王勖成有限单元法学习总结.pptx

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1、内容提纲内容提纲一、绪论一、绪论二、有限元法的理论基础二、有限元法的理论基础-加权余量法和变分原理加权余量法和变分原理三、弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达式三、弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达式四、单元和插值函数的构造四、单元和插值函数的构造五、等参元与数值积分五、等参元与数值积分六、有限元法运用中的若干实际考虑六、有限元法运用中的若干实际考虑七、线性代数方程组的解法七、线性代数方程组的解法八、有限元分析计算机程序八、有限元分析计算机程序第1页/共109页一、绪论l 1.1 有限元法要点：有限元法要点：将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个 子域（单元），并通过他们边界上的节点

2、相互联接成为组合体；用每个单元内在所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数（或及其导数）在单元各结点上的数值和与其对应的插值函数来表达（此表达式为矩阵形式）；通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数结点值）的代数方程组或者场微分方程组。第2页/共109页一、绪论l 1.2 有限元法特性：有限元法特性：对于复杂几何构型的适应性（单元在空间可以是一维、二维或三维的，而每一种单元可以有不同形状）；对各种物理问题的可应用性(用单元内近似函数分片地表示全求解域的未知场函数，并为限制场函数所满足的方程

3、形式，也为限制各个单元所对应方程必须是相同的形式)；建立于严格理论基础上的可靠性(用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上以证明是微分方程和边界条件的等效积分形式)；适合计算机实现的高校性(有限元分析的各个步骤可以表达成规范的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机编程和执行)。第3页/共109页一、绪论l 1.3 有限元法的发展和现状：有限元法的发展和现状：单元类型和形式：为扩大有限元法的应用领域，新的单元类型不断涌现，例如等参单元采用和位移插值相同的表示方法，将形状规则单元变换为边界为曲线或曲面的单元；有限元法的理论基础和离散格式：在提出新的单元类型，

4、扩展新的应用领域和应用条件的同时，为了给新单元和新应用提供可靠的理论基础，研究了Hellinger-Reissner原理、Hu-Wanshizu原理等多场变量的变分原理，发展了混合型、杂交型的有限元表达格式；有限元方程的解法：独立于时间的平衡问题（或稳态问题）；特征值问题；依赖于时间的瞬态问题；有限元法的计算机软件（专用软件、大型通用商业软件）第4页/共109页一、绪论l 1.4 有限元法的未来：有限元法的未来：为了真实地模拟新材料和新结构的行为，需要发展新的材料本构模型和单元形式；为了分析和模拟各种类型和形式的结构在复杂载荷工况和环境作用下的全寿命过程响应，需要发展新的数值分析方案；有限元软

5、件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同集成完整的虚拟产品发展（VPD）系统第5页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法2.1.1 微分方程的等效积分形式：微分方程的等效积分形式：上式满足微分方程组和边界条件：1.1.2 微分方程等效积分的微分方程等效积分的“弱弱”形式：形式：通过适当提高对任意函数v的连续性要求，以降低微分方程场函数u的连续性要求所建立的等效积分形式。第6页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加

6、权余量法2.1.3 基于等效积分形式的近似方法基于等效积分形式的近似方法加权余量法加权余量法：假设未知函数u可以采用近似函数表示，近似函数是一族有待定参数的已知函数，一般形式为：通常n取有限项的近似解不能精确满足微分方程式和边界条件，故产生残差R，即：把等效积分形式写成余量形式：第7页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法2.2.3 基于等效积分形式的近似方法基于等效积分形式的近似方法加权余量法：加权余量法：采用使余量的加权积分为零来求微分方程近似解的方法称为加权余量法加权余量法。根据对权函数W的不

7、同选择可得到不同的加权余量计算方法，常用的方法有：配点法配点法：子域法子域法：在n个子域内W=I，在子域意外W=0。即强迫余量在n个子域的积分为零。最小二乘法最小二乘法：使 最小，即 。力矩法力矩法：第8页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法2.2.3 基于等效积分形式的近似方法基于等效积分形式的近似方法加权余量法：加权余量法：伽辽金法伽辽金法：取W=N，即简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，等效积分形式：近似解变分为：使 加权余量法可以用于广泛的方程类型，选择不同的权函数，可以产生不同的加

