数列在生活中的应用.pptx

《数列在生活中的应用.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列在生活中的应用.pptx（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、自学导引自学导引第1页/共25页试一试：试一试：什么情况下建立数列模型？什么情况下建立数列模型？提示提示根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模正整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来解决例如存款、贷款、购物型来解决例如存款、贷款、购物(房、车房、车)分期付款、保分期付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型险、资产折旧等问题都属于数列问题模型有关储蓄的计算有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利

2、息本金本公式是：利息本金存期存期利率利率根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额利息全额算公式为：应纳税额利息全额税率税率(1)整存整取定期储蓄整存整取定期储蓄一次存入本金金额为一次存入本金金额为A，存期为，存期为n，每期利率为，每期利率为p，税率为，税率为q，则到期时，所得利息为：，则到期时，所得利息为：_，应纳税为，应纳税为_，实际取出金额为：实际取出金额为：_.2nApnApqnAp(1q)A第2页/共25页想一想想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列

3、对应？种数列对应？提示提示单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列第3页/共25页解答数列应用题的基本步骤解答数列应用题的基本步骤(1)审题审题仔细阅读材料，认真理解题意仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模建模将已知条件翻译成数学将已知条件翻译成数学(数列数列)语言，将实语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么么(3)求解求解求出该问题的数学解求出该问题的数学解(4)还原还原将所求结果还原到原实际问题

4、中将所求结果还原到原实际问题中具体解题步骤为下框图：具体解题步骤为下框图：名师点睛名师点睛1第4页/共25页数列应用问题的常见模型数列应用问题的常见模型(1)等差模型：一般地，如果增加等差模型：一般地，如果增加(或减少或减少)的量是一个的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少或减少)的的量就是公差，其一般形式是：量就是公差，其一般形式是：an1and(常数常数)例如：银行储蓄单利公式例如：银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为利息按单利计算，本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期为，存期为x，则本利和，则本利和ya(1xr)2第5页/

5、共25页例如：例如：银行储蓄复利公式银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为元，每期利率为r，存期为存期为x，则本利和，则本利和ya(1r)x.产值模型产值模型原来产值的基础数为原来产值的基础数为N，平均增长率为，平均增长率为p，对于时间，对于时间x的总产的总产值值yN(1p)x.(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型数列的模型(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加增加(或减少或减少)，同时又以一个

6、固定的具体量增加，同时又以一个固定的具体量增加(或减少或减少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等伐问题等第6页/共25页题型一题型一等差数列模型等差数列模型(单利问题单利问题)用分期付款购买价格为用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如万元的住房一套，如果购买时先付果购买时先付5万元，以后每年付万元，以后每年付2万元加上欠款利息万元加上欠款利息签订购房合同后签订购房合同后1年付款一次，再过年付款一次，再过1年又付款一次，年又付款一次，直到还完后为止商定年利率为直到还完后为止商定年利率为10%，则第，则第5年该付多年该

7、付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？少元？购房款全部付清后实际共付多少元？思路探索思路探索 先将实际问题转化为数学问题，这是一先将实际问题转化为数学问题，这是一个等差数列问题，用等差数列来解决个等差数列问题，用等差数列来解决【例1】第7页/共25页解解购买时先付购买时先付5万元，余款万元，余款20万元按题意分万元按题意分10次分期次分期还清，每次付款数组成数列还清，每次付款数组成数列an，则则a12(255)10%4(万元万元)；a22(2552)10%3.8(万元万元)；a32(25522)10%3.6(万元万元)；第8页/共25页31536(万元万元)，因此第，因此第5年该付年该付3

8、.2万元，购房款全万元，购房款全部付清后实际共付部付清后实际共付36万元万元规律方法规律方法按单利分期付款的数学模型是等差数列，解按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决该类问题的关键是弄清楚：决该类问题的关键是弄清楚：(1)规定多少时间内付清全部款额；规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息的计算公式内利息的计算公式第9页/共25页 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所一个水池有若干出水量相同

9、的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么有水龙头同时放水，那么24 min可注满水池如果开可注满水池如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解解设共有设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依次为依次为x1，x2，xn.由已知可知

