式，知道零极点的分布后，可以很容易地确定零极点位置对系统特性的影响。当B点转到极点附近时，极点相量长度最短，因而幅度特性可能出现峰值，且极点愈靠近单位圆，极点相量长度愈短，峰值愈高愈尖锐。如果极点在单位圆上，则幅度特性为，系统不稳定。对于零点，情况相反，当B点转到零点附近时，零点相量长度变短，幅度特性将出现谷值，零点愈靠近单位圆，谷值愈接近零。当零点处在单位

45、圆上时，谷值为零。总结以上结论：极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。第160页/共219页这种通过零极点位置分布分析系统频响的几何方法为我们提供了一个直观的概念，对于分析和设计系统是十分有用的。基于这种概念，可以用零极点累试法设计简单滤波器。下面介绍用MATLAB计算零、极点及频率响应曲线。首先介绍MATLAB工具箱中两个函数zplane和freqz的功能和调用格式。zplane绘制H(z)的零、极点图。第161页/共219页zplane(z,p)绘制出列向量z中的零点（以符号“”表示）和列向量p中的极点（以符号“”表示），同时画出参考单位圆，并在多

46、阶零点和极点的右上角标出其阶数。如果z和p为矩阵，则zplane以不同的颜色分别绘出z和p各列中的零点和极点。zplane(B,A)绘制出系统函数H(z)的零极点图。其中B和A为系统函数H(z)=B(z)/A(z)的分子和分母多项式系数向量。假设系统函数H(z)用下式表示:第162页/共219页则B=B(1)B(2)B(3)B(M+1)，A=A(1)A(2)A(3)A(N+1)freqz计算数字滤波器H(z)的频率响应。H=freqz(B,A,w)计算由向量w指定的数字频率点上数字滤波器H(z)的频率响应H(ejw)，结果存于H向量中。B和A仍为H(z)的分子和分母多项式系数向量（同上）。H,

47、w=freqz(B,A,M)计算出M个频率点上的频率响应，存放在H向量中，M个频率存放在向量w中。freqz函数自动将这M个频率点均匀设置在频率范围0,上。第163页/共219页H,w=freqz(B,A,M,whole)自动将M个频率点均匀设置在频率范围0,2上。当然，还可以由频率响应向量H得到各采样频点上的幅频响应函数和相频响应函数；再调用plot绘制其曲线图。|H(ej)|=abs(H)()=angle(H)式中，abs函数的功能是对复数求模，对实数求绝对值；angle函数的功能是求复数的相角。第164页/共219页freqz(B,A)自动选取512个频率点计算。不带输出向量的freqz

48、函数将自动绘出固定格式的幅频响应和相频响应曲线。所谓固定格式,是指频率范围为0,，频率和相位是线性坐标，幅频响应为对数坐标。其他几种调用格式可用命令help查阅。第165页/共219页【例2.6.2】已知H(z)=z1，分析其频率特性。解由H(z)=z1，可知极点为z=0，幅频特性|H(ej)|=1,相频特性()=，频响特性如图 2.6.3所示。用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点向量的长度始终为1。由该例可以得到结论：处于原点处的零点或极点，由于零点向量长度或者极点向量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的幅频响应特性,但对相频特性有贡献。y(n)=x(n-1)第166页/共2

49、19页图2.6.3H(z)=z1的频响特性 第167页/共219页 【例2.6.3】设一阶系统的差分方程为y(n)=by(n1)+x(n)用几何法分析其幅度特性。解由系统差分方程得到系统函数为式中，0b1。系统极点z=b，零点z=0，当B点从=0逆时针旋转时，在=0点，由于极点向量长度最短，形成波峰；在=点形成波谷；z=0处零点不影响幅频响应。极零点分布及幅度特性如图2.6.4所示。第168页/共219页图2.6.4例2.6.3插图第169页/共219页【例2.6.4】已知H(z)=1zN，试定性画出系统的幅频特性。解H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频响应。零点有N个

50、，由分子多项式的根决定即第170页/共219页N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.6.5所示。当从0变化到2时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：k=(2/N)k,k=0,1,2,N1。一般将具有如图2.6.5所示的幅调用zplane和freqz求解本例的程序ep264.m如下:第171页/共219页 ep264.m:例2.6.4求解程序 B=1 0 0 0 0 0 0 0 1;A=1;设置系统函数系数向量B和A subplot(2,2,1);zplane(B,A);绘制零极点图 H,w=freqz(B,A);计算频率响应 s