数理方程与特殊函数钟尔杰总复习.pptx
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1、5.1 Fourier5.1 Fourier变换变换一、Fourier变换的定义定理定理1 若 ,且在一个周期内只有有限个第一类间断点与极值点,则其中 第1页/共132页定义定义1 称为f(x)的Fourier变换,f(x)称为 的Fourier逆变换。Fourier变换有多种形式。这些形式的差异主要体现在积分号前的系数以及被积函数中指数函数的指数符号。本书采用工程应用中典型的定义形式,这样的Fourier变换许多性质也可以从物理上得到解释。第2页/共132页二、正(余)弦变换的定义定义2 Fourier余弦变换是指定义3 Fourier逆余弦变换是指第3页/共132页定义定义4 Fourie
2、r正弦变换是指定义定义5 Fourier逆正弦变换是指第4页/共132页三、Fourier变换的基本性质性质性质1 Fourier变换是一个线性变换:对于任意常数 、与任意函数 、有定义定义6 设 都满足Fourier变换的条件,则称为 的卷积。记为第5页/共132页性质性质2 的卷积的Fourier变换等于 的Fourier变换的乘积:第6页/共132页性质性质3 乘积的Fourier变换等于它们各自的Fourier变换的卷积再乘以系数 ,即 性质4 第7页/共132页性质5 性质性质6 设为任意常数,则设为任意常数,则 性质性质7 设 为任意常数,则 性质8 第8页/共132页性质9 性质
3、10 性质11 性质12 第9页/共132页四、n维Fourier变换第10页/共132页n维Fourier变换具有的性质 第11页/共132页五、Fourier变换在常微分方程中的应用例3 求解 第12页/共132页5.2 Fourier5.2 Fourier变换的应用变换的应用Fourier变换法求解步骤为:(1)对定解问题作Fourier变换;(2)求解像函数;(3)对像函数作Fourier逆变换。第13页/共132页5.3 Laplace5.3 Laplace变换变换一、Laplace变换的定义定义定义1 积分变换 称为 的Laplace变换,记作 称为 Laplace逆变换,记作第1
4、4页/共132页二、Laplace变换的存在定理定理定理1 若f(x)函数满足下述条件:(1)当x0上的解为第63页/共132页推论2 Laplace方程Dirichlet问题在半空间z0上的解为第64页/共132页二、圆和半平面上的Green函数定理3 平面Poisson方程Dirichlet问题的解为第65页/共132页推论3 平面Laplace方程Dirichlet问题的解为第66页/共132页定理4 上半平面Poisson方程Dirichlet问题的解的表达式为第67页/共132页推论4 上半平面Laplace方程Dirichlet问题的解的表达式为第68页/共132页三、第一象限上的
5、Green函数平面第一象限上的Green函数相当于求解定解问题第69页/共132页6.6 Laplace6.6 Laplace方程与热传导方程的基本解方程与热传导方程的基本解一、Lu=0型方程的基本解定义定义1 方程 的解称为方程 的Green函数,又称为基本解。放置于坐标原点的电量为的点电荷的场的势函数满足Poisson方程:第70页/共132页定义定义2 方程 的解称为Poisson方程 的基本解。定理定理1 若U是一个基本解,u是相应齐次方程 的任一解,则 仍是基本解,而且方程的全体基本解都可以表示成这种形式。定理定理2 若 是连续函数,满足方程 ,则卷积第71页/共132页二、Pois
6、son方程的基本解定理定理3 空间Poisson方程的特解为其中,第72页/共132页三、热传导方程Cauchy问题的基本解定理4 设 是连续函数,且存在,则定解问题的解为第73页/共132页定理5(1)一维热传导方程Cauchy问题的基本解为(2)二维热传导方程Cauchy问题的基本解为(3)三维热传导方程Cauchy问题的基本解为第74页/共132页四、热传导方程边值问题的基本解定义3 定解问题 的解 称为的基本解。第75页/共132页定理7 热传导方程边值问题的解为第76页/共132页6.7 6.7 波动方程的基本解波动方程的基本解一、波动方程Cauchy问题的基本解定义1 定解问题的解
7、 称为Cauchy问题第77页/共132页定理定理1 设 都是连续函数,都存在,则Cauchy问题的解为第78页/共132页二、波动方程边值问题的基本解定义2 定解问题的解 称为边值问题的基本解。第79页/共132页定理定理3 设 都是连续函数,则边值问题的解为第80页/共132页6.8 Poisson6.8 Poisson方程边值问题近似求法简介方程边值问题近似求法简介一、Ritz法定义定义1 称为极值问题的EulerLagrange方程。第81页/共132页二、Ritz法Dirichlet定理定理定理1(Dirichlet)Laplace方程第三边值问题的解,使泛函取得最小值;反之,使泛函
8、取得最小值的函数 ,一定是Laplace方程第三边值问题的解。第82页/共132页7.1 Bessel方程及其幂级数解7.2 Bessel函数的母函数及递推公式7.3 Bessel函数的正交性及其应用7.4 Bessel函数的其他类型 第七章第七章 BesselBessel函数函数第83页/共132页7.1 Bessel7.1 Bessel方程及其幂级数解方程及其幂级数解一、Bessel方程的引出例1 设有一个半径为的薄圆盘,其侧面绝缘,若圆盘边界上的温度恒保持为零度,且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律。例2 在圆柱内传播的电磁波问题。设沿方向均匀的电磁波在底半径为1的圆柱域内传播,
9、在侧面沿法向方向导数为零,从静止状态开始传播,初始速度为。求其传播规律(假设对极角对称)。第84页/共132页二、Bessel方程的求解定义1 Neumann函数称为第二类Bessel函数。这个无穷级数所确定的函数,称为阶第一类Bessel函数,记作第85页/共132页7.2 Bessel7.2 Bessel函数的母函数及递推公式函数的母函数及递推公式一、Bessel函数的母函数(生成函数)定义定义1 函数 称为Bessel函数的母函数。第86页/共132页二、Bessel函数的积分表达式第87页/共132页三、Bessel函数的递推公式第二类Bessel函数也具有与第一类Bessel函数相同
10、的递推公式:第88页/共132页四、渐近公式、衰减振荡性和零点Bessel函数的渐近公式 零点的近似公式的无穷多个实零点是关于原点对称分布的,必有无穷多个正零点。第89页/共132页1 有无穷多个单重实零点,且这无穷多个零点在轴上关于原点是对称分布的。因而,必有无穷多个正的零点;2 的零点与 的零点是彼此相间分布的,即 的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个 的零点;3以 表示 的正零点,则 当时无限地接近于 ,即 几乎是以2 为周期的周期函数。第90页/共132页7.3 Bessel7.3 Bessel函数的正交性及其应用函数的正交性及其应用一、Bessel函数的正交性定理定理1 Bes
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