8、权余量法；通过采用等效积分的“弱”形式，可以降低对近似函数连续性的要求。如果近似函数取自完全的函数系列，并满足连续性要求，当试探函数的项数不断增加时，近似解可趋于精确解。第9页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立：线性、自伴随微分方程变分原理的建立：l 线性、自伴随微分算子线性、自伴随微分算子：若微分方程：L为微分算子，若 ,则为线性。L(u)与任意函数的内积：若 ，则算子为自伴随的。l 泛函的构造：泛函的构造：原问题微分方程和边界条件：与上式等效的伽辽金法：若：，其中：为原问题的泛函

9、。第10页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立：线性、自伴随微分方程变分原理的建立：l泛函的构造：泛函的构造：原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即泛函取驻值泛函取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽金提法得到的，并称这样的到的变分原理为自然变自然变分原理分原理。第11页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.3 变分

10、原理和里兹方法变分原理和里兹方法2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立：线性、自伴随微分方程变分原理的建立：l 泛函的极值性：泛函的极值性：对于2m阶微分方程，含0m-1阶导数的边界条件称为强强制制边边界界条条件件，近似函数应事先满足。含m2m-1阶导数的边界条件成为自自然然边边界界条条件件，近似函数不必事先满足。设近似场函数 ，则其中，是真正的泛函，是等效积分伽辽金提法的弱形式，应有：第12页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法2.3.2 里兹方法：里兹方法：设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探函数来近似表示，即：

11、泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分，并令所得方程等于零，即：由于 是任意的，满足上式时必然有都等于零。这是与待定系数a的个数相等的方程组，用以求近似解的经典方法叫做里兹法里兹法。里兹法的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的最好解，显然近似解的精度与试探函数的选择有关。第13页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法2.3.2 里兹方法：里兹方法：当n趋于无穷时，近似解收敛于微分方程精确解的条件如下：试探函数应取自完备函数系列。满足此要求的试探函数称为是完备的完备的；试探函数应满足 连续性要求，即表示泛函的场函数

12、最高的微分阶数是m时，试探函数0m-1阶导数应是连续的，以保证泛函中的积分存在，满足此要求的试探函数称为是协调的协调的。第14页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式：弹性力学基本方程的矩阵形式：u平衡方程平衡方程：弹性体V域内任一点沿坐标轴x,y,z方向的平衡方程为：平衡方程矩阵形式：第15页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式：弹性力学基本方程的矩

13、阵形式：u几何方程几何方程应变与位移关系应变与位移关系：在微小位移和微小变形情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的关系为：几何方程的矩阵形式为：第16页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式：弹性力学基本方程的矩阵形式：u物理方程物理方程应力与应变关系应力与应变关系：弹性力学中应力-应变之间的转换关系也称弹性关系。对各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示为：其中，D为弹性矩阵，它完全取决于弹性体材料的弹性模量和泊松比。第17页/共109页

14、二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式：弹性力学基本方程的矩阵形式：u力的边界条件：力的边界条件：弹性体在边界上单位面积的内力等于在边界上已知弹性体单位面积上作用的面积力，即：设边界外法线的方向余弦为 ，则边界上弹性体的内力为：边界条件矩阵形式为：第18页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式：弹性力学基本方程的矩阵形式：u几何边界条件：几何边界条件：弹性体在边界上

15、单位面积的内力等于：边界条件矩阵形式为：把边界力学方程记为一般形式，则有：第19页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式：弹性力学基本方程的矩阵形式：u弹性体应变能和余能：弹性体应变能和余能：单位体积的应变能（应变能密度）为：应变能是个正定函数，只有当弹性体内所有的点都没有应变时，应变能才为零。单位体积的余能（余能密度）为：余能也是正定函数，在线弹性力学中弹性体的应变能等于余能。第20页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变

16、分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式：弹性力学基本方程的张量形式：u平衡方程：平衡方程：张量形式的平衡方程为：其扩展形式为：第21页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式：弹性力学基本方程的张量形式：u几何方程：几何方程：张量形式的几何方程为：其扩展形式为：第22页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式：弹性力学基本方