10、由已知可知x2x1x3x2xnxn1，数列数列xn成等差数列，成等差数列，【训练1】第10页/共25页第11页/共25页 陈老师购买工程集资房陈老师购买工程集资房92 m2，单价为，单价为1 000元元/m2，一次性国家财政补贴，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴元，学校补贴14 400元，元，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款(注注)，经过一年付款一次，经过一年付款一次，共付共付10次，次，10年后付年后付清，如果按年利率清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，每年按复利计算(注注)，那么，那么每年应付款多少元？每年应付款多

11、少元？(注注)注注分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息必要时参考下列数据：必要时参考下列数据：1.07591.971,1.075102.061,1.075112.216.【例2】题型题型二二等比数列模型等比数列模型(复利问题复利问题)第12页/共25页 思路探索思路探索 按复利分期付款，

12、各期所付的款以及最后按复利分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个款现价到最后一次付款时所生的利余额的现价及这个款现价到最后一次付款时所生的利息之和息之和解解设每年应付款设每年应付款x元，那么到最后一次付款时元，那么到最后一次付款时(即购即购房十年后房十年后)，第一年付款及所生利息之和为，第一年付款及所生利息之和为x1.0759元，元，第二年付款及所生利息之和为第二年付款及所生利息之和为x1.0758元，元，第九，第九年付款及其所生利息之和为年付款及其所生利息之和为x1.075元，第十年付款为元，

13、第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为元，而所购房余款的现价及其利息之和为1 00092(28 80014 400)1.0751048 8001.07510(元元)因此有因此有x(11.0751.07521.0759)48 8001.07510(元元)，第13页/共25页规律方法规律方法求解此类问题应先把实际问题转化为等比求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要问题，答

14、案要符合题设中实际问题的需要第14页/共25页 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2012年起，每年年初到银行新存入年起，每年年初到银行新存入a元，年利率元，年利率p保持不变，保持不变，并按复利计算，到并按复利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？出，共取回多少元？【训练2】第15页/共25页解从2012年年初到2013年年初有存款b1a(1p)元，设第n年年初本息有bn元，第n1年年初有bn1元，则有bn1(bna)(1p)将之变形为第16页/共25页 (本题满分本题满分1212分分)假设某市假设某

15、市2012年新建住房年新建住房400万万 m2，其中有，其中有250万万 m2是中、低价房预计在今后的若是中、低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长干年内，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另另外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增外，每年新建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加加50万万 m2.那么，到哪一年底，那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中、低价房的累计面积该市历年所建中、低价房的累计面积(以以2012年为累年为累计的第一年计的第一年)将首次不少于将首次不少于4 750万万 m2?(2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造到哪年，当

16、年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于住房面积的比例首次大于85%?审题指导审题指导 第第(1)问是等差数列求和问题；第问是等差数列求和问题；第(2)问由等问由等比数列通项公式求出比数列通项公式求出bn表达式，解不等式表达式，解不等式an0.85bn，求得求得n的最小正整数解的最小正整数解【例3】题型题型三三等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用第17页/共25页【解题流程解题流程】规范解答规范解答 (1)设中、低价房面积形成数列设中、低价房面积形成数列an，由题，由题意可知意可知an是等差数列，是等差数列，令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正

17、整数，n10.(4分)到2021年底，该市历年所建中、低价房的累计面积将首次不少于4 750万 m2.(5分)第18页/共25页(2)设新建住房面积形成数列设新建住房面积形成数列bn，由题意可知，由题意可知bn是等比数列，是等比数列，其中其中b1400，q1.08，则，则bn400(1.08)n1，(8分分)由题意可知由题意可知an0.85bn，有，有250(n1)50400(1.08)n10.85.(10分分)由计算器解得满足上述不等式的最小正整数由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n6，到到2015年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房

18、面积的比例首次大于房面积的比例首次大于85%.(12分分)【题后反思题后反思】解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数过审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求，还是求an，或是求，或是求Sn.第19页/共25页 据美国学者詹姆斯据美国学者詹姆斯马丁的测算，在近十年，人马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达

