微积分x二重积分的计算方法.pptx

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1、 已知平行截面面积已知平行截面面积的立体的体积的立体的体积注：二重积分转变为二次积分的注：二重积分转变为二次积分的推导过程借助于几何直观，略去推导过程借助于几何直观，略去了分析证明过程。了分析证明过程。第1页/共52页用平面x=x0截立体，截得A(x0).应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得注意D的特殊之处。第2页/共52页定理13-1（基本定理）函数f(x,y)在闭矩形区域D:可积,若每一个若每一个第3页/共52页dca b如果积分区域为：第4页/共52页第5页/共52页如果积分区域为：其中函数 、在区间 上连续.X型 X型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线

2、与区域边界相交不多于两个交点.第6页/共52页如果积分区域为：Y型 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第7页/共52页若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.对非对非X、Y型区域型区域第8页/共52页解解积分区域如图第9页/共52页解解积分区域如图第10页/共52页(1).计算计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X型区域,则解法解法2.将D看作Y型区域,则例例3 3计算下列二重积分计算下列二重积分第11页/共52页解解第12页/共52页解解X-型第13页/共52页（4）.计计算算其中D

3、是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 第14页/共52页解解第15页/共52页（6）.计算计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.第16页/共52页解解第17页/共52页令y-x=u交换积分次序 -1 o 1 x令u=-t第18页/共52页第19页/共52页 O 1 x y 1 第20页/共52页例例7 7解解 先去掉绝对值符号，如图第21页/共52页 o 1 x第22页/共52页 o 1 x第23页/共52页第24页/共52页例例6 6 证

4、证第25页/共52页Z=f2(x,y)Z=f1(x,y)Z=0利用二重积分计算空间立体体积第26页/共52页例例1.1.解解所求立体可以看成是一个所求立体可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为曲顶柱体，它的曲顶为底为底为第27页/共52页例例2.求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的的直角圆柱面所围的体积体积.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第28页/共52页二、利用极坐标系计算二重积二、利用极坐标系计算二重积分分第29页/共52页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图第30页/共52页第31页/共

5、52页二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图第32页/共52页极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图第33页/共52页解解第34页/共52页第35页/共52页解解第36页/共52页解解第37页/共52页第38页/共52页第39页/共52页解解第40页/共52页例5 求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ax所围立体的体积。解：xyoxyz第41页/共52页第42页/共52页第43页/共52页解解 D=2D1第44页/共52页例例7 7解解第45页/共52页 三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法第46页/共52页第47页/共52页例例1 1解解第48页/共52页第49页/共52页例例2 2解解第50页/共52页第51页/共52页感谢您的观看！第52页/共52页