17、程的张量形式：u物理方程：物理方程：张量形式的物理方程为：其扩展形式为：第23页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式：弹性力学基本方程的张量形式：u力的边界条件：力的边界条件：张量形式的力的边界条件为：其扩展形式为：第24页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.3 平衡方程和几何方程的等效积分平衡方程和几何方程的等效积分“弱弱”形式形式u虚位移原理：虚位移原理：平衡方程和力边界条件

18、为：其等效积分为：经分部积分后的等效积分“弱”形式为：虚功是外力和内力分别在虚位移与之对应的虚应变上所作的功，称为虚位移原理虚位移原理。第25页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.3 平衡方程和几何方程的等效积分平衡方程和几何方程的等效积分“弱弱”形式形式u虚应力原理：虚应力原理：几何方程和位移条件为：其等效积分为：经分部积分后的等效积分“弱”形式为：上式第一项代表虚应力在应变上所作的功，第二项代表虚位移约束反力在给定位移上所作的虚功，称为虚应力原理虚应力原理。第26页/共109页二、有限元法理论基础

19、-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.4 线弹性力学的变分原理线弹性力学的变分原理u最小位能原理：最小位能原理：系统的总位能是弹性体变形位能和外力位能之和：在所有区域内连续可导的并在边界上满足给定位移条件式的可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。即在所有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值，因此称为最小位能原理。第27页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.4 线弹性力学的变分原理线弹性力学的变分原理u最小余能原理：最小余能原理：系统的

20、总位能是弹性体余能和外力余能之和：在所有在弹性体内满足平衡方程，在边界上满足力的边界条件的可能盈利中，真实应力使系统的总余能取驻值，真实位移使系统总位能取最小值类同步骤，证明在所有应力中，真实应力使系统总余能取最小值，因此称为最小余能原理。第28页/共109页二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理2.4.4 线弹性力学的变分原理线弹性力学的变分原理u弹性力学变分原理的能量上、下界：弹性力学变分原理的能量上、下界：根据能量平衡，应变能应等于外力功，因此得到弹性系统的总位能与总余能之和为零：利用最小位能原理求得位移近似解的弹性

21、变形能是精确解变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小；利用最小余能原理得到的应力近似解的弹性余能是精确解余能的下界，即近似的应力解在总体上偏大。第29页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3.2.1单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造u单元的位移模式和广义坐标：单元的位移模式和广义坐标：在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数增多，可以逼近任何一段函数曲线，三结点三角形单元位移模式选取一次多项式：矩阵形式 称为位位移移模模式式

22、，表示位移作为坐标x,y的函数中所包含的项次；是待定系数，称之为广义坐标广义坐标。第30页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3.2.1单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造u位移插值函数：位移插值函数：由广义坐标，可将位移函数表示成结点位移函数：其中：称为单元的插单元的插值函数或形函数值函数或形函数。它具有如下性质：在结点上：单元中任一点插值函数之和等于1：若插值函数是线性的，在单元内部及单元的边界上位移也是线性的，可由结点上的位移值唯一确定。第31页/共109页三、弹性力学问题有限元方

23、法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3.2.1单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造u应变矩阵和应力矩阵：应变矩阵和应力矩阵：确定了单元位移后，可利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力：式中，B B为应变矩阵，S S为矩阵。它们都为常量矩阵。第32页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3.2.2利用最小位能原理建立有限元方程利用最小位能原理建立有限元方程u利用最小位能原理建立有限元方程：利用最小位能原理建立有限元方程：最小位能原理的泛

24、函总位能在平面问题中矩阵表达形式为：对离散模型，系统位能是各单元位能之和：将单元结点位移列阵用结构结点位移列阵表示：第33页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3.2.2利用最小位能原理建立有限元方程利用最小位能原理建立有限元方程u利用最小位能原理建立有限元方程：利用最小位能原理建立有限元方程：令：和 为单元刚度矩阵和单元等效结点载荷矩阵。令：为结构整体刚度矩阵和结构结点载荷矩阵，则：根据变分原理，泛函取驻值条件式它的一次变分为零，即：，从而得有限元求解方程为：第34页/共109页三、弹性力学问题有限元方法