19、到每三年翻一番，类知识总量已达到每三年翻一番，2020年甚至会达到年甚至会达到每每73天翻一番的空前速度因此，基础教育的任务已天翻一番的空前速度因此，基础教育的任务已不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习不是教会一个人一切知识，而是让一个人学会学习已知已知2000年底，人类知识总量为年底，人类知识总量为a，假如从，假如从2000年底到年底到2009年底是每三年翻一番，从年底是每三年翻一番，从2009年底到年底到2019年底是年底是每一年翻一番，每一年翻一番，2020年是每年是每73天翻一番试回答：天翻一番试回答：(1)2009年底人类知识总量是多少？年底人类知识总量是多少？(2)2019

20、年底人类知识总量是多少？年底人类知识总量是多少？(3)2020年按年按365天计算，天计算，2020年底人类知识总量是多年底人类知识总量是多少？少？【训练3】第20页/共25页解解由于翻一番是在原来的基础上乘以由于翻一番是在原来的基础上乘以2，翻两番是在原，翻两番是在原来的基础上乘以来的基础上乘以22，翻，翻n番是在原来的基础上乘以番是在原来的基础上乘以2n.于是于是(1)从从2000年底到年底到2009年底是每三年翻一番，共翻三番，年底是每三年翻一番，共翻三番，在在a的基础上，的基础上，2009年底人类知识总量为年底人类知识总量为23a8a.(2)从从2009年底到年底到2019年底是每一年

21、翻一番，共翻十番，年底是每一年翻一番，共翻十番，所以所以2019年底人类知识总量为年底人类知识总量为8a2108 192a.(3)2020年是每年是每73天翻一番，而天翻一番，而2020年按年按365天计算，共天计算，共翻五番，所以翻五番，所以2020年底人类知识总量为年底人类知识总量为8 192a25262 144a.第21页/共25页 要在一段公路上每隔要在一段公路上每隔100米竖一块路程牌，共需竖米竖一块路程牌，共需竖60块路程牌，并依次将它们编号为块路程牌，并依次将它们编号为1,2,3，60，为完成竖，为完成竖牌的任务，要求先用一辆汽车把牌的任务，要求先用一辆汽车把60块路程牌全部集中

22、到块路程牌全部集中到n(1n60，nN)号牌处，再由一个工人从号牌处，再由一个工人从n号牌处出发，号牌处出发，用自行车每次运一块路程牌到规定地点竖牌，用自行车每次运一块路程牌到规定地点竖牌，n应取多少时，应取多少时，才能使工人竖牌时所行的路程最少？最少路程是多少？才能使工人竖牌时所行的路程最少？最少路程是多少？错解错解 找不到解决问题的思路找不到解决问题的思路误区警示误区警示找不到应用题对应的数列模型而致错找不到应用题对应的数列模型而致错【示例】树立解应用题的自信心，应用所学知识进行解决树立解应用题的自信心，应用所学知识进行解决本例运用数列的知识求出从本例运用数列的知识求出从n号到每一号所行路

23、程，它们分别号到每一号所行路程，它们分别组成两个等差数列，之后运用等差数列前组成两个等差数列，之后运用等差数列前n项和公式求出所行项和公式求出所行的路程，再用二次函数的有关知识计算出最少路程的路程，再用二次函数的有关知识计算出最少路程第22页/共25页 正解正解 路程牌集中到路程牌集中到n号牌处时，该工人所行路程为号牌处时，该工人所行路程为Sn2100(n1)2100(n2)2100121001210022100(60n)20012(n1)12(60n)因为nN，所以当n30或n31时，(Sn)最小200(30261301 830)180 000(米)即n取30或31时，才能使工人竖牌时所行的路程最少，最少路程是180 000米第23页/共25页 一般地，解决数列的实际应用问题首一般地，解决数列的实际应用问题首先要读懂题意，分析题中条件，理顺其中的数量关系；先要读懂题意，分析题中条件，理顺其中的数量关系；其次要将文字语言转化为数字语言，建立数列模型其次要将文字语言转化为数字语言，建立数列模型(建建立模型时注意运用推理、归纳等方法立模型时注意运用推理、归纳等方法)；然后求解数列；然后求解数列模型，得出相关结论；最后将结论还原到实际问题中模型，得出相关结论；最后将结论还原到实际问题中第24页/共25页谢谢您的观看！第25页/共25页