25、一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3.2.3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵u单元刚度矩阵的形成：单元刚度矩阵的形成：由于应变矩阵对于3结点三角形单元是常量阵，故：u单元刚度矩阵的力学意义：单元刚度矩阵的力学意义：单元刚度矩阵中任一元素 的物理意义：当单元的第j个节点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需在单元第i个节点位移方向上施加的结点力的大小。单元刚度大，则使结点产生单位位移所需施加的结点力就大。因此，单元刚度矩阵中的每个元素反映了单元刚度的大小，称为刚度系数。第35页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力

26、学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3.2.4 单元等效结点载荷列阵单元等效结点载荷列阵u均质等厚单元自重均质等厚单元自重（自重的等效结点载荷）：u均布侧压均布侧压（侧压作用下的单元等效结点载荷）：uX向均布力向均布力（单元等效结点载荷）：uX方向三角形均布载荷方向三角形均布载荷（单元等效结点载荷）：第36页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3.2.5 结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成u单元刚度矩阵的转换单元刚度矩阵的转换 刚度矩阵的转换表示为：第37

27、页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3.2.5 结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成u单元等效结点载荷列阵的转换单元等效结点载荷列阵的转换 单元等效结点载荷列阵的转换表示为：单元等效结点载荷包括体积力和面积力等的等效结点载荷。等效结点载荷列阵转换是将单元结点载荷列阵的阶数扩大到与结构结点载荷列阵同阶，并将单元结点载荷按结点自由度顺序入位。第38页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式3

28、.2.5 结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成u结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成 计算中的集成只需计算单元矩阵元素后直接“对号入座”地叠加到结构刚度矩阵及结构载荷列阵即可：第39页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.3 广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式3.3.1 广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造u选择广义坐标有限元位移模式的一般原则选择广义坐标有限元位移模式的一般原则广义坐标是结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度数相等。

29、选取多项式时，常数项和坐标的一次项完备。位移模式中的常数项和一次项放映了单元刚体位移和常应变的特性。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说，对于单元边每边具有两个端结点的应保证一次完全多项式。第40页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.3 广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式3.3.1 广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造u建立广义坐标有限元位移插值函数的一般步骤建立广义坐标有限元位移插值函数的一般步骤以广义坐标为待定系数，给出单元内位移：用单元结点位移表示广义坐标：以单元结点

30、位移表示单元位移函数，得到单元插值函数矩阵：以单元结点位移表示单元应变，得到应变矩阵：第41页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.3 广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式3.3.2 广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造u弹性力学问题有限元分析的执行步骤弹性力学问题有限元分析的执行步骤 对结构进行离散。按问题的几何特点和精度要求等因素划分单元并形成网格；形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷列阵；集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷列阵；引入强制（给定位移）边界条件；求解有限元求解方程（线性代数方程组），得到结点位移；计算

31、单元应变和应力；进行必要的后处理。第42页/共109页三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.4 有限元解的性质和收敛条件有限元解的性质和收敛条件3.4.1 有限元解的收敛准则有限元解的收敛准则u完完备备性性要要求求：如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项；u协协调调性性要要求求：如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数咋单元交界面上必须具有 连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至m-1阶的连续性导数。第43页/共109页四、单元与插值函数的构造l

32、 4.2 一维单元一维单元4.2.1 拉格朗日单元拉格朗日单元u总体坐标内的位移插值函数：总体坐标内的位移插值函数：对于具有n个结点的一位单元，如果它的结点参数中只含有场函数的结点值，则单元内的场函数可插值表示为：对于n个结点的一维单元，Ni(x)可采用n-1次拉格朗日插值多项式表示：第44页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.2 一维单元一维单元4.2.1 拉格朗日单元拉格朗日单元u自然坐标内的位移插值函数：自然坐标内的位移插值函数：现引入无量纲的局部坐标：则拉格朗日插值多项式可表示为：无量纲坐标的另一种形式是：第45页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.2 一维单元一维单元

33、4.2.1 拉格朗日单元拉格朗日单元u拉拉格格朗朗日日插插值值函函数数的的广广义义表表达达式式：为构造其他形式的拉格朗日单元方便，在此把拉格朗日多项式改写为：则拉格朗日插值多项式可仍然是 的完全多项式。它的项数和结点数相同且包含常数项，这样构成的场函数模式是满足收敛准则的。特别是，如令 则：第46页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.2 一维单元一维单元4.2.2 Hermite单元单元 如果希望在单元间的公共结点上还保持场函数单数的连续性，则结点参数中还应包含场函数导数的结点值。这时可以方便地采用Hermite多项式作为单元的插值函数。对于只有两个端结点的一位单元，其插值表达式为：以

34、上端部结点最高保持场函数的一阶导数连续性的Hermite多项式称为一阶Hermite多项式。零阶Hermite多项式即拉格朗日多项式。在结点上保持函数的n阶导数连续性的Hermite多项式称为n阶Hermite多项式。第47页/共109页四、单元与插值函数的构造l 3.3 二维单元二维单元3.3.1 三角形单元三角形单元u三角形域的自然坐标三角形域的自然坐标面积坐标面积坐标 面积坐标的定义：面积坐标的定义：若A是三角形的面积，则面积坐标为 ：且且 面面积积坐坐标标的的特特点点：三角形内与结点i的对边j-m平行的直线上的诸点有相同的Li坐标；3个面积坐标并不相互独立，且3个面积坐标间必然满足：三

35、角形的面积坐标与该三角形具体形状及其总体坐标x,y中的位置无关，因此它是三角形的一种自然坐标。第48页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.2 二维单元二维单元4.3.1 三角形单元三角形单元u三角形域的自然坐标三角形域的自然坐标面积坐标面积坐标 面积坐标与直角坐标的转换关系：面积坐标与直角坐标的转换关系：面积坐标的微分运算：面积坐标的微分运算：第49页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.3 二维单元二维单元4.3.1 三角形单元三角形单元u用面积坐标给出的三角形单元的插值函数用面积坐标给出的三角形单元的插值函数 线性单元：线性单元：二次单元：二次单元：三次单元：三次单元：（角结

36、点）（角结点）（中心结点）（中心结点）第50页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.3 二维单元二维单元4.3.2 拉格朗日矩形单元和拉格朗日矩形单元和Hermite矩形单元矩形单元u拉拉格格朗朗日日矩矩形形单单元元：构造任意的拉格朗日矩形单元插值函数的一个简便而系统的方法是利用两个坐标方向适当方次拉格朗日多项式的乘积。uHermite矩矩形形单单元元：一维Hermite多项式可以利用和构造拉格朗日单元类似的方法，用来构造Hermite矩形单元插值函数。对于一阶（三次）Hermite多项式有：第51页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.3 二维单元二维单元4.3.3 Serend

37、ipity四边形单元四边形单元 假定开始只有4个角结点，对应这些结点的插值函数可利用双一次拉格朗日多项式构造：如果增加边内结点，则和对应的插值函数可以按划线法构造，或直接表示成（或 ）方向二次方和 （或 ）方向一次拉格朗日多项式的乘积：第52页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.4 三维单元三维单元4.4.1 四面体单元四面体单元 根据三维四面体单元的几何特点，引进的自然坐标是体积坐标，单元内任一点P的体积坐标是：线性单元：线性单元：二次单元：二次单元：（角结点）（角结点）（棱内结点）（棱内结点）第53页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.4 三维单元三维单元4.4.2 Ser

38、endipity单元单元 线性单元线性单元(8结点结点)：二次单元二次单元(20结点结点)：角结点：棱内结点：三次单元三次单元(32(32结点结点)：角结点：典型棱内结点：第54页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.5 阶谱单元阶谱单元4.5.1 一维阶谱单元一维阶谱单元 在进一步形成二次单元的各个特性矩阵时，原线性单元的相应部分可以保持不变地而被继续使用，从而达到节省程序编制和运算时间，这就是阶谱单元。将单元的函数用阶谱函数表示得：新增加参数的物理意义为函数在单元中点的斜率：阶谱函数的另一种表达形式为：第55页/共109页四、单元与插值函数的构造l 4.5 阶谱单元阶谱单元4.5.2

39、 二维、三维阶谱单元二维、三维阶谱单元 当单元升阶似Serendipity型二次单元时，阶谱函数H5、H6、H7、H8的构造原则是它们分别在除自身所在的3个边取0的二次函数：如果希望构造类似于拉格朗日型的二次单元，则再增加H9，其表达式为：第56页/共109页五、等参元与数值积分l 5.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换5.2.1 等参变换等参变换 为了将局部（自然）坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换，即：通过上式建立起两个坐标系之间的变换，从而将自然坐标内的形状规则的

40、单元变换为总体笛卡儿坐标内的形状扭曲单元，前者为母单元，后者为子单元。第57页/共109页五、等参元与数值积分l 5.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换5.2.2 单元矩阵的变换单元矩阵的变换u 导数之间的变换导数之间的变换 按照偏微分规则，插值函数对自然坐标求偏导得：Ni对x,y,z的偏导数用自然坐标表示为：第58页/共109页五、等参元与数值积分l 5.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换5.2.2 单元矩阵的变换单元矩阵的变换u 体积微元、面积微元的变换体积微元、面积微元的变换 在笛卡儿坐标系内形成的体积微元是：其中，式中i,j,

41、k是笛卡儿坐标x,y,z方向的单位向量，则：(面积)微元）面积微元体积微元第59页/共109页五、等参元与数值积分l 5.2 等参变换的概念和单元矩阵的变换等参变换的概念和单元矩阵的变换5.2.2 单元矩阵的变换单元矩阵的变换u 自然坐标为面积（或体积）坐标时的变换公式自然坐标为面积（或体积）坐标时的变换公式 对于三维情况，对 的导数做如下变换：对于二维情况：第60页/共109页五、等参元与数值积分l 5.3 等参变换的条件和等参单元的收敛性等参变换的条件和等参单元的收敛性5.3.1 等参变换条件等参变换条件 从微积分学知识可知，两个坐标之间一对一变换的条件是雅克比矩阵J的行列式不得为零，等参

42、变换作为一种坐标变换必须服从此条件。如雅克比矩阵行列式为零，则表明笛卡儿坐标中体积微元（面积微元）为零，即在自然坐标中的体积微元（面积微元）对应笛卡儿坐标的一个点，这种变换显然不是一一对应的。另外因为雅克比矩阵行列式为零，其逆矩阵不成立，所以两个坐标之间偏倒是不可实现。由 可知，应该避免以下任一条件成立：第61页/共109页五、等参元与数值积分l 5.4 等参元用于分析弹性力学问题的一般格式等参元用于分析弹性力学问题的一般格式u 母单元为母单元为 坐标系中的立方体单元系列坐标系中的立方体单元系列 可以是8结点的一次单元，20结点的二次单元等，则自然坐标为有：故：第62页/共109页五、等参元与

43、数值积分l 5.4 等参元用于分析弹性力学问题的一般格式等参元用于分析弹性力学问题的一般格式u 母单元为四面锥的单元系列母单元为四面锥的单元系列 如一次4结点单元、二次10结点单元等。自然坐标取体积坐标L1，L2，L3，L4，因为它们不完全独立，如令L1，L2，L3为相当于 的独立变量，则有：故：第63页/共109页五、等参元与数值积分l 5.5 数值积分方法数值积分方法5.5.1 一维数值积分一维数值积分u Newton-Cotes积分积分 在这种积分方案中，包括积分域端点在内的积分点按等间距分布。对于n个积分点（或取样点），根据积分点上的被积函数可以构造一个近似多项式，使在积分点上有：这个

44、近似多项式可以通过拉格朗日多项式表示：的积分为：第64页/共109页五、等参元与数值积分l 5.5 数值积分方法数值积分方法5.5.1 一维数值积分一维数值积分u 高斯积分高斯积分 在此积分方案中，积分点不是等距分布，其积分点位置由如下两式确定：被积函数由2n-1次多项式 来近似：高斯积分为：第65页/共109页五、等参元与数值积分l 5.5 数值积分方法数值积分方法5.5.2 二维、三维高斯积分二维、三维高斯积分u 二维高斯积分：二维高斯积分：u 三维高斯积分：三维高斯积分：第66页/共109页五、等参元与数值积分l 5.5 数值积分方法数值积分方法5.5.3 三维六面体单元的三维六面体单元

45、的Irons积分积分 该积分公司直接写成一次求和的形式：第67页/共109页五、等参元与数值积分l 5.5 数值积分方法数值积分方法5.5.4 二维三角形单元和三维四面锥单元的二维三角形单元和三维四面锥单元的Hammer积分积分u 对于二维积分：对于二维积分：或：或：u对于三维积分：对于三维积分：或：或：第68页/共109页六、有限元法应用中的若干实际考虑l 6.2 有限元模型的建立有限元模型的建立6.2.1 单元类型和形状的选择单元类型和形状的选择u 单单元元类类型型：根据分析对象的物理属性，可选择固体力学单元、流体力学单元、热传导单元等。在固体力学单元类型中，还可根据其几何特点，选择二维、

46、三维实体单元，梁、板、壳结构单元，半无穷单元等。u单单元元形形状状：单元形状与结构有关。三角形比较适合不规则形状，而四边形则比较适合规则形状。单元阶次的选择与求解域内应力变化的特点有关，应力梯度大的区域，单元阶次应较高，否则即使网格很密也难达到理想效果。第69页/共109页六、有限元法应用中的若干实际考虑l 6.2 有限元模型的建立有限元模型的建立6.2.2 网格划分网格划分u 网格疏密的合理布置：网格疏密的合理布置：在结构的应力集中或应力梯度高的区域应布置较密的网格，在应力变化平缓的区域可布置较稀疏的网格，可同时满足精度和效率的要求。采用以下措施：一是对于应力变化激烈的地区局部加密网格进行重

47、划分；二是采用自适应分析方法。u疏密网格的过渡：疏密网格的过渡：变结点方法可用于不同阶次单元之间的过渡，但同阶单元疏密网格之间的过渡需要有专门的处理方法。如采用形状不规则的单元过渡；采用三角形单元过渡；采用多点约束方法过渡。第70页/共109页六、有限元法应用中的若干实际考虑l 6.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理6.3.1 应力近似解的性质应力近似解的性质 用最小位能原理求得的位移解具有下限性质，其泛函形式为：将 写成离散形式并称它为泛函X：应变近似解和应力近似解必然在精确解上下震荡。某些结点上，近似解正好等于精确解，即在单元内存在最佳应力点。这一特点有利于处理应力计算的

48、结果，改善应力解的精确度。第71页/共109页六、有限元法应用中的若干实际考虑l 6.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理6.3.2 等参元的最佳应力点等参元的最佳应力点 利用位移元进行有限元应力分析归结为求泛函X的极小值问题：如果位移近似解是p次多项式，L是m阶微分算子，应变近似解或盈利近似解是n=p-m次多项式。若应力应变精确解是n+1次多项式，则在n+1阶高斯积分点上，近似解和精确解在数值上是相等的，即近似解在积分上具有比本身高一次的精度。称此点为单元的最佳应力点，又称为优化应力点或超收敛应力点。第72页/共109页六、有限元法应用中的若干实际考虑l 6.3 应力计算结果

49、的性质和处理应力计算结果的性质和处理6.3.3 单元平均或结点平均单元平均或结点平均u 取取相相邻邻单单元元应应力力的的平平均均值值：该方法最常用于3结点三角形单元，可将其看作单元内应力的平均值或单元形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均值作为此两个单元合成较大的四边形单元形心处的应力。算术平均：算术平均：加权平均：加权平均：第73页/共109页六、有限元法应用中的若干实际考虑l 6.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理6.3.3 单元平均或结点平均单元平均或结点平均u 取相邻单元应力的平均值：取相邻单元应力的平均值：该方法最常用于3结点三角

50、形单元，可将其看作单元内应力的平均值或单元形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均值作为此两个单元合成较大的四边形单元形心处的应力。算术平均：算术平均：加权平均：加权平均：u围绕结点各单元应力的平均值：围绕结点各单元应力的平均值：周围相关结点在该结点处应力值之和的平均值：第74页/共109页六、有限元法应用中的若干实际考虑l 6.3 应力计算结果的性质和处理应力计算结果的性质和处理6.3.4 总体应力磨平总体应力磨平 该方法是构造一个改进的应力解，此改进解在全域是连续的，改进解与有限元求得的应力解应满足加权最小二乘的原则，即使下式取驻值：改进解在单元内取